Fibonacci Intorno Noi

1. Fibonacci Intorno Noi @

2. “La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l’altro è la sezione Aurea di un segmento. Il primo lo possiamo paragonare ad un oggetto d’oro; il secondo lo possiamo definire un prezioso gioiello” Johannes Kepler [1571-1630]

3. Il primo incontro con la sezione aurea in genere avviene in geometria. La sezione aurea di un segmento AB è quella parte di tale segmento che sia media proporzionale tra tutto il segmento e la parte restante. Considerato, cioè, un segmento AB, il segmento AC sarà sua Sezione Aurea se Ciò avviene, quindi, quando il rapporto tra l’intero segmento e la parte più lunga è uguale al rapporto tra la parte più lunga e la parte più corta.

4. Cerchiamo il valore di questo rapporto. Posto AB=leAC=xpotremo riscrivere la precedente relazione come: Consideriamo il valore positivo: Quindi risulterà: A questo punto il rapporto cercato sarà:

5. Restando nell’ambito geometrico si può ricavare immediatamente che “ ogni segmento è sezione aurea della sua somma con la sua sezione aurea.” E ancora “ tolta la sezione aurea la parte rimanente di un segmento è sezione aurea delle sezioni auree del segmento” E’ come se la sezione aurea si autorigenerasse per sottrazione e per addizione..

6. A partire da un segmento si può costruire la sua sezione aurea; ad esempio nel seguente modo: sia L la lunghezza del segmento AB. Si consideri il segmento OB perpendicolare ad AB tale che OB=L/2. Con centro in O si descriva la circonferenza di raggio L/2. Tracciata la retta OA siano D ed E le interdizioni di tale retta con la circonferenza. Infine con centro in A si descriva la circonferenza di raggio AD e sia C la sua interdizione con il segmento AB. AC è sezione aurea di AB. Infatti, per il teorema della tangente e della secante risulta: AE : AB = AB : AD da cui, applicando la proprietà dello scomporre risulta: (AE-AB):AB=(AB-AD):AD ma poiché DE=AB risulta AE- A B= AD=AC ed inoltre AB-AD=AB-AC=BC. Quindi la precedente proporzione diventa AC:AB=BC:AC o anche, invertendo AB:AC=AC:BC che è proprio ciò che si voleva dimostrare.

7. Il rettangolo aureo Si definisce rettangolo aureo un rettangolo i cui lati a e b siano in proporzione aurea. Se da questo rettangolo si elimina il quadrato di lato b, si ottiene un rettangolo che è ancora rettangolo aureo. Infatti b è sezione aurea di a cioè ma anche cioè Ripetendo questa costruzione si ottiene una serie di rettangoli aurei sempre più piccoli e, tracciando un quarto di cerchio in ogni quadrato scartato, si ottiene una linea che si avvolge su se stessa infinite volte che si chiama “Spirale Logaritmica”

8. Se si prendono tre rettangoli aurei uguali (giacenti su piani due a due ortogonali con i centri coincidenti) e si incastrano, unendo i vertici si otterrà un icosaedro (poliedro regolare con 20 facce triangolari) mentre i centri delle facce di un dodecaedro ( 12 facce pentagonali ) sono i vertici dei tre rettangoli aurei incentrati.

9. Veri cultori della sezione aurea furono gli antichi greci ai quali si deve la denominazione di “aurea”. Nel Partenone di Atene tutto è progettato attorno al rettangolo aureo.

10. Ma un vero trionfo della sezione aurea si ebbe nel RINASCIMENTO, quando rappresentò per tutti gli artisti un canone di bellezza cui ispirare ogni composizione artistica dall’’architettura, alla scultura e alla pittura, e guida per riprodurre il corpo umano (proporzione ideale tra le parti del corpo). Luca Pacioli Contribuì a tale concezione l’opera del matematico LUCA PACIOLI (1445-1514) dal titolo “DE DIVINA PROPORTIONE” , incentrata sulla proporzione come chiave universale per penetrare i segreti della bellezza, ma anche della natura al cui centro è collocato l’uomo, misura di ogni cosa,

11. sospeso tra un quadrato ed un cerchio nell’“UOMO VITRUVIANO”, celebre disegno di LEONARDO, amico di PACIOLI e autore dei disegni che illustrano il suo libro. La sezione aurea continua ad essere utilizzata.

12. Il pentagono stellato Figura cara ai pitagorici che l’avevano assunta a simbolo della loro scuola è il cosiddetto pentagono stellato o pentagramma. Il pentagramma è la figura formata dalle diagonali del pentagono regolare. Esse, intersecandosi, determinano un nuovo pentagono regolare, più piccolo, le cui diagonali formano a loro volta un nuovo pentagramma, e così via all’infinito. In tale successione il lato di ogni pentagono regolare è uguale alla sezione aurea della diagonale, ossia del lato del pentagramma.

13. Numeri di Fibonacci Il matematico pisano Leonardo Fibonacci in un suo libro intitolato “Liberabaci” pone il seguente problema: Supponiamo che una coppia di conigli impieghi un mese per diventare adulta ed un secondo mese per procreare un’altra coppia. Se all’inizio della generazione abbiamo una sola coppia, quante coppie avremo dopo un anno?

14. Cerchiamo di risolvere il problema attraverso una tabella. MESI NUMERO COPPIE NUMERO COPPIE CHE TOTALE ADULTI NON PROCREANO COPPIE GENNAIO 1 0 1 FEBBRAIO 1 1 2 MARZO 2 1 3 APRILE 3 2 5 MAGGIO 5 3 8 GIUGNO 8 5 13 LUGLIO 13 8 21 AGOSTO 21 13 34 SETTEMBRE 34 21 55 OTTOBRE 55 34 89 NOVEMBRE 89 55 144 DICEMBRE 144 89 233

15. Fissiamo l’attenzione sulla successione di numeri della prima colonna: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 detti anche numeri di Fibonacci. Osserviamo subito che ogni termine, dal terzo in poi, si ottiene sommando i due precedenti; cioè se indichiamo la successione con: prolungandole all’ infinito potremo scrivere : con

16. I numeri di Fibonacci, la musica e la natura Anche la musica non sfugge al fascino del rapporto aureo. Fortemente sperimentali o meno che siano è bene sottolineare che i primi studi sull’’applicazione della sezione aurea alle strutture formali della musica , risalgono alla metà del XX secolo e infatti proprio del 1950 un articolo di J.H. Douglas Webster che, citando un gran numero di partiture nelle quali possono essere riscontrate proporzioni auree, apre ufficialmente la strada a questo affascinante settore dell’analisi della musicologia. La successione individuata da Fibonacci può essere rapportata a qualsiasi unità di misura concernente la musica: durata temporale, numero di note, numero di battute…

17. A ciò si sono ispirati compositori come Bartòk e Debussy, ed anche la musica rock, in special modo il rock progressivo si è confrontato con la relazione esistente tra la musica e la matematica soprattutto per ciò che riguarda gli aspetti mistico esoterici della sezione aurea. Bartòk Debussy

18. Ma la sezione aurea ed i numeri di Fibonacci riservano altre sorprese: essi si insinuano persino nei regni della natura! Uno dei classici esempi è il nautilus, un mollusco dei mari tropicali considerato un fossile vivente essendo la sua specie antichissima; la sua conchiglia sezionata è un’aspirale aurea. Se si guarda con attenzione il capolino di un girasole o di una margherita, si nota che i semi sono disoposti secondo spirali logaritmiche che partono dal centro in due direzioni opposte e se si contano le spirali in senso orario e quelle in senso antiorario si trovano numeri della serie di Fibonacci (55 e 34 spirali e 34 e 21 o ancora 21 e 13).

19. Ma la presenza di tali numeri si può ritrovare anche nelle spirali di pigne, ananas, carciofi e moltissimi altri vegetali. Se si osserva la disposizione delle foglie lungo un ramo, a partire da quella più bassa, si può tracciare una linea elicoidale che passi per i punti di intersezione delle foglie; il numero delle foglie ed il numero delle spire appartengono ad una successione di Fibonacci.

20. Ma anche molte galassie hanno la forma di spirali logaritmiche.

21. Perché accade questo? A quali misteriose leggi obbedisce la natura? Aldilà di ogni possibile interpretazione mistico esoterica della sezione aurea, aldilà di ogni concezione basata esclusivamente su tale rapporto, compito dello scienziato è quello di porsi domande come queste e cercare di dare loro una risposta. Per tutto il resto ci sono i Dan Brown.

22. Carnà Emanuele Fava Andrea Marotta Daniele Petrantoni Martina Barillà Carmelo Lavoro svolto da: