Circolo matematico “Martin Gardner” Castelveccana (Va)

1. Circolo matematico “Martin Gardner” Castelveccana (Va) Calde‘ 24/27 luglio 2014 Nando Geronimi 3402490330 fgeroni@tin.it

2. Matematica in classe 6Fra matematica e gioco SCALANDO LA TOUR EIFFEL Nando Geronimi – Centro Pristem

3. Il campo dell'anno, o quasi (Parigi 2 2013) Il campo dell'anno, o quasi, è un quadrato il cui lato misura un numero intero di metri maggiore di 1 e inferiore a 1000. Se si diminuiscono di un metro due lati opposti e si aumentano di un metro i due altri lati, si ottiene un rettangolo la cui area, in m2, è divisibile per 2013. Quanto misura in metri, il lato del quadrato? L+1 L (A L-1 AREA = 0 (mod 2013) L

4. Il campo dell'anno, o quasi (Parigi 2 2013) AREA = 0 (mod 2013) (L-1) (L+1) = 2013 K (L-1) (L+1) =61 x 11 x 3 x K1 x K2 (L-1) (L+1) = 61 K1 x 33 K2 (L-1) = 61 k1 (L+1) = 33 k2 L = 61 k1 + 1 61 k1 + 2 = 33 k2 k2 = (61 k1 + 2) / 33 Lato: 61 x 7 +1 = 428

5. Il campo dell'anno, o quasi (Parigi 2 2013 AREA = 0 (mod 2013) (L-1) (L+1) = 2013 K (L-1) (L+1) =61 x 11 x 3 x K1 x K2 (L-1) (L+1) = 3 K1 x 671 K2 (L-1) = 3 k1 (L+1) = 671 k2 L = 3 k1 + 1 3 k1 + 2 = 671 k2 K1 = (671 k2 - 2) / 3 Lato: 3 x 223 +1 = 670

6. Il campo dell'anno, o quasi (Parigi 2 2013) AREA = 0 (mod 2013) (L-1) (L+1) = 2013 K (L-1) (L+1) =61 x 11 x 3 K1 x K2 (L-1) (L+1) = 11 K1 x 183 K2 x (L-1) = 11 k1 (L+1) = 183 k2 L = 11 k1 + 1 11 k1 + 2 = 183 k2 K1 = (183 k2 - 2) / 11 Lato: 11 x 83 +1 = 914

7. Il campo dell'anno, o quasi (Parigi 2 2013) Il campo dell'anno, o quasi, è un quadrato il cui lato misura un numero intero di metri maggiore di 1 e inferiore a 1000. Se si diminuiscono di un metro due lati opposti e si aumentano di un metro i due altri lati, si ottiene un rettangolo la cui area, in m2, è divisibile per 2013. Quanto misura in metri, il lato del quadrato? L L+1 (A AREA = 0 (mod 2013) L-1 L Tre soluzioni: 428 – 670 - 914

8. IL REGALO CAMBOGIANO (1990) Un giovane matematico cambogiano riceve un pacco avente la forma di parallelepipedo rettangolo. Misura la lunghezza dei lati, che sono numeri interi di centimetri, osserva che l’area in cm2 e il volume in cm3 sono espresse con lo stesso numero, ed esclama: “ è il più grande pacco che ha questa proprietà”. Qual è il volume del pacco? 2(bc + ac + ab) = abc a ≤ b ≤ c divido tutto per 2abc 1/a + 1/b + 1/c = 1/2 c a b

9. IL REGALO CAMBOGIANO (1990) 1/a + 1/b + 1/c = 1/2 a ≤ b ≤ c 1/a ≥ 1/b ≥ 1/c 3 ≤ a ≤ 6 a=3 1/b + 1/c = 1/2 - 1/3 = 1/6 7 ≤ b ≤ 12 b=7 1/c=1/6 – 1/7 = 1/42 1/c=1/6 – 1/8 = 1/24 b=8 b=9 1/c=1/6 – 1/9 = 1/18 c b=10 1/c=1/6 – 1/10 = 1/15 b=11 1/c=1/6 – 1/11 = 5/66 n.a. 1/c=1/6 – 1/12 = 1/12 b=12 a b

10. IL REGALO CAMBOGIANO (1990) 1/a + 1/b + 1/c = 1/2 a ≤ b ≤ c 1/a ≥ 1/b ≥ 1/c 3 ≤ a ≤ 6 a=4 1/b + 1/c = 1/2 - 1/4 = 1/4 5 ≤ b ≤ 8 b=5 1/c=1/4 – 1/5 = 1/20 1/c=1/4– 1/6 = 1/12 b=6 1/c=1/4 – 1/7 = 3/28 n.a. b=7 c 1/c=1/4 – 1/8 = 1/8 b=8 a b

11. IL REGALO CAMBOGIANO (1990) 1/a + 1/b + 1/c = 1/2 a ≤ b ≤ c 1/a ≥ 1/b ≥ 1/c 3 ≤ a ≤ 6 a=5 1/b + 1/c = 1/2 - 1/5 = 3/10 6 ≤ b ≤ 7 1/c=3/10 – 1/6 = 2/15 n.a b=6 1/c=3/10– 1/7 = 11/70 n.a b=7 c a b

12. IL REGALO CAMBOGIANO (1990) 1/a + 1/b + 1/c = 1/2 a ≤ b ≤ c 1/a ≥ 1/b ≥ 1/c 3 ≤ a ≤ 6 a=6 1/b + 1/c = 1/2 - 1/6 = 1/3 b = 6 1/c=1/3 – 1/6 = 1/6 c a b

13. IL REGALO CAMBOGIANO (1990) 1/a + 1/b + 1/c = 1/2 a ≤ b ≤ c c Il volume è di 882 cm3 a b

14. LA REGATA Le gare della Federazione Francese Joutes Marine (FFJM) hanno avuto quest'anno un grande successo. L’arrivo ​​alla terza boa è stata fortemente combattuto. Giudicate voi: poco prima dell’arrivo, Kevin Tamaran e Didier Riveur sono esattamente alla stessa distanza dalla boa. Il terzo Pierre Dalo, nella scia di K. Tamaran non può vedere la boa. D’altra parte, Kevin Tamaran è alla stessa distanza da Didier Riveur e da Pierre Dalo. Tutte le distanze che separano i concorrenti tra di loro e le loro distanze rispetto all'arrivo, sono dei numeri interi di miglia marine. Qual è, al minimo, la distanza tra Pierre e l'arrivo? (Dare la distanza in miglia marine).

15. LA REGATA Poco prima dell’arrivo, Tamaran (T) e Riveur (R) sono esattamente alla stessa distanza dalla boa. R T boa

16. LA REGATA Poco prima dell’arrivo, Tamaran (T) e Riveur (R) sono esattamente alla stessa distanza dalla boa. Il terzo Dalo (D), nella scia di T non può vedere la boa. R D T boa

17. REGATA Poco prima dell’arrivo, Tamaran (T) e Riveur (R) sono esattamente alla stessa distanza dalla boa. Il terzo Dalo (D), nella scia di T non può vedere la boa. D’altra parte, T è alla stessa distanza da R e da D. R D T boa

18. LA REGATA Poco prima dell’arrivo, Tamaran (T) e Riveur (R) sono esattamente alla stessa distanza dalla boa. Il terzo Dalo (D), nella scia di T non può vedere la boa. D’altra parte, T è alla stessa distanza da R e da D. Tutte le distanze che separano i concorrenti tra di loro e le loro distanze rispetto all'arrivo, sono dei numeri interi. R D T boa

19. REGATA Poco prima dell’arrivo, Tamaran (T) e Riveur (R) sono esattamente alla stessa distanza dalla boa. Il terzo Dalo (D), nella scia di T non può vedere la boa. D’altra parte, T è alla stessa distanza da R e da D. Tutte le distanze che separano i concorrenti tra di loro e le loro distanze rispetto all'arrivo, sono dei numeri interi. Qual è, al minimo, la distanza tra D e l'arrivo? R D T boa (B) Se le distanze DT, TR e anche TB e RB fossero 1, RD non sarebbe intero, allora DT=TR deve essere almeno 2.

20. REGATA Poco prima dell’arrivo, Tamaran (T) e Riveur (R) sono esattamente alla stessa distanza dalla boa. Il terzo Dalo (D), nella scia di T non può vedere la boa. D’altra parte, T è alla stessa distanza da R e da D. Tutte le distanze che separano i concorrenti tra di loro e le loro distanze rispetto all'arrivo, sono dei numeri interi. Qual è, al minimo, la distanza tra D e l'arrivo? D T R boa (B) DB = 3

21. Le ghiande dell'anno (Parigi 2 2013) (10) Gli scoiattoli Tic e Tac hanno stoccato separatamente le ghiande che hanno colto sulla quercia di Daniele. In previsione del prossimo inverno, hanno cura di non mangiare alcuna di esse e a non perderne nessuna. Daniele si assenta durante sei giorni completi. Ogni giorno due manipolazioni vengono realizzate per aerare le due scorte di ghiande che Tic Tac non mangiano: • Il mattino, Tac preleva la metà delle ghiande dalla scorta di Tic e le aggiunge alla sua propria scorta; • Il pomeriggio, Tic preleva la metà delle ghiande della scorta di Tac, e l’aggiunge alla sua propria scorta. Quando Daniele ritorna, alla fine del sesto giorno, dopo dodici manipolazioni come queste, Tic ha 2013 ghiande nella sua scorta. Quante ghiande ha Tac nella sua scorta? Nota: un numero di ghiande è sempre intero positivo 32 40 52 20 26 46 49 23

22. Le ghiande dell'anno (Parigi 2 2013) (10) Gli scoiattoli Tic e Tac hanno stoccato separatamente le ghiande che hanno colto sulla quercia di Daniele. In previsione del prossimo inverno, hanno cura di non mangiare alcuna di esse e a non perderne nessuna. Daniele si assenta durante sei giorni completi. Ogni giorno due manipolazioni vengono realizzate per aerare le due scorte di ghiande che Tic Tac non mangiano: • Il mattino, Tac preleva la metà delle ghiande dalla scorta di Tic e le aggiunge alla sua propria scorta; • Il pomeriggio, Tic preleva la metà delle ghiande della scorta di Tac, e l’aggiunge alla sua propria scorta. Quando Daniele ritorna, alla fine del sesto giorno, dopo dodici manipolazioni come queste, Tic ha 2013 ghiande nella sua scorta. Quante ghiande ha Tac nella sua scorta? Nota: un numero di ghiande è sempre intero positivo 100 200 200 100 100 200 200 100

23. Le ghiande dell'anno (Parigi 2 2013) (10) Gli scoiattoli Tic e Tac hanno stoccato separatamente le ghiande che hanno colto sulla quercia di Daniele. In previsione del prossimo inverno, hanno cura di non mangiare alcuna di esse e a non perderne nessuna. Daniele si assenta durante sei giorni completi. Ogni giorno due manipolazioni vengono realizzate per aerare le due scorte di ghiande che Tic Tac non mangiano: • Il mattino, Tac preleva la metà delle ghiande dalla scorta di Tic e le aggiunge alla sua propria scorta; • Il pomeriggio, Tic preleva la metà delle ghiande della scorta di Tac, e l’aggiunge alla sua propria scorta. Quando Daniele ritorna, alla fine del sesto giorno, dopo dodici manipolazioni come queste, Tic ha 2013 ghiande nella sua scorta. Quante ghiande ha Tac nella sua scorta? Nota: un numero di ghiande è sempre intero positivo

24. Le ghiande dell'anno (Parigi 2 2013) (10) Gli scoiattoli Tic e Tac hanno stoccato separatamente le ghiande che hanno colto sulla quercia di Daniele. In previsione del prossimo inverno, hanno cura di non mangiare alcuna di esse e a non perderne nessuna. Daniele si assenta durante sei giorni completi. Ogni giorno due manipolazioni vengono realizzate per aerare le due scorte di ghiande che Tic Tac non mangiano: • Il mattino, Tac preleva la metà delle ghiande dalla scorta di Tic e le aggiunge alla sua propria scorta; • Il pomeriggio, Tic preleva la metà delle ghiande della scorta di Tac, e l’aggiunge alla sua propria scorta. Quando Daniele ritorna, alla fine del sesto giorno, dopo dodici manipolazioni come queste, Tic ha 2013 ghiande nella sua scorta. Quante ghiande ha Tac nella sua scorta? Nota: un numero di ghiande è sempre intero positivo

25. Le ghiande dell'anno (Parigi 2 2013) (10) 2G-x/4096=2013 x=4096(2G-2013) 2G-x>0 1G+x>0 2G-4096(2G-2013)>0 1G+4096(2G-2013)>0 G<(4096 x 2013)/8190=1006,74.. G>(4096 x 2013)/8193=1006,37.. 1006,37<G<1006,74 3019,11..<3G<3020,23.. Tic e Tac hanno raccolto complessivamente 3G = 3020

26. Le ghiande dell'anno (Parigi 2 2013) (10) Tic e Tac hanno raccolto complessivamente 3G = 3020 Se Tic ha 2013 ghiande, Tac ne avrà 3020-2013 =1007

27. Le ghiande dell'anno (Parigi 2 2013) (10) La quantità x/4096 è molto piccola. Allora la quantità G+x/4096 è poco più grande della metà della quantità 2G-x/4096 Tac ha pochissimo più della metà delle ghiande di Tic 2013:2=1006,5 Tic ha 2013 ghiande, Tac ha 1007 ghiande

28. CAFFE AL LATTE O LATTE AL CAFFE Una caraffa contiene un litro di caffè. Con un bicchiere si tolgono 10 cl di caffè, e si aggiungono 10 cl di latte, poi si mescola per bene. Dopo questa manipolazione iniziale, si ricomincia: con il bicchiere si tolgono 10 cl del nuovo contenuto, poi si aggiungono 10 cl di latte, e si mescola. Quante volte, al minimo, si deve effettuare questa operazione (togliere 10 cl del contenuto della caraffa, quindi aggiungere 10 cl di latte), in modo che la caraffa contenga più latte che caffè? 90 10 81 9 81 19 72,9 17,1 - 10 cl di caffè 72,9 27,1 + 10 c di latte 65,61 24,39 - 9 cl di caffè –1 cl di latte di latte + 10 c di latte - 8,1 cl di caffè –1,9 cl di latte di latte + 10 c di latte - 7,29 cl di caffè –2,71 cl di latte di latte

29. CAFFE AL LATTE O LATTE AL CAFFE La quantità di caffè rimasto nella caraffa dopo ogni passaggio è il 90% della quantità di caffè contenuta prima del passaggio. 100 90 81 72,9 65,61 …. sono i termini di una progressione geometrica il cui termine generale è an= a1 qn-1. nel caso particolare: a1=100 q=0,9 an= 100 x 0,9n-1 an< 50 0,9n-1 < 0,5

30. CAFFE AL LATTE O LATTE AL CAFFE 0,9n-1 < 0,5 0,9n-1 = (1-0,1) n-1 Con n= 6: 0,95 = (1-0,1) 5 = (15 -5x14 x0,11+ ……. )> 0,5 Con n= 7: 0,96 = (1-0,1) 6 = (16 -6x15 x0,11+ ……. )< 0,5 Servono 7 travasi completi

31. UN RETTANGOLO(1994) Francesco osserva che la singola operazione “due tagli successivi in scala” di un rettangolo di 6 per 7 quadratini (vedi figura), permette la ricostruzione del rettangolo iniziale, ma in modo che ogni quadratino conserva il suo orientamento ma non la sua posizione nel nuovo rettangolo. Partendo dal rettangolo seguente, una macchina compie l’operazione “due tagli successivi in scala” per 1994 volte. Scrivere le lettere della quarta riga dopo le 1994 operazioni.

32. UN RETTANGOLO(1994)

33. UN RETTANGOLO(1994)

34. UN RETTANGOLO(1994) Nella cornice esterna ci sono 22 numeri, in quella intermedia 14 e i numeri del rettangolo interno sono 6. Dopo 1994 operazioni i numeri esterni si saranno spostati di 14 caselle (1994 mod 22 = 14), quelli intermedi di 6 caselle (1994 mod 14 = 6) e quelli interni di 2 caselle (1994 mod 6 = 2)

35. UN RETTANGOLO(1994) Nella cornice esterna ci sono 22 numeri, in quella intermedia 14 e i numeri del rettangolo interno sono 6. Dopo 1994 operazioni i numeri esterni si saranno spostati di 14 caselle (1994 mod 22 = 14), quelli intermedi di 6 caselle (1994 mod 14 = 6) e quelli interni di 2 caselle (1994 mod 6 = 2)

36. UN RETTANGOLO(1994) Nella cornice esterna ci sono 22 numeri, in quella intermedia 14 e i numeri del rettangolo interno sono 6. Dopo 1994 operazioni i numeri esterni si saranno spostati di 14 caselle (1994 mod 22 = 14), quelli intermedi di 6 caselle (1994 mod 14 = 6) e quelli interni di 2 caselle (1994 mod 6 = 2) Allora nella quarta riga si troveranno nell’ordine i numeri 42,17,16,27, 26,1. Ora puoi risalire alle corrispondenti lettere e nella quarta riga leggerai la parola S A C U E F”

37. CERCHI E QUADRATI Matteo disegna due cerchi e due quadrati. Quante regioni finite può individuare al massimo?

38. CERCHI E QUADRATI Matteo disegna due cerchi e due quadrati. Quante regioni finite può individuare al massimo?

39. CERCHI E QUADRATI Matteo disegna due cerchi e due quadrati. Quante regioni finite può individuare al massimo? 3 regioni 2 intersezioni 9 regioni 8 intersezioni 9 regioni 8 intersezioni Le intersezioni sono, al massimo, 42 Le regioni sono, al massimo, 43

40. La lumaca (Parigi 2 2013) (15) La figura rappresenta la sezione trasversale di una lumaca. Il lato BC è uguale al diametro AB del cerchio ed è perpendicolare a questo. D è il punto di intersezione dal cerchio con il segmento che congiunge il suo centro a C. Qual è il rapporto fra le distanze DA e DB? La risposta deve essere data con tre cifre dopo la virgola e arrotondata al centesimo più vicino. Se necessario, si prenda 1,732 per √3 e 2,236 per √5.

41. La lumaca (Parigi 2 2013) (15) α La figura rappresenta la sezione trasversale di una lumaca. Il lato BC è uguale al diametro AB del cerchio e è perpendicolare a questo. D è il punto di intersezione dal cerchio con il segmento che congiunge il suo centro a C. Qual è il rapporto fra le distanze DA e DB? La risposta deve essere data con tre cifre dopo la virgola e arrotondata al centesimo più vicino. Se necessario, si prenda 1,732 per √3 e 2,236 per √5. O 2α DA/DB = ctgα BC/BO = 2 tg2α =2 da tg 2α = (2 tgα )/(1-tg2α) (2 tgα )/(1-tg2α) = 2 2tg2α+2tgα-2 = 0 tgα = (√5-1)/2 DA/DB = (2,236+1)/2 = 1.618 ctgα = (√5+1)/2

42. DIVIETO DI RADDOPPIO (1994) Dominique ha 1994 scatole numerate da 1 a 1994. Ha deciso di tenerne solo alcune, in modo che tra le scatole conservate nessuna abbia scritto un numero doppio di quello scritto su un’altra. Qual è il numero massimo di scatole che può conservare Dominique? 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 12 – 13 – 14 – 15 – 16 – 17 … Ho conservato tutti i numeri dispari. Se le scatole fossero 17 ne avrei conservate 9.

43. DIVIETO DI RADDOPPIO (1994) Dominique ha 1994 scatole numerate da 1 a 1994. Ha deciso di tenerne solo alcune, in modo che tra le scatole conservate nessuna abbia scritto un numero doppio di quello scritto su un’altra. Qual è il numero massimo di scatole che può conservare Dominique? 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 12 – 13 – 14 – 15 – 16 – 17 … Ho conservato tutti i numeri dispari, ma posso conservare anche dei numeri pari Se le scatole fossero 17 ne avrei conservate 11.

44. DIVIETO DI RADDOPPIO (1994) Dominique ha 1994 scatole numerate da 1 a 1994. Ha deciso di tenerne solo alcune, in modo che tra le scatole conservate nessuna abbia scritto un numero doppio di quello scritto su un’altra. Qual è il numero massimo di scatole che può conservare Dominique? 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 12 – 13 – 14 – 15 – 16 – 17 … ancora 11.

45. DIVIETO DI RADDOPPIO (1994) Dominique ha 1994 scatole numerate da 1 a 1994. Ha deciso di tenerne solo alcune, in modo che tra le scatole conservate nessuna abbia scritto un numero doppio di quello scritto su un’altra. Qual è il numero massimo di scatole che può conservare Dominique? 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 12 – 13 – 14 – 15 – 16 – 17 … Ho conservato tutti i numeri maggiori della metà dell’ultimo numero, e posso conservarne anche altri

46. DIVIETO DI RADDOPPIO (1994) Dominique ha 1994 scatole numerate da 1 a 1994. Ha deciso di tenerne solo alcune, in modo che tra le scatole conservate nessuna abbia scritto un numero doppio di quello scritto su un’altra. Qual è il numero massimo di scatole che può conservare Dominique? 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 12 – 13 – 14 – 15 – 16 – 17 … Se le scatole fossero 17 ne avrei conservate 12.

47. DIVIETO DI RADDOPPIO (1994) Dominique ha 1994 scatole numerate da 1 a 1994. Ha deciso di tenerne solo alcune, in modo che tra le scatole conservate nessuna abbia scritto un numero doppio di quello scritto su un’altra. Qual è il numero massimo di scatole che può conservare Dominique? 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 12 – 13 – 14 – 15 – 16 – 17 …

48. DIVIETO DI RADDOPPIO (1994) Dominique ha 1994 scatole numerate da 1 a 1994. Ha deciso di tenerne solo alcune, in modo che tra le scatole conservate nessuna abbia scritto un numero doppio di quello scritto su un’altra. Qual è il numero massimo di scatole che può conservare Dominique? 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 12 – 13 – 14 – 15 – 16 – 17 … ?

49. AUTOPRODOTTO L'autoprodotto di un numero naturale di almeno due cifre, è il prodotto delle sue cifre. Per esempio: - l'autoprodotto di 24 è 2 × 4 = 8; - l'autoprodotto di 354 è 3 × 5 × 4 = 60; - l'autoprodotto di 105 è 1 × 0 x 5 = 0. Qual è la somma degli autoprodotti di tutti i numeri interi da 10 a 1994 compresi? • 1x0=0 • 1x1=1 • 1x2=2 ………….. “L’autoprodotto dei numeri da 10 a 19 è la cifra delle unità (il fattore 1 che compare come cifra delle decine non influisce sul prodotto), la somma dei primi 9 autoprodotti equivale alla sommatoria dei numeri da 1 a 9, che è 45.

50. AUTOPRODOTTO L'autoprodotto di un numero naturale di almeno due cifre, è il prodotto delle sue cifre. Per esempio: - l'autoprodotto di 24 è 2 × 4 = 8; - l'autoprodotto di 354 è 3 × 5 × 4 = 60; - l'autoprodotto di 105 è 1 × 0 x 5 = 0. Qual è la somma degli autoprodotti di tutti i numeri interi da 10 a 1994 compresi? 20 2x0=0 21 2x1=2 • 2x2=4 ………….. L’autoprodotto dei numeri tra 21 e 29 è 2 x 45 (avendo raccolto il fattore comune 2) la stessa regola vale la somma degli autoprodotti dei 9 numeri che si trovano nelle successive decine fino a 99.