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第五节 对面积 曲面 积分的计算法

第五节 对面积 曲面 积分的计算法. 几何形体上的积分. 重积分. 对弧长的曲线积分. 曲面面积元素. 积分曲面. 当 G 为一光滑曲面 , 被积函数. 有. 对面积的曲面积分 ( 第一类 曲面积分 ). 计算对面积的曲面积分. —— 化为二重积分. ?. 曲面积分元素为. 第一型曲面积分化为二重积分的公式为. 用切平面小块 来代替 ,而. 如果曲面 的方程由 x=x(y,z) 或 y=y(x,z) 给出, 也可类似地把第一型曲面积分化为 yoz 面或 xoz 面上的二重积分。.

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第五节 对面积 曲面 积分的计算法

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Presentation Transcript


  1. 第五节 对面积曲面积分的计算法 几何形体上的积分 重积分 对弧长的曲线积分

  2. 曲面面积元素 积分曲面 当G为一光滑曲面 , 被积函数 有 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)

  3. 计算对面积的曲面积分 ——化为二重积分 ?

  4. 曲面积分元素为 第一型曲面积分化为二重积分的公式为 用切平面小块 来代替 ,而

  5. 如果曲面 的方程由x=x(y,z)或y=y(x,z)给出, 也可类似地把第一型曲面积分化为yoz面或xoz 面上的二重积分。

  6. 例1 计算 ,其中 是球面 被平面 截出的顶部。

  7. 解 的方程为 ,它在xoy面上的 投影区域D为 , 的曲面面积元素 为

  8. 所以

  9. 例2 计算 ,其中 是三个坐标面和 平面 围成的四面体的整个边界曲面。

  10. 解 边界曲面 由四块组成: 他们的表达式分别是 于是 由于在 , , 上 均为零, 所以

  11. 在 上 , , 又 在xoy面上的投影区域D为 围成的三角形

  12. 所以

  13. 例3 计算 ,其中 为圆柱面 介于平面z =0和z =H(H>0)且在第一卦限的部分。 解 由于 不能表示成z=z(x,y)的形式 现写成 ,这样就需投影到yoz面上, 投影区域D为矩形

  14. 有 于是

  15. 所以

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