Bài toán Hà tiện

1. Bài toán Hà tiện Giảng viên: TS. Đỗ Phan Thuận Sinh viên: Nguyễn Việt Hà Lê Ngọc Minh 1

2. Bài toán Hà tiện • Cây tiến hóa • Bài toán Hà tiện nhỏ • Phương pháp giải của Fitch và Sankoff • Cài đặt Sankoff • Bài toán Hà tiện lớn • Bài toán Hà tiện lớn là NP-đầy đủ • Thuật toán nhánh cận • Các thuật toán tìm kiếm cục bộ 2

3. Cây tiến hóa • Cây tiến hóa được dùng để mô hình hóa cơ chế tiến hóa giữa các loài. • Giúp giải thích được quan hệ họ hàng, tổ tiên giữa các loài. • Cây tiến hóa thường là cây nhị phân 3

4. 4

5. Cây tiến hóa • Cây có gốc • Gốc = Loài tổ tiên xa nhất • Lá = Loài hiện tại • Nút trong = Loài tổ tiên giả thuyết • Đường đi gốc  lá = Đường tiến hoá • Cây không gốc • Không quan tâm đến vị trí của loài tổ tiên chung trong cây 5

6. Cây tiến hóa • Cây nhị phân có trọng số • Cạnh có trọng số dương (cũng gọi là độ dài) • Trọng số trên cạnh (v, w) thể hiện: • Số lượng biến dị từ v đến w • Khoảng cách ước lượng về thời gian tiến hoá 6

7. Xây dựng cây tiến hóa • Có nhiều phương pháp xây dựng cây tiến hóa • Một trong các phương pháp xây dựng cây là dựa vào ma trận đặc tính loài. • Đầu vào là một ma trận đặc tính loài m x n. • Đầu ra: cây có số lá tương ứng với n loài hiện có và có đỉnh tương ứng với loài tổ tiên • Mục tiêu: Tìm chuỗi ký tự ở các nút bên trong cây sao cho chuỗi ký tự này giải thích tốt nhất cho n loài quan sát. • Khác biệt được tính bằng khoảng cách Hamming • Giải quyết bằng bài toán Hà tiện 7

8. Bài toán Hà tiện • Bài toán Hà tiện là các bài toán xây dựng cây sao cho tối thiểu hóa điểm hà tiện. • Điểm hà tiện của cây T là tổng độ dài các cạnh của nó. • Bài toán Hà tiện nhỏ • Bài toán Hà tiện lớn 8

9. Bài toán Hà tiện nhỏ • Mục tiêu: Tìm cách gán nhãn tối thiểu cho các đỉnh trong của một cây tiến hóa. • Đầu vào: Cây T với mỗi lá đã được gán nhãn bởi xâu m ký tự. • Đầu ra: Phép gán nhãn các đỉnh trong của cây T sao cho tối thiểu hóa điểm hà tiện. • Hai phương pháp giải bài toán Hà tiện nhỏ đã giới thiệu là của Fitch và Sankoff đều có thời gian chạy O(nm). 9

10. Giải thuật của Sankoff • Khởi tạo: gán st(v) theo luật sau: • st(v) = 0 nếu v được gán nhãn t • st(v) = ∞ nếu ngược lại • Tính st(v) – điểm hà tiện nhỏ nhất của đỉnh v với ký tự t: • Với u,w là đỉnh con của v; 1≤i,j ≤ k là các ký tự. • Sau khi tính được st(v) của các đỉnh, ta thực hiện gán nhãn bằng phương pháp quay lui. 10

11. Phương pháp gán nhãn của Fitch • Phương pháp này gán tập ký tự Sv cho mỗi đỉnh theo cách sau: • Nếu v là lá, Sv chứa 1 ký tự là nhãn của lá đó. • Nếu v là cạnh trong với đỉnh con u,w, Sv được tạo thành như sau: • Sv được gán theo thứ tự duyệt sau từ lá đến gốc. 11

12. Phương pháp gán nhãn của Fitch • Sau khi có các tập Sv ta chọn một ký tự đế gán nhãn cho mỗi đỉnh bằng cách: • Gán ký tự bất kỳ thuộc Sr cho gốc. • Duyệt cây theo thứ tự trước từ gốc đến lá. • Cho mỗi đỉnh trong v, • gán nhãn giống của cha cho đỉnh đó nếu nhãn của cha thuộc Sv. • Nếu không thì gán nhãn bất kì từ tập Sv. 12

13. Cài đặt giải thuật của Sankoff • VD: Với ma trận k x k (δi,j): 13

14. 14

15. 15

16. 16

17. 17

18. Điểm hà tiện S(T) = 9 18

19. Bài toán Hà tiện lớn • Bài toán Hà tiện lớn sẽ giải quyết vấn đề xây dựng cấu trúc cây mà bài toán Hà tiện nhỏ chưa giải quyết. 19

20. Bài toán Hà tiện lớn (LPP) • Đầu vào: Ma trận M(n × m) biểu diễn n loài, mỗi loài bằng một chuỗi m ký tự. • Đầu ra: Một cây T có n lá được gán nhãn bằng n hàng của ma trận M và một cách gán nhãn các đỉnh trong của cây đó sao cho điểm hà tiện là nhỏ nhất. 20

21. Số cấu trúc cây cần duyệt qua • Nếu định duyệt qua tất cả các cấu trúc cây, ta cần xem xét số lượng cấu trúc cần duyệt. • Theo Cayley số cây không gốc có gán nhãn khác nhau với n đỉnh: nn-2 • Nếu như coi cây tiến hóa là cây nhị phân đầy đủ: (2n-3)!! • Trường hợp coi cây tiến hóa là cây có gốc thông thường với N đỉnh trong đó có n lá: 21

22. Bài toán Hà tiện lớn (LPP)Khó như thế nào? • Thực tế bài toán Hà tiện lớn là NP-đầy đủ 22

23. Bài toán Hà tiện lớn (LPP) ở dạng quyết định • Đầu vào: Cho n nút lá, mỗi nút biểu diễn một chuỗi đặc tính hoặc thứ tự DNA. Xây dựng một cây có gốc T bằng cách gán nhãn cho các nút lá của nó các chuỗi đầu vào và gán nhãn cho các đỉnh trong các xâu tương ứng sao cho có cây với điểm hà tiện tối thiểu. Gọi S(T) là điểm hà tiện của cây T. • Đầu ra: Cho một hằng số BϵR+, có cây T nào mà . 23

24. Hướng chứng minh NP-đầy đủ • Thực hiện với một trường hợp cụ thể của LPP. • Giả sử tổng số đỉnh của cây là đã biết, đặt là N, trong đó số lượng nút lá là n. • Ví dụ với trường hợp cụ thể là cây nhị phân đầy đủ có gốc, N = (2n-1). • Gọi trường hợp cụ thể của LPP là S-LPP 24

25. Hướng chứng minh NP-đầy đủ • Chứng minh S-LPP là NP-đầy đủ bằng cách quy dẫn từ bài toán Minimum Energy Broadcast tree (MEB). • MEB đã được chứng minh là NP-đầy đủ qua phép quy dẫn từ bài toán Phủ tập (Set Cover Problem). 25

26. Bài toán Truyền thông tối thiểu năng lượng (MEB) • Đầu vào: Xem xét tập đỉnh V gồm N đỉnh s ϵ V: đỉnh nguồn, Tập trọng số các cạnh: Px là năng lượng cần thiết cho một nút x: • Đầu ra: Cho một hằng số BϵR+, có cây có gốc tại S nào mà . 26

27. S PS X1 Px1 27

28. S 28

29. S 29

30. Bài toán Truyền thông tối thiểu năng lượngvới n lá xác định (MEnB) • Xem xét bài toán Minimum Energy n-lá-xác-định Broadcast tree (MEnB): • Có 1 đỉnh nguồn đã biết, • n nút lá đã biết trong N-1 đỉnh đích. • Đầu ra cần xác định của bài toán là một cây có gốc là đỉnh nguồn truyền tới N-1 đỉnh trong đó có đúng n nút lá đã được xác định sao cho tối thiểu hóa tổng năng lượng cần dùng. 30

31. MEnB là NP-đầy đủ • MEnB là bài toán thuộc lớp NP do có Bằng chứng ngắn gọn dễ kiểm tra. • Giả sử ta tìm được cây MEnB với năng lượng tối thiểu. • Loại bỏ n nút lá đã định nghĩa cùng các cạnh tương ứng trên cây MEnB.  Một cây có (N-n) đỉnh gọi là rMEnB. Tính được năng lượng cần cho cây này đặt là Wr. 31

32. S 32

33. Với B=Wr S 33

34. MEnB là NP-đầy đủ • MEnB đã trở thành bài toán MEB: có thể xây dựng cây MEB cho (N-n) đỉnh với mức năng lượng Wr hay không? • MEnB ít nhất cũng khó như việc tìm cây MEB trong (N-n) đỉnh còn lại trong đó có 1 đỉnh nguồn và (N-n-1) đỉnh đích. Vậy MEnB cũng là NP-đầy đủ. 34

35. Bài toán Hà tiện lớn (LPP) là NP-đầy đủ • S-LPP là bài toán thuộc lớp NP: • Cho một cấu trúc cây nhị phân có gốc có N đỉnh trong đó có n nút lá đã được gán nhãn. • Có thể kiểm tra điểm hà tiện của cây này có nhỏ hơn hằng số B hay không bằng giải thuật của Fitch hoặc Sankoff, chạy trong thời gian đa thức. 35

36. Bài toán Hà tiện lớn (LPP) là NP-đầy đủ • Tồn tại phép quy dẫn độ phức tạp đa thức từ MEnB sang S-LPP: • Với một đầu vào của MEnB, mục tiêu là xây dựng một cây nhị phân có gốc tại đỉnh nguồn tới N-1 đỉnh đích trong đó có đúng n nút lá sao cho năng lượng cần dùng là tối thiểu. • Đầu vào S-LPP tương đương với đầu vào MEnB này có thể được xây dựng như sau: 36

37. Phép quy dẫn • Ánh xạ n lá của MEnB sang n lá của S-LPP tương ứng một-một. • Dựa trên liên hệ giữa khoảng cách Euclidean giữa các đỉnh của MEnB và khoảng cách Hamming của các chuỗi đầu đầu vào trong S-LPP. • Phép ánh xạ • Trong đó khoảng cách A,T,G,C được xác định theo khoảng cách Hamming 38

38. Phép quy dẫn • Phép ánh xạ: • Từ mỗi cấu trúc cây từ đầu vào MEnB, cho một giá trị năng lượng cần dùng duy nhất. Cũng cấu trúc cây đó, từ giải thuật của Fitch hoặc Sankoff, ta có thể tính được duy nhất 1 giá trị điểm hà tiện của cây bằng cách gán lại nhãn cho cách đỉnh trong. • Năng lượng cần cho một đỉnh để có thể truyền tin có thể được ánh xạ sang số đột biến xảy ra trên một đỉnh của S-LPP. • Về cơ bản khi tìm ra cây MEnB thì có thể xác định được là có thể dựng được một cây N đỉnh có chính xác n nút lá được gán nhãn mà điểm hà tiện nhỏ hơn một số B (BϵR+) hay không. 39

39. Bài toán Hà tiện là NP-đầy đủ • Do giải thuật của Fitch hay Sankoff có độ phức tạp O(nm). Do đó, tồn tại phép quy dẫn ra đầu vào cho S-LPP từ đầu vào của MEnB trong thời gian đa thức. • MEnB là NP-đầy đủ  S-LPP là NP-đầy đủ. • S-LPP chỉ là một trường hợp riêng của LPP  LPP cũng là NP-đầy đủ. 41

40. Bài toán Hà tiện là NP-đầy đủ • LPP đã được chứng minh là NP-đầy đủ qua phép quy dẫn từ bài toán MEB: • MEnB(MEB)S-LPP(LPP) • Việc mong tìm một giải thuật giải được bài toán Hà tiện lớn một cách vừa nhanh chóng vừa chính xác là vô vọng.

41. Thuậttoánnhánhcận 43

42. Biểudiễncây • Xét mảng [i3][i5][i7]...[i2n-5], với mỗi ik nhận giá trị 1...k • Ban đầu cây có 3 chuỗi x1, x2, x3 • Thêm chuỗi x4 vào cạnh có chỉ số lưu trong [i3]: có 3+2=5 cạnh • Thêm chuỗi x5 vào cạnh có chỉ số lưu trong [i5]: có 5+2=7 cạnh • ... • Thêm chuỗi xn để được cây hoàn chỉnh. 44

43. Biểudiễncây • Ví dụ: n=5, [i3][i5] = (1, 3) 45

44. Phép duyệt toàn bộ • Tưởng tượng mảng [i3][i5][i7]...[i2n-5] là một chiếc công-tơ-mét • Công-tơ-mét chạy cho ta một phép duyệt tất cả cây n lá 46

45. Phép duyệt toàn bộ • Để duyệt các cây ít hơn n lá, ta cho phép bộ đếm nhận giá trị 0 • Ý nghĩa: xâu thứ k không được đưa vào cây • Không có giá trị khác không bên phải 0 • Nếu có một dãy số 0 về bên phải, ta tăng cả dãy 47

46. Cắt nhánh • Thêm nút lá mới chỉ làm tăng điểm hà tiện của cây • Nếu cây đang xây dựng có điểm lớn hơn điểm tốt nhất hiện biết  cắt nhánh • Tăng bộ đếm khác không bên phải nhất lên một 48

47. Cài đặt 49

48. Kết quả thử nghiệm 50

49. Kết quả thử nghiệm • Số lượng cây không gốc n lá: 3.5.7...(2n-5) = (2n-5)!! • Khối lượng tính toán quá lớn  Áp dụng các chiến lược tìm kiếm cục bộ 51

50. Các thuật toán tìm kiếm cục bộ 52