第三章关系

第三章关系 3.3 关系的特殊性质许多关系都有一些重要的特殊性质：自反性、对称性、传递性定义3自反关系 a∈A，(a, a)∈R（即IAR）反自反关系 a∈A，(a, a)R（即IA∩R=Ф）例1 考虑{1,2,3,4}上的关系 R1={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,4),(4,1),(4,4)} R2={(1,1),(1,2),(2,1)} R3={(1,1),(1,2),(1,4)(2,1),(2,2),(3,3),(4,1),(4,4)} R4={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)} R5={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)} R6={(3,4)} 其中哪些是自反的？解：关系R3和R5是自反的，因为它们都包含了(1,1), (2,2), (3,3)和(4,4)。

例2 正整数集合上的整除关系是自反的吗？ 解因为只要a是正整数就有a|a，整除关系是自反的。存在既不是自反也不是反自反的关系不存在既是自反又是反自反的关系自反非反自反，非反自反自反？反自反非自反，非自反反自反？定义3对称关系 a,b∈A，若(a, b)∈R则(b, a)∈R 即(a, b)∈R(b, a)∈R 反对称关系 a,b∈A，a≠b，若(a, b)∈R则(b, a)R 即(a, b)∈R(b, a)R 即a,b∈A，(a, b)∈R，(b, a)∈Ra=b 例4 正整数集合上的整除关系是对称的吗？它是反对称的吗？解这个关系不是反对称的，1整除2，但2不能整除1。它是反对称的，因若a和b是正整数且a|b和b|a，那么a=b.

存在既是对称又是反对称的关系（RIA） 存在既不是对称也不是反对称的关系对称非反对称？非反对称对称？反对称非对称？非对称反对称？定义5 传递关系a,b,c∈A，若(a, b)∈R,(b, c)∈R，则(a, c)∈R即(a, b)∈R,(b, c)∈R(a, c)∈R 例5 正整数集合上的整除关系是传递的吗？假设a整除b且b整除c，那么存在正整数k和l使得b=ak和c=bl。因此c=akl，即a整除c。从而证明了这个关系是传递的。例6 n元素集合上有多少个自反的关系？ A上的关系是A×A的子集。因此，要通过指定n2个有序对中的每一个是否在R中来确定关系。但是，如果R是自反的，对于a∈A, n个有序对(a,b)中的每一个都必须在R中。其他n(n-1)个形如(a,b)的有序对，ab，可能在也可能不在R中。因此，由计数的乘积法则，存在2n (n-1)个自反关系。

定理1 R传递n∈N， RnR。 证明首先证明定理的充分条件。假设对n=1,2,3,有Rn R.特别地，有R2 R。为证明R的传递性，注意到如果(a,b)∈R并且(b,c)∈R，根据合成定义就有(a,c)∈R2。因为R2 R,这就意味着(a,c)∈R。因此R是传递的。我们将使用数学归纳法证明定理的必要条件。对于n=1，定理的这个结果是显而易见的。假定Rn R，其中n是一个正整数，这是归纳假设。为完成归纳步骤，必须证明这将推出Rn+1也是R的子集。为了证明这一点，假设(a,b)∈Rn+1，那么因为Rn+1 = RnR,存在元素x∈A，使得(a,x)∈R并且(x,b)∈ Rn .由归纳假设，即Rn R，推出(x,b)∈R。下一步，因为R是传递的，以及(a,x)∈R和(x,b)∈R，得到(a,b)∈R.这就证明了Rn+1 R，从而完成了证明。

关系的性质与矩阵的性质 (1)自反矩阵对角线全1 (2)反自反矩阵对角线全0 (3)对称矩阵对称 (4)反对称任意两个相互对称的位置上至少有一个0 关系的性质与图形的性质 (1)自反每个顶点都有环 (2)反自反每个顶点均无环 (3)对称每对顶点之间若有边则必有两条方向相反的边 (4)反对称每对顶点之间至多只有一条边 (5)传递任意3个顶点之间，若有两条头尾相接的边，则必有第3条边，形成一个三角形的回路

习题 1.确定所有人的集合上的关系R是否是自反的、对称的、反对称的和传递的，其中(a,b) ∈R，当且仅当 a)a比b高。 b）a和b有共同的祖父母。 2.非对称关系也一定是反对称的吗？反对称关系也一定是非对称的吗？对你的答案说明理由。 3.证明集合A上的关系R是自反的，当且仅当补关系是反自反的。 4.设R是对称关系，证明对所有的正整数n，Rn也是对称的。

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