12-Nov-2012

1. “A Lagrangian Relaxation heuristic for a logistics districting problem” 2012 CYTED-HAROSA Workshop & Meeting on Applied Optimization & Distributed Computing Rosa G. González-Ramírez Isidora Castillo Pablo Miranda González Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile Neale R. Smith, Fernando Camacho, Eduardo Cordero Tecnológico de Monterrey, México 12-Nov-2012

2. +Agenda 1/40 Introducción Descripción del Problema Formulación Matemática Análisis Empírico de la Estructura del Modelo Metodología propuesta basada en Relajación Lagrangeana Experimentación Computacional Conclusiones y Recomendaciones para Investigación Futura

3. 2 +Introducción 1/3 • “Districting” ó tambiénconocidocomosectorización o distritación de unaregióngeográficaconsiste en la división de un territorio en sub-regiones con el fin de optimizarlasoperacionesque son llevadas a cabo de acuerdo a determinadoscriterios tales como: • Compacidad, • Contigüidad, • Integridad, • Igualdad de población, etc. • Esunaactividadde tipoestratégico: la configuración se utilizapor un periodo de tiemporelativamentegrande, y éstadebeserrobusta a pequeñoscambios en lasoperacionesllevadas a cabo. • El problema ha sidodemostradoser NP-Completopor Altman, (1995). El diseño de territorios para sistemas de distribución de paquetería tiene un impacto importante en el costo operativo de las empresas.

4. 3 +Introducción 2/3 • Este tipo de problemassurgen en varioscontextos tales como: • Educación: Asignación de estudiantes a escuelas públicas. • Política: Distritos electorales, Transporte público. • Salud: Asignación de pacientes según cantidad de hospitales de la región; Dividir la región para el servicio de ambulancias; Asignación de lugares de emergencia. • Empresas: Planeación de canales de distribución; Áreas de instalación del servicio de cable e internet; División de territorios de ventas. • Logística: Distribución de productos y en general actividades asociadas a ruteo; Servicios de Emergencia; El diseño de territorios para sistemas de distribución de paquetería tiene un impacto importante en el costo operativo de las empresas.

5. 4 +Introducción 3/3 En estetrabajoestudiamos un problema de sectorizacionparaactividadeslogisticas de unaempresaque se dedica a la entrega y repartición de paquetería en una determinada región. Este problemafuepreviamenteabordadoen González-Ramírez (2009) y González-Ramírez et al. (2010, 2011), donde se propuso un modelomatemático y un algoritmohíbridoquecombinaelementos de Grasp y Tabú Search. En estetrabajo se aborda el mismoproblemaconsiderando el modelomatemáticopreviamentepropuesto, con la finalidad de proponer un algoritmobasado en programaciónmatemáticaquepermitamedir el desempeño del algoritmo y determinarunacota a través de un esquema de RelajaciónLagrangeana.

6. +Agenda 5 Introducción Descripción del Problema Formulación Matemática Análisis Empírico de la Estructura del Modelo Metodología propuesta basada en Relajación Lagrangeana Experimentación Computacional Conclusiones y Recomendaciones para Investigación Futura

7. 6 +Descripción del Problema 1/2 Unaempresa de recolección y entrega de paqueteríacuenta con mvehículosparavisitar a los clientesubicados en unadeterminadaregión a la cual se le da servicio. Para optimizarlasoperacionesrealizadas, la regiónesdividida en mdistritos, cadauno de los cualesesatendidoporun únicovehículo. Existeun depósito central de donde los vehículossalen y realizanlasactividadesrequeridaspor los clienteslocalizados en el distritocorrespondiente a cadauno de ellos y regresan al depósito. Los clientes son aleatorios en sumayoríaperoalgunos son fijos y se visitan con unafrecuencia regular. La demandaesestacional y crece en Navidad. El diseño de territorios para sistemas de distribución de paquetería tiene un impacto importante en el costo operativo de las empresas.

8. 7 +Descripción del Problema 2/2 La compañía opera bajo la política de “Sectorizarprimero – Ruteodespués”, dejando al operario del vehículo la definición de la ruta a seguirpor la gran variabilidad en lasoperaciones en un día de trabajo. El diseño de la sectorización tiene la finalidad de optimizar dos criterios: crear distritos de forma compacta y balancear el contenido de trabajo entre los distritos. Actualmente, la empresa realiza un rediseño de la distritación cada año y medio aproximadamente. El procedimiento toma alrededor de 3 semanas en ser ejecutado. Para realizarlo, se toma la demanda de un día representativo con una alta carga de trabajo y se ubica a los clientes en un mapa de la región. Posteriormente se aplica un procedimiento de barrido para empezar a generar y adecuar los distritos. El diseño de territorios para sistemas de distribución de paquetería tiene un impacto importante en el costo operativo de las empresas.

9. +Agenda 8 Introducción Descripción del Problema Formulación Matemática Análisis Empírico de la Estructura del Modelo Metodología propuesta basada en Relajación Lagrangeana Experimentación Computacional Conclusiones y Recomendaciones para Investigación Futura

10. 9 +Formulación Matemática 1/4 Considereun grafoconexo, no dirigido y por lo general no completoG(V,E) dondeVes el conjunto de vértices y E el conjunto de aristas. Asumaquetodaslasaristastienenunalongitudpositiva y representancaminosreales entre puntoscontiguosvr y vs. Un distrito se define como un subconjunto de puntos. Cadavérticerepresentaunacarga de trabajo y requiereya sea unaentrega o unarecolección. El contenido de trabajo asignado a un distrito se define como el tiempo requerido para realizar todas las entregas y recolecciones de paquetería así como el tiempo requerido para desplazarse del depósito a un punto del distrito. Para esto se considera el tiempo para visitar al punto más lejano al depósito. Con la finalidad de balancear la carga de trabajo entre los distritos, se minimiza la máxima carga de trabajo asignada a un distrito. La compacidad es definida en el modelo como la distancia entre los dos puntos más lejanos entre sí asignados a un mismo distrito. Para obtener distritos de forma compacta, se minimiza la máxima medida de compacidad de entre todos los distritos. El diseño de territorios para sistemas de distribución de paquetería tiene un impacto importante en el costo operativo de las empresas.

11. 10 +Formulación Matemática 2/4 Parámetros = Cantidad de clientes. = Cantidad de distritos. = Número máximo de recolecciones para cada distrito. = Número máximo de entregas para cada distrito. = Número de recolecciones solicitadas por el cliente i. = Número de entregas demandadas por el cliente i. = Tiempo de parada en cada entrega en el punto i. = Tiempo de parada en cada recolección en el punto i. = Distancia desde el punto i al punto k. = Factor de ponderación, 0≤λ≤1. = Distancia entre el depósito central y el punto i. = Velocidad media. = Parámetro de normalización para la compacidad. = Parámetro de normalización para la carga de trabajo.

12. 11 +Formulación Matemática 3/4 Variables Auxiliares = Variable continua que mide la compacidad como el tiempo de recorrido máximo entre los puntos más alejados de un distrito. = Variable continua, toma el valor del tiempo de traslado desde el depósito hasta el punto más alejado del distrito j. = Variable continua que presenta el máximo contenido de carga de trabajo asignado a un distrito. Variables de Decisión El diseño de territorios para sistemas de distribución de paquetería tiene un impacto importante en el costo operativo de las empresas.

13. 12 +Formulación Matemática 4/4 Modelo Matemático (1) Sujeto a: (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

14. +Agenda 13 Introducción Descripción del Problema Formulación Matemática Análisis Empírico de la Estructura del Modelo Metodología propuesta basada en Relajación Lagrangeana Experimentación Computacional Conclusiones y Recomendaciones para Investigación Futura

15. +Análisis Empírico de la Estructura del Modelo 1/6 14 • Se realizaron algunas pruebas computacionales para evaluar la incorporación de cortes al modelo matemático considerando la estructura del modelo: los distritos pueden ser enumerados indistintamente y esto genera un espacio de solución que puede acotarse al fijar clientes a distritos: • Fijar uncliente a un distrito (al azar). • Fijar dosclientes a dos distritos diferentes (los dos más lejanos entre sí). • Fijar seisclientes a dos distritos diferentes (los más alejados entre sí). • Cortesde CPLEX. • Fijar seis clientes a dos distritos diferentes más cortes de CPLEX.

16. +Análisis Empírico de la Estructura del Modelo 2/6 15 Fijar un cliente a un distrito Sujeta a: (9)

17. +Análisis Empírico de la Estructura del Modelo 3/6 16 Fijar dos clientes a dos distritos diferentes Sujeta a: (9) (10) (11)

18. +Análisis Empírico de la Estructura del Modelo 4/6 17 Fijación de seis clientes a dos distritos diferentes Sujeta a: (9), (10), (11) (12) (13) (14) (15)

19. +Análisis Empírico de la Estructura del Modelo 5/6 18 Pruebas con aplicación de corte de CPLEX • Mejor combinación de Cortes automáticos de CPLEX: • CPX_PARAM_DISJCUTS (3) • CPX_PARAM_GUBCOVERS (2) • CPX_PARAM_IMPLBD (2) • CPX_PARAM_CLIQUES (3) • CPX_PARAM_COVERS (2) • CPX_PARAM_MIRCUTS (3) • CPX_PARAM_CUTSFACTOR (1) • Se incorporaron al modelo original lasrestricciones9-15 junto • con los cortes de CPLEX. -1 no generar 0 default 1 moderadamente 2 agresivamente 3 muy agresivamente Fijación de seis clientes a dos distritos más cortes de CPLEX

20. +Análisis Empírico de la Estructura del Modelo 6/6 19 Resumen resultados de incorporación de Cortes Se probaron todas las instancias de tamaño 50 clientes/5 distritos (216 instancias). Se compararon los resultados del modelo original con los obtenidos al incorporar los cortes al modelo. Se resolvieron las instancias con CPLEX en un tiempo límite de resolución de 1 hr. Según los resultados anteriores se decidió incorporar a la metodología de resolución los cortes de CPLEX y los cortes de fijación de clientes 9-15.

21. +Agenda 20 Introducción Descripción del Problema Formulación Matemática Análisis Empírico de la Estructura del Modelo Metodología propuesta basada en Relajación Lagrangeana Experimentación Computacional Conclusiones y Recomendaciones para Investigación Futura

22. +Metodología Propuesta 1/10 21 Esquema de Relajación Lagrangeana R. Capacidad (1) Sujeto a: (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)-(15)

23. +Metodología Propuesta 2/10 22 Esquema de Relajación Lagrangeana R. Asignación (1) Sujeta a: (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)-(15)

24. +Metodología Propuesta 3/10 23 Relajación Lagrangeana restricciones de Capacidad Sujeta a: (2) (5) (6) (7) (8) (9)-(15)

25. +Metodología Propuesta 4/10 24 Relajación Lagrangeana restricciones de Capacidad Sujeta a: (2) (5) (6) (7) (8) (9)-(15)

26. +Metodología Propuesta 5/10 25 Heurística Lagrangeana restricciones de Capacidad • Proceso iterativo en el cual, a partir de la solución obtenida con la relajación, se mueven clientes entre los distritos tratando de alcanzar factibilidad. • Para mantener compacidad de las regiones se mueven clientes que están en la frontera de los distritos. La regla que se usó fue mover clientes que sean “adyacentes” a otros distritos (mover clientes que estén conectados por medio de una arista con otros clientes que pertenecen a otros distritos).

27. +Metodología Propuesta 6/10 26 Heurística Lagrangeana restricciones de Capacidad Mover clientes que requieren entregas/recolecciones entre distritos • Pasar un cliente del distrito con mayor uso capacidad al distrito que posee menor cantidad de clientes. • Si fue posible el paso de cliente (dada la actual matriz de adyacencias). • Si no fue posible el paso de cliente (dada la actual matriz de adyacencias) Pasar un cliente del distrito con mayor uso capacidad a cualquier distrito adyacente que tenga espacio. Pasar cualquier cliente que se encuentre en un distrito con exceso capacidad a cualquier distrito que tenga poco uso de capacidad Pasar un cliente de un distrito con exceso de capacidad a uno con poca utilización, y luego un cliente de un distrito con exceso al que recién se ha eliminado un cliente. FIN PASO CLIENTE

28. +Metodología Propuesta 7/10 27 Heurística Lagrangeana restricciones de Capacidad Pasar un cliente de un distrito saturado a uno con pocos clientes asignados iterativamente, pero respetando la matriz de adyacencia.

29. +Metodología Propuesta 8/10 28 Relajación Lagrangeana restricción de Asignación Sujeta a: (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)-(15)

30. +Metodología Propuesta 9/10 29 Relajación Lagrangeana restricción de Asignación Sujeta a: (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)-(15)

31. +Metodología Propuesta 10/10 30 Heurística Lagrangeana restricción Asignación • Heurística en la cual a partir de la solución obtenida con la relajación, se fijan clientes a distritos y/o mueven clientes entre los distritos tratando de alcanzar factibilidad. • La solución relajada puede traer consigo: clientes no asignados a distritos, clientes asignados a un distritoy clientes asignados a varios distritos. • Consta de dos fases: la primera fue hacer factible la restricción de asignación intentando respetar las restricciones de capacidad, y luego de hacer factible la restricción de asignación, si era necesario se utilizaba la segunda fase, que consistió en hacer factible las restricciones de capacidad utilizando procedimiento previamente descrito para la heurística lagrangeana de capacidad.

32. +Agenda 31 Introducción Descripción del Problema Formulación Matemática Análisis Empírico de la Estructura del Modelo Metodología propuesta basada en Relajación Lagrangeana Experimentación Computacional Conclusiones y Recomendaciones para Investigación Futura

33. +Experimentación Computacional 1/5 32 Instancias Se consideraron los 4 tipos de instancias de González-Ramírez et al. (2009). Se pudieron resolver únicamente las instancias de 50 clientes y 5 distritos Medidas de Desempeño = Valor óptimo del problema original obtenido con CPLEX. = Mejor valor Lagrangeana de la relajación de las restricciones de capacidad. = Mejor valor Lagrangeana de la relajación de la restricción de asignación. = UpperBound obtenido de la heurística Lagrangeana de las restricciones de capacidad. = UpperBound obtenido de la heurística Lagrangeana de la restricción de asignación.

34. +Experimentación Computacional 2/5 33 • Criterios de parada • 1) Si el valor del tamaño del salto en la iteración n, se ha vuelto lo suficientemente pequeño. • 2) Si el duality gapde la iteración n, entre el valor del UpperBound y la función objetivo de la relajación Lagrangeana de esa iteración es lo suficientemente pequeño.

35. +Experimentación Computacional 3/5 34 Resultados de los Esquemas de Relajación Viable Poco viable

36. +Experimentación Computacional 4/5 35 Análisis de Resultados: Soluciones

37. +Experimentación Computacional 5/5 36 Análisis de Resultados: Tiempos

38. +Agenda 37 Introducción Descripción del Problema Formulación Matemática Análisis Empírico de la Estructura del Modelo Metodología propuesta basada en Relajación Lagrangeana Experimentación Computacional Conclusiones y Recomendaciones para Investigación Futura

39. +Conclusiones y Propuestas Futuras 1/3 38 Conclusiones • La incorporación de los cortes 9 -15 al modelo original permite encontrar resultados en menores tiempos de resolución para la mayoría de las instancias. Sin embargo no para todas resulta siempre conveniente. • Se implementó el método de relajación Lagrangeanaen instancias de 50 clientes y 5 distritos, para las restricciones de capacidad y para la restricción de asignación, cuya principal ventaja fue que proporcionó una medida para estimar qué tan cerca está la solución del óptimo. • La relajaciónLagrangeana de las restricciones de capacidad tuvo un mejor desempeño para todos los tipos de instancias con un gap promedio entre elUpperBound y el óptimo fue de un 0,7%. Mientras que la relajación de las restricciones de asignación tuvo un gap promedioentre el UpperBound y el óptimo fue de un 5,3%.

40. +Conclusiones y Propuestas Futuras 2/3 39 • Al menos para instancias pequeñas, las metaheurísticas utilizadas en González-Ramírez (2009) para resolver el problema, obtienen resultados de mejor calidad que los obtenidos del método de relajación Lagrangeana, pero con diferencias mínimas con respecto al método de relajación Lagrangeanan de las restricciones de capacidad, aunque en instancias asimétricas esta relajación presentaresultados de mejor calidad que con las metaheurística. • La metodología de relajación Lagrangeanano se pudo probar en instancias más grandes, ya que CPLEX no arrojó para ellas soluciones confiables en un tiempo considerable.

41. +Conclusiones y Propuestas Futuras 3/3 40 Recomendaciones de Estudios Futuros • Proponer algún método para resolver los subproblemas resultantes de la relajación lagrangeana en vez de utilizar CPLEX para reducir el costo computacional que implica. • Implementar una metodología alternativa propuesta en la que se particione la región de servicio y se resuelva de manera individual los subproblemas. • Incorporar para la resolución deldual Lagrangeanoel método de Bendersen conjunto con el método del Subgradiente. • Probar otras medidas para estimar la compacidad. Actualmente se busca minimizar el tiempo de viaje entre los dos puntos más separados dentro de un distrito. Se propone utilizar como medida la minimización de la suma del tiempo de viaje de los puntos al centro de un distrito.