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第 6 章 树

第 6 章 树. 了解树的定义和基本术语； 掌握二叉树的定义、性质和表示； 算法设计（层次 3 ）：遍历二叉树及应用（先 / 中 / 后序遍历的递归算法，层次遍历）；（灵活应用，非递归不要求） 理解树和森林的定义、表示，掌握森林与二叉树的转换以及森林的遍历；（重点是孩子兄弟链表） 了解哈夫曼树的定义、构造（算法思想）及其应用（即哈夫曼编码）。. 第 6 章 树. 树是一类重要的非线性数据结构，是以分支关系定义的层次结构 6.1 树的定义 定义 定义：树 (tree) 是 n(n>=0) 个结点的有限集 T ， 其中：

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第 6 章 树

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  1. 第6章 树 • 了解树的定义和基本术语； • 掌握二叉树的定义、性质和表示； • 算法设计（层次3）：遍历二叉树及应用（先/中/后序遍历的递归算法，层次遍历）；（灵活应用，非递归不要求） • 理解树和森林的定义、表示，掌握森林与二叉树的转换以及森林的遍历；（重点是孩子兄弟链表） • 了解哈夫曼树的定义、构造（算法思想）及其应用（即哈夫曼编码）。

  2. 第6章 树 树是一类重要的非线性数据结构，是以分支关系定义的层次结构 • 6.1 树的定义 • 定义 • 定义：树(tree)是n(n>=0)个结点的有限集T，其中： • 有且仅有一个特定的结点，称为树的根(root) • 当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1,T2,……Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，称为根的子树(subtree) • 特点： • 树中至少有一个结点——根 • 树中各子树是互不相交的集合

  3. 只有根结点的树 A A 有子树的树 B C D E F G H I J K L M 根 子树

  4. 基本术语 • 结点(node)——表示树中的元素，包括数据项及若干指向其子树的分支 • 结点的度(degree)——结点拥有的子树数 • 叶子(leaf)——度为0的结点 • 孩子(child)——结点子树的根称为该结点的孩子 • 双亲(parents)——孩子结点的上层结点叫该结点的~ • 兄弟(sibling)——同一双亲的孩子 • 树的度——一棵树中最大的结点度数 • 结点的层次(level)——从根结点算起，根为第一层，它的孩子为第二层…… • 深度(depth)——树中结点的最大层次数 • 森林(forest)——m(m0)棵互不相交的树的集合

  5. A B C D E F G H I J K L M 结点A的度：3 结点B的度：2 结点M的度：0 叶子：K，L，F，G，M，I，J 结点I的双亲：D 结点L的双亲：E 结点A的孩子：B，C，D 结点B的孩子：E，F 结点B，C，D为兄弟 结点K，L为兄弟 树的度：3 树的深度：4 结点F，G为堂兄弟 结点A是结点F，G的祖先 结点A的层次：1 结点M的层次：4

  6. A A A A B B B C 只有根结点 的二叉树 左、右子树 均非空 空二叉树 右子树为空 左子树为空 • 6.2 二叉树 • 定义 • 定义：二叉树是n(n0)个结点的有限集，它或为空树(n=0)，或由一个根结点和两棵分别称为左子树和右子树的互不相交的二叉树构成 • 特点 • 每个结点至多有二棵子树(即不存在度大于2的结点) • 二叉树的子树有左、右之分，且其次序不能任意颠倒 • 基本形态

  7. 证明：用归纳法证明之 i=1时，只有一个根结点， 是对的 假设对所有j(1j<i)命题成立，即第j层上至多有 个结点 那么，第i-1层至多有　　 个结点 又二叉树每个结点的度至多为2  第i层上最大结点数是第i-1层的2倍，即　 故命题得证 • 性质2：深度为k的二叉树至多有 个结点(k1) 证明：由性质1，可得深度为k 的二叉树最大结点数是 • 二叉树性质 • 性质1：

  8. 性质3：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1性质3：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1 证明：n1为二叉树T中度为1的结点数 因为：二叉树中所有结点的度均小于或等于2 所以：其结点总数n=n0+n1+n2 又二叉树中，除根结点外，其余结点都只有一个 分支进入 设B为分支总数，则n=B+1 又：分支由度为1和度为2的结点射出，B=n1+2n2 于是，n=B+1=n1+2n2+1=n0+n1+n2 n0=n2+1

  9. 特点：每一层上的结点数都是最大结点数 • 完全二叉树 • 定义：深度为k，有n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时，称为~ • 特点 • 叶子结点只可能在层次最大的两层上出现 • 对任一结点，若其右分支下子孙的最大层次为l，则其左分支下子孙的最大层次必为l 或l+1 • 性质 • 性质4： • 几种特殊形式的二叉树 • 满二叉树 • 定义：

  10. 1 2 3 1 4 5 2 3 4 5 6 7 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1 2 3 2 3 4 5 6 7 6 4 5 8 9 10 11 12

  11. 性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，则对任一结点i(1in)，有：性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，则对任一结点i(1in)，有： (1) 如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是i/2 (2) 如果2i>n，则结点i无左孩子；如果2in，则其左孩子是2i (3) 如果2i+1>n，则结点i无右孩子；如果2i+1n，则其右孩子是2i+1

  12. 6.3 树的存储结构 • 树的存储结构 • 双亲表示法 • 实现：定义结构数组存放树的结点，每个结点含两个域： • 数据域：存放结点本身信息 • 双亲域：指示本结点的双亲结点在数组中位置 • 特点：找双亲容易，找孩子难 typedef struct node { datatype data; int parent; }JD; JD t[M];

  13. a data parent b c 0 0 9 a 1 f d e b 2 c 3 g h i d 4 e 5 f 6 g 7 h 8 i 9 0号单元不用或 存结点个数 0 1 1 2 2 3 5 5 如何找孩子结点 5

  14. data child1 child2 ………. childD data degree child1 child2 ………. childd • 孩子表示法 • 多重链表：每个结点有多个指针域，分别指向其子树的根 • 结点同构：结点的指针个数相等，为树的度D • 结点不同构：结点指针个数不等，为该结点的度d • 孩子链表：每个结点的孩子结点用单链表存储，再用含n个元素的结构数组指向每个孩子链表 孩子结点：typedef struct node { int child; //该结点在表头数组中下标 struct node *next; //指向下一孩子结点 }JD; 表头结点：typedef struct tnode { datatype data; //数据域 struct node *fc; //指向第一个孩子结点 }TD; TD t[M]; //t[0]不用

  15. a data fc b c 0 ^ a 1 f d e b ^ 2 c ^ 3 g h i d 4 4 9 8 7 3 2 5 6 e ^ 5 f 6 g 7 h 8 i 9 ^ ^ ^ ^ 如何找双亲结点 ^

  16. a b c parent data fc ^ 0 a 1 f d e 1 b ^ 2 1 c ^ 3 g h i d 2 4 ^ 2 3 8 4 6 9 7 5 ^ 2 e 5 3 f ^ 6 g 5 ^ 7 5 h 8 ^ 5 i 9 ^ • 带双亲的孩子链表

  17. a b c f d e g h i h b g d a i e f c typedef struct node { datatype data; struct node *fch, *nsib; }JD; • 孩子兄弟表示法（二叉树表示法） • 实现：用二叉链表作树的存储结构，链表中每个结点的两个指针域分别指向其第一个孩子结点和下一个兄弟结点 • 特点 • 操作容易 • 破坏了树的层次 ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

  18. a b c d e f g 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 a b c d e 0 0 0 0 f g • 二叉树的存储结构 • 顺序存储结构 • 实现：按满二叉树的结点层次编号，依次存放二叉树中的数据元素 • 特点： • 结点间关系蕴含在其存储位置中 • 浪费空间，适于存满二叉树和完全二叉树

  19. lchild data rchild A B G A F C D E B C D E F G typedef struct node { datatype data; struct node *lchild, *rchild; }JD; • 链式存储结构 • 二叉链表 ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 在n个结点的二叉链表中，有n+1个空指针域

  20. lchild data parent rchild C G A B F D E A B C D E F G • 三叉链表 typedef struct node { datatype data; struct node *lchild, *rchild, *parent; }JD; ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

  21. 对应 二叉树 树 A A 存储 B B C E C 存储 D D E ^ D ^ ^ D ^ A ^ C ^ E ^ A ^ ^ B A ^ ^ B ^ E ^ ^ E ^ ^ B C ^ D ^ C 解释 解释 • 树与二叉树转换

  22. A A A B B B C C C D D D A E E E F F F G G G H H H I I I B A E C F D B C D G H E F G H I I • 将树转换成二叉树 • 加线：在兄弟之间加一连线 • 抹线：对每个结点，除了其左孩子外，去除其与其余孩子之间的关系 • 旋转：以树的根结点为轴心，将整树顺时针转45° 树转换成的二叉树其根右子树一定为空

  23. A A A B B A B E C E C E C B C D F D F D A F D E F G H I G H B G H G H E C I I I F D G H I • 将二叉树转换成树 • 加线：若p结点是双亲结点的左孩子，则将p的右孩子，右孩子的右孩子，……沿分支找到的所有右孩子，都与p的双亲用线连起来 • 抹线：抹掉原二叉树中双亲与右孩子之间的连线 • 调整：将结点按层次排列，形成树结构

  24. G G G E G A H H H H I F B C D I I I J J J J A A A B E E E B B C F F F C C D D D • 森林转换成二叉树 • 将各棵树分别转换成二叉树 • 将每棵树的根结点用线相连 • 以第一棵树根结点为二叉树的根，再以根结点为轴心，顺时针旋转，构成二叉树型结构

  25. G G G E G A H H H H I F B C D I I I J J J J A A A B B E E E B C C F F F C D D D • 二叉树转换成森林 • 抹线：将二叉树中根结点与其右孩子连线，及沿右分支搜索到的所有右孩子间连线全部抹掉，使之变成孤立的二叉树 • 还原：将孤立的二叉树还原成树

  26. 6.4 树和二叉树的遍历 • 树的遍历 • 遍历——按一定规律走遍树的各个顶点，且使每一顶点仅被访问一次，即找一个完整而有规律的走法，以得到树中所有结点的一个线性排列 • 常用方法 • 先根（序）遍历：先访问树的根结点，然后依次先根遍历根的每棵子树 • 后根（序）遍历：先依次后根遍历每棵子树，然后访问根结点 • 按层次遍历：先访问第一层上的结点，然后依次遍历第二层，……第n层的结点

  27. A B C D G E F H J K L M I N O A B E F I G C D H J K L N O M 先序遍历： E I F G B C J K N O L M H D A 后序遍历： A B C D E F G H I J K L M N O 层次遍历：

  28. D L R LDR、LRD、DLR RDL、RLD、DRL • 二叉树的遍历 • 方法 • 先序遍历：先访问根结点,然后分别先序遍历左子树、右子树 • 中序遍历：先中序遍历左子树，然后访问根结点，最后中序遍历右子树 • 后序遍历：先后序遍历左、右子树，然后访问根结点 • 按层次遍历：从上到下、从左到右访问各结点

  29. A C B D A D L R D L R > > > B C D L R > > D 先序遍历: D L R 先序遍历序列：A B D C

  30. A C B D B L D R L D R > > > A C L D R > > D 中序遍历: L D R 中序遍历序列：B D A C

  31. A C B D L R D L R D B L R D > > > A C > > D 后序遍历: L R D 后序遍历序列： D B C A

  32. - + / a * f e b - c d 算术表达式与二叉树 a+b*(c-d)-e/f - + a * b - c d / e f 先序遍历： 前缀表达式、波兰 a + b * c - d - e / f 中缀表达式（少括号） 中序遍历： a b c d - * + e f / - 后缀表达式、逆波兰 后序遍历： 层次遍历： - + / a * e f b - c d

  33. 算法 • 递归算法 P129 算法6.1 先序遍历 简化算法 PreOrderTraverse(BiTree T) { if (T) { //递归条件 T 非空 printf(T->data); PreOrderTraverse(T->lchild); PreOrderTraverse(T->rchild); } }

  34. A B C 左是空返回 左是空返回 > 右是空返回 T D T 左是空返回 B T D 右是空返回 T printf(B); > A T printf(D); 主程序 pre(T L); printf(A); pre(T L); pre(T R); pre(T L); > pre(T R); T Pre( T ) pre(T R); T C > T printf(C); pre(T L); > pre(T R); T A void preorder(JD *bt) { if(bt!=NULL) { printf("%d\t",bt->data); preorder(bt->lchild); preorder(bt->rchild); } } B C D 返回 返回 返回 返回 先序序列：A B D C 返回

  35. p p p i i P->A P->B P->A (2) A A A A (1) B B B B C C C C D D D D i E E E E F F F F P->C i G G G G P->B P->B p=NULL P->A P->A (3) 访问：C (4) • 非递归算法（了解即可） 中序 算法6.2 算法6.3

  36. p p i i P->D P->A P->A (5) 访问：C B (6) 访问：C B A A A A B B B B C C C C D D D D i E E E E F F F F i P->E P->D P->D G G G G P->A P->A p p 访问：C B E 访问：C B (8) (7)

  37. p p i P->G i P->D P->D P->A P->A 访问：C B E (9) (10) 访问：C B E G P=NULL A A A A p B B B B C C C C D D D D i E E E E F F F F P->F i G G G G P->A P->A 访问：C B E G D 访问：C B E G D (12) (11)

  38. p i i P->A p=NULL (13) 访问：C B E G D F A (14) 访问：C B E G D F A A A p=NULL B B B C C C D D D E E E F F F G G G i (15) 访问：C B E G D F A

  39. A A ^ B ^ C ^ D ^ E ^ F ^ ^ G ^ B C D E F G • 遍历算法应用 （重要）求结点双亲、孩子、层次，建树等 • 按先序遍历序列建立二叉树的二叉链表，已知先序序列为： A B C  D E G  F    (其中表示空格字符) P131 算法6.4 • 统计二叉树中叶子结点个数算法 • 求二叉树深度算法

  40. BiTree CreateBiTree(BiTree &T) { // 算法6.4 // 按先序次序输入二叉树中结点的值（一个字符），空格字符表示空树， // 构造二叉链表表示的二叉树T。 scanf("%c",&ch); if (ch=='#') T = NULL; else { if (!(T = (BiTNode *)malloc(sizeof(BiTNode)))) return ERROR; T->data = ch; // 生成根结点 CreateBiTree(T->lchild); // 构造左子树 CreateBiTree(T->rchild); // 构造右子树 } return T; } // CreateBiTree

  41. 思考题： 假设二叉树中结点的存储结构定义如下： typedef struct BTNode{ ElemType data; struct BTNode *lchild, *rchild, *next; }BTNode, *BiTree; 其中lchild和rchild用来保存结点的左、右孩子结点的指针，next保存结点在后序遍历序列中的直接后继结点的指针。初始时，二叉树中各结点的next均为空。试编写一算法，为二叉树中各结点的next填上合适的指针值，即其在后序遍历序列中的直接后继结点的指针。

  42. 6.5 二叉树的应用 • 哈夫曼树(Huffman)——带权路径长度最短的树 • 定义 • 路径：从树中一个结点到另一个结点之间的分支构成这两个结点间的~ • 路径长度：路径上的分支数 • 树的路径长度：从树根到每一个结点的路径长度之和 • 树的带权路径长度：树中所有叶子结点的带权路径长度之和 • Huffman树——设有n个权值{w1,w2,……wn}，构造一棵有n个叶子结点的二叉树，每个叶子的权值为wi,则wpl最小的二叉树叫~

  43. a b c d 7 5 2 4 c 2 7 a 4 d 5 b a b 2 4 c d 7 5 例 有4个结点，权值分别为7，5，2，4，构造有4个叶子结点的二叉树 WPL=7*2+5*2+2*2+4*2=36 WPL=7*3+5*3+2*1+4*2=46 WPL=7*1+5*2+2*3+4*3=35

  44. 构造Huffman树的方法—Huffman算法 • 构造Huffman树步骤 • 根据给定的n个权值{w1,w2,……wn}，构造n棵只有根结点的二叉树，令起权值为wj • 在森林中选取两棵根结点权值最小的树作左右子树，构造一棵新的二叉树，置新二叉树根结点权值为其左右子树根结点权值之和 • 在森林中删除这两棵树，同时将新得到的二叉树加入森林中 • 重复上述两步，直到只含一棵树为止，这棵树即哈夫曼树

  45. 例 7 7 18 7 2 7 2 2 2 4 4 4 4 11 5 5 5 5 11 a a a a b b b b c c c c d d d d 6 6 6

  46. 29 23 5 29 7 8 14 23 3 11 29 29 29 29 14 14 14 14 29 29 7 8 14 23 11 42 42 42 8 8 15 8 15 15 15 8 8 8 8 15 15 23 23 23 5 5 7 7 7 5 5 7 5 7 5 7 5 3 3 3 3 8 8 8 8 8 3 8 3 3 29 14 23 11 58 58 29 29 100 29 14 23 19 19 19 19 19 11 11 11 11 11 例 w={5, 29, 7, 8, 14, 23, 3, 11}

  47. Huffman算法实现 • 一棵有n个叶子结点的Huffman树有2n-1个结点 • 采用顺序存储结构——一维结构数组 • 结点类型定义 typedef struct { unsigned int weight; unsigned int parent,lchild,rchild; }HTNode, *HuffmanTree; type def char **HuffmanCode;

  48. 7 2 4 5 a b c d lc data rc pa lc data rc pa lc data rc pa lc data rc pa 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 6 5 5 6 7 0 0 6 5 5 6 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 5 6 0 0 0 0 4 5 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 3 2 1 0 0 0 0 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 7 5 2 4 0 0 0 7 5 2 4 6 11 0 7 5 2 4 6 0 0 7 5 2 4 6 11 18 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 (2) (1) x1=3,x2=4 m1=2,m2=4 (3) k k k (4) x1=2,x2=5 m1=5,m2=6 x1=1,x2=6 m1=7,m2=11

  49. B E D 等级 A C 60~69 70~79 80~89 90~100 分数段 0~59 Y a<60 Y Y 70a<80 0.30 比例 0.05 a<80 0.15 0.40 0.10 N E N N C Y C a<70 Y a<70 Y Y 80a<90 a<90 N E Y a<60 N D N N B C B Y N D a<80 Y 60a<70 E A D N E A C N D Y a<90 Y a<60 N N B E A A • Huffman树应用 • 最佳判定树

  50. 14 1 0 6 8 0 1 0 1 3 3 4 4 0 1 T ; A 2 2 C S • Huffman编码：数据通信用的二进制编码 • 思想：根据字符出现频率编码，使电文总长最短 Σwklk Wk大，lk小，li不能为lj的前缀（二义性） • 编码：根据字符出现频率构造Huffman树，然后将树中结点引向其左孩子的分支标“0”，引向其右孩子的分支标“1”；每个字符的编码即为从根到每个叶子的路径上得到的0、1序列 • 严格二叉树：没有度1的结点，n个叶子，共2n-1个结点 例 要传输的字符集 D={C,A,S,T, ; } 字符出现频率 w={2,4,2,3,3} T : 00 ; : 01 A : 10 C : 110 S : 111

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