Factorisation par double mise en évidence

1. Factorisation par double mise en évidence Remarque: Tu devrais visionner la présentation: Factorisation par simple mise en évidence.ppt avant de visionner celle-ci.

2. La double mise en évidence est l’opération inverse de la double distributivité. Exemple: Double distributivité Double mise en évidence xy + 2x + 4y + 8 ( x + 4 ) ( y + 2 ) x ( y + 2 ) + 4 ( y + 2 ) x X y + x X 2 + 4 X y + 4 X 2 x X y + x X 2 + 4 X y + 4 X 2 x ( y + 2 ) + 4 ( y + 2 ) ( x + 4 ) ( y + 2 ) xy + 2x + 4y + 8 Il s’agit donc de mettre en évidence les facteurs constituant l’expression algébrique.

3. 4 4 x x ( y + 2 ) ( y + 2 ) Il s’agit donc de mettre en évidence les facteurs constituant l’expression algébrique. xy + 2x + 4y + 8 pour ce faire, il faut : Exemple: xy + 2x + 4y + 8 regrouper deux à deux les termes ayant un facteur commun; xy + 2x + 4y + 8 mettre en évidence le facteur commun dans chacun des groupes; x ( ) remettre en évidence les facteurs communs à ces nouveaux groupes. y + 2 + 4 ( ) y + 2 ( x + 4 ) ( y + 2 ) La double mise en évidence s’utilise avec des polynômes à 4 termes. Remarque :

4. 2 2 y y ( x + 4 ) ( x + 4 ) Il s’agit donc de mettre en évidence les facteurs constituant l’expression algébrique. xy + 2x + 4y + 8 Exemple: on pourrait regrouper les termes différemment; xy + 4y + 2x + 8 regrouper deux à deux les termes ayant un facteur commun; xy + 4y + 2x + 8 mettre en évidence le facteur commun dans chacun des groupes; y( ) x + 4 remettre en évidence les facteurs communs à ces nouveaux groupes. x + 4 + 2 ( ) ( x + 4 ) ( y + 2 )

5. 2 2 x x ( y + 3 ) ( y + 3 ) Il s’agit donc de mettre en évidence les facteurs constituant l’expression algébrique. xy + 3x + 2y + 6 pour ce faire, il faut : Exemple: xy + 3x + 2y + 6 regrouper deux à deux les termes ayant un facteur commun; xy + 3x + 2y + 6 mettre en évidence le facteur commun dans chacun des groupes; x ( ) remettre en évidence les facteurs communs à ces nouveaux groupes. y + 3 + 2 ( ) y + 3 ( x + 2 ) ( y + 3 ) Remarque : Pour s’assurer d’une bonne factorisation, on vérifie si les deux binômes sont identiques lors de la première mise en évidence.

6. b b 2 2 ( a + 3 ) ( a + 3 ) 3 3 2x 2x ( 2 + y ) ( 2 + y ) Exemple: ab + 3b + 2a + 6 b ( ) a + 3 a + 3 + 2 ( ) ( b + 2) ( a + 3 ) 4x + 2xy + 6 + 3y Exemple: 2x ( ) + 3 ( ) 2 + y 2 + y ( 2x + 3 ) ( 2 + y )

7. b b - 4 - 4 ( a + 5 ) ( a + 5 ) a3 a3 b b ( 2b + 3 ) ( 2b + 3 ) Exemple: ab – 20 + 5b - 4a regrouper deux à deux les termes ayant un facteur commun; ab + 5b - 4a - 20 b ( ) a + 5 a + 5 - 4 ( ) obtenir le même binôme; ( b – 4 ) ( a + 5 ) Exemple: 2a3b + 3a3 + 2b2 + 3b a3 ( ) 2b + 3 + b ( ) 2b + 3 ( 2b + 3 ) ( a3 + b )

8. 7a 7a 21 21 ( b + 4 ) ( b + 4 ) Ce binôme n’est pas assez factorisé. ce polynôme contient 3 facteurs : 7 7 7 7 7 a a 3 3 7 ( b + 4 ) ( b + 4 ) Exemple: 7ab + 28a + 21b + 84 7a ( ) b + 4 b + 4 + 21 ( ) ( 7a + 21 ) ( b + 4 ) = ( b + 4 ) 7 ( a + 3 ) ou 7 ( b + 4 ) ( a + 3 ) Attention: 7ab + 28a + 21b + 84 7 ( b + 4 ) ( a + 3 ) Règle: La simple mise en évidence est toujours la première étape d’une factorisation quand un même facteur se retrouve dans tous les termes. 7ab + 28a + 21b + 84 ab + 4a + 3b + 12 a ( ) b + 4 + 3 ( ) b + 4 ( b + 4 ) 7 ( a + 3 )

9. 2 2 2 2 2 x x 2 2 2 ( y - 4 ) ( y - 4 ) 2xy - 8x + 4y - 16 Exemple: xy - 4x + 2y - 8 x ( ) y - 4 + 2 ( ) y - 4 ( x + 2 ) ( y - 4 ) 2

10. x x 1 1 ( y + 3 ) ( y + 3 ) xy + 3x + y + 3 Factorise: 1 1 Rappel : Factorise ( y + 3 ) 1) PGCF: 1 y + 3 2) Diviser chaque terme par le PGCF. 3) Mettre le PGCF en évidence. 1 ( ) y + 3 x ( ) + 1 ( ) y + 3 y + 3 ( x + 1 ) ( y + 3 )

11. ( a – 3 ) ( a – 3 ) ( 2a + b a + 3b ) ( a – 3 ) + ( a – 3 ) ( 3a + 4b ) Factorise ( 2a + b ) ( a – 3 ) + ( a + 3b ) ( a – 3 ) P.G.C.F. : ( a – 3 ) ( 2a + b ) ( a – 3 ) + ( a + 3b ) ( a – 3 ) ( 2a + b ) ( a + 3b ) ( a – 3 ) +

12. Démarche exigée ab + 3b + 2a + 6 b ( ) a + 3 a + 3 + 2 ( ) ( b + 2) ( a + 3 ) Remarque: La double mise en évidence est une des étapes de la factorisation de trinômes de la forme ax2 + bx + c.