AG8 Derivatentheorie Samenvatting en oefententamen

1. AG8 DerivatentheorieSamenvatting en oefententamen

2. 2 Agenda Korte bespreking / herhaling les 1 t/m 7 Instrumenten Forwards en futures Swaps Opties Waardering Grieken Hedging Toepassingen in ALM

3. 3 Futures Contracten Afspraak om product in toekomst te verhandelen tegen afgesproken prijs Beschikbaar voor groot spectrum aan onderliggende producten Beursgenoteerd Specificaties bepaald door de beurs Dagelijks gesettled Transactie vaak tegengesloten voor expiratie

4. 4 Forward Contracts Afspraak om product in toekomst te verhandelen tegen afgesproken prijs In principe beschikbaar voor ieder mogelijk onderliggend product. Over the counter, vaak via grote bank Specificaties worden met tegenpartij afgesproken Aan einde looptijd (niet tussentijds) gesettled

5. 5 Margins Een margin bestaat uit een positie in cash of liquide producten die gedeponeerd zijn bij een derde partij De balans van het margin account wordt dagelijks aangepast na afrekening winst of verlies. Het margin account zorgt er voor dat een mogelijk verlies door default minimaal is.

6. 6 Forward vs Futures Contracts

7. 7 Convergentie Future naar Spot

8. 8 Waarde Forwardcontract Voor een forward geldt: K is leverprijs van het contract F0 is de forward prijs op tijdstip 0. De waarde van een long forward contract ƒ: ƒ = (F0 – K ) e–rT De waarde van een short forward contract is  ƒ = (K – F0) e–rT

9. 9 Stock Index Kan gezien worden als een investment asset dat dividenden betaald De relatie tussen de futures prijs en spot prijs is  F0 = S0 e(r–q )T waarbij q de dividend yield van de index is

10. 10 Long & Short Hedges Een long futures hedge zal gebruikt worden als je weet dat je een asset in de toekomst moet kopen en daarvan de prijs wilt vastzetten Een short futures hedge zal gebruikt worden als je weet dat je een asset in de toekomst moet verkopen en daarvan de prijs wilt vastzetten

11. 11 Renteswap Voorbeeld van een renteswap Overeenkomst dat Microsoft: Iedere zes maanden 6-maands LIBOR ontvangt Vaste rente van 4% (op jaarbasis) betaalt Gedurende 3 jaar Op een hoofdsom van $100 miljoen

12. 12 Typisch gebruik renteswap Converteren van een verplichting of asset van vaste rente naar variabele rente variabele rente naar vaste rente

13. 13 Optie definitie De koper van een optie heeft het recht tot koop (Calloptie) of verkoop (Putoptie) van een vooraf bepaalde onderliggende waarde Op een vooraf vastgestelde datum (Europese optie) of daarvoor (Amerikaanse optie) Tegen een vooraf vastgestelde prijs (strike)

14. 14 Payoff call optie (long)

15. 15 Payoff put optie (short)

16. 16 Beurs vs OTC opties

17. 17 Margins Onderpand voor geschreven opties Geschreven put: men dient de onderliggende waarde te kopen tegen vooraf afgesproken prijs Geschreven call: men dient de onderliggende waarde te leveren tegen marktwaarde (en ontvangt de uitoefenprijs)

18. 18 Optieprijs Welke variabelen bepalen de waarde van eenoptie? Aandeelprijs S Uitoefenprijs X Resterende looptijd t Rente r Dividend D Volatiliteit van de onderliggende waarde s Welke invloed hebben deze variabelen?

19. 19 Effecten optieparameters

20. 20 Put-Call Pariteit Beschouw volgende 2 portfolios: Portfolio A: Europese call (strike X) op een aandeel + bedrag in contanten X exp(-rT) Portfolio B: Europese put (strike X) op het aandeel + het aandeel zelf Beide portfolio’s zijn waard max(ST, X ) op expiratie van de opties Beiden zijn nu evenveel waard (arbitrage): c + X e-rT = p + S0

21. 21 optie & onderliggende aandeel

22. 22 Volatiliteit Beweeglijkheid onderliggende waarde Hoe beweeglijker het aandeel, hoe hoger de volatiliteit Historische vs implied volatility Hoe hoger de implied volatility, hoe meer een optie waard is Oorzaak: asymmetrie van de pay-off

23. 23 Hist. versus Implied vol. Historische volatiliteit is vaak lager dan Implied Volatility Redenen voor verschil als gevolg van B&S aannames Liquiditeit; hedging niet perfect => extra kosten Markten in praktijk niet-normaal => “crashes” in praktijk vaker dan de normale verdeling voorspelt Volatiliteit niet constant Dus “impliciet” is een correctie voor model- aannames die in de praktijk niet werken

24. 24 Binomiaal Model De aandelen prijs is $20 Over 3 maanden is de aandelenprijs $22 of $18

25. 25 Risicoloze Portefeuille Portefeuille : long D aandelen short 1 call optie Portefeuille is risicoloos als 22D – 1 = 18D Dus D = 0.25

26. 26 Portefeuille waarderen De risicoloze portefeuille is: long 0.25 aandelen short 1 call optie De waarde van de portefeuille over 3 maanden 22*0.25 – 1 = 4.50 De waarde van de portefeuille vandaag 4.5e – 0.12*0.25 = 4.3670

27. 27 Waarde Optie De portefeuille long 0.25 shares short 1 option is 4.367 waard De aandelen zijn waard 0.25*20 = 5.000 De waarde van de optie is dus 5.000 – 4.367 = 0.633

28. 28 Generalisatie Portefeuille met long D aandelen en short 1 derivaat The portefeuille is risicoloos als S0u D – ƒu = S0d D – ƒd

29. 29 Generalisatie Waarde op tijdstip T is S0u D – ƒu Waarde vandaag is (S0u D – ƒu )e–rT Alternatieve manier waarde vandaag S0D – f Dus ƒ = S0D – (S0u D – ƒu )e–rT

30. 30 Generalisatie Vervang D door p ƒ = [ p ƒu + (1 – p )ƒd ]e–rT met

31. 31 Risk-Neutral Valuation ƒ = [ p ƒu + (1 – p )ƒd ]e-rT De variabelen p and (1 – p ) zijn de risicovrije kansen dat het aandeel omhoog of naar beneden gaat De waarde van het derivaat is de verwachte opbrengst in de risicovrije wereld

32. 32 Uitbreiding binomiale boom

33. 33 Binomiale boom

34. 34 Black & Scholes Onderliggende volgt een lognormale random walk Constante volatility De risico vrije rente is constant Delta hedge gebeurt continu Geen transactiekosten Geen arbitragemogelijkheden Onbeperkte kostenloze short selling

35. 35 Aandeel Prijs Een aandeel heeft prijs S In een korte tijdsperiode van lengte dt is het rendement van het aandeel normaal verdeeld: met m het verwachte rendement en s is de volatiliteit

36. 36 Concepten Black-Scholes De optie prijs en de aandeel prijs hangen beide af van dezelfde onderliggende bron van onzekerheid Een portefeuille met een aandeel en optie kan gemaakt worden die de onderliggende bron van onzekerheid elimineert Deze portefeuille is risicoloos en ontvangt de risicovrije rente Deze stappen leiden tot de Black-Scholes differentiaal vergelijking

37. 37 Risico-Neutraal De variabele ? komt niet voor in de Black Scholes vergelijking De vergelijking is onafhankelijk van risico preferentie Dit leidt tot het principe risicovrij waarderen

38. 38 Risico-Neutraal Waarderen 1. Aanname is dat het verwachte rendement op het aandeel gelijk is aan de risicovrije rente 2. Bereken de verwachte opbrengst van de optie 3. Verdisconteer met de risicovrije rente

39. 39 Grieken Grieken: gevoeligheden voor modelparameters Delta (prijs onderliggende) Gamma (prijs onderliggende) Vega (volatiliteit onderliggende) Rho (rente) Theta (tijd)

40. 40 Delta De Delta van een derivaat: verandering van waarde per verandering van waarde van onderliggende aandeel. Delta zelf varieert met waarde van onderliggende aandeel. Delta-neutrale portefeuille: portefeuille niet gevoelig voor (kleine) koersbewegingen.

41. 41 Gamma Delta van een optie is niet constant. De mate waarin Delta verandert noemt men Gamma. Gamma is typisch voor niet-lineaire producten. (Cash) Gamma maximaal bij forward ATM Bij renteopties: convexity.

42. 42 Rentegevoeligheid Waarde van toekomstige kasstromen zijn gevoelig voor renteverandering Hoe hoger de rente, hoe lager de contante waarde van de toekomstige kasstromen. Verschillende maten worden gebruikt voor renterisico: (modified of Macauley) Duration Convexity Basis Point Value (BPV, PV01) Rho

43. 43 Basis Point Value Waardeverandering bij integrale stijging van yield met 1 basispunt Basis Point Value (BPV) is hetzelfde als PV01 Principe eenvoudig uit te breiden naar verschillende rentebuckets (“prijseffect bij stijging 1 bp van de 10Y swaprente”) Rentebucketing gebruikte methode bij renteportefeuilles investment banks.

44. 44 Waarom zou je swaps inzetten? Flexibele overlay op bond portfolio Wijzigt rentekarakteristieken van portefeuille zonder de portefeuille zelf te veranderen. Visie op de (lange) rente Als je verwacht dat de lange rente gaat stijgen, kun je een payers swap kopen. Pensioenfonds: om duration bezittingen gelijk te krijgen aan duration verplichtingen. Duration Matching in pensioenwereld erg actueel.

45. 45 Swaptions Recht om in toekomst swap aan te gaan. Twee vormen: receiver swaption: recht om de (lange) vaste rente te mogen ontvangen in een swap payer swaption: recht om de (lange) vaste rente te mogen betalen in een swap Middels een receiver swaption kan een pensioenfonds zich indekken tegen daling van de lange rente, terwijl wel wordt geprofiteerd van een stijging van de lange rente. Nadelen: te betalen premie 1 uitoefenmoment

46. 46 Renterisico ‘draait om’ onder fair value grootte obligatieportefeuille relatief klein in vergelijk met verplichtingen duration van verplichtingen veel hoger dan van obligaties rentegevoeligheid verplichtingen groter (ook als obligaties en verplichtingen dezelfde marktwaarde zouden hebben) Risico’s pensioenfonds

47. 47 Vaste rekenrente zichtbaar renterisico onder vaste rekenrente geeft foutief beeld werkelijk renterisico gevaar voor foutieve hedge (“put op bonds” of payer swaption) impact renterisico op totale solvabiliteitsrisico neemt sterk af bij toename aandelenpercentage Fair value impact rente op totale solvabiliteitsrisico relatief groter, veroorzaakt door duration en volume verplichtingen efficiënte reductie renterisico mogelijk met behulp van rentederivaten: nominale verplichtingen: interest rate swaps (IRS) reële verplichtingen: inflation-linked swaps (I/L swap) Risico’s pensioenfonds

48. 48 Duration matching Geef Assets en Liabilities zelfde duration Afwijkend volume? BPV matching Geef Assets en Liabilities zelfde rentegevoeligheid per time bucket Afwijkend volume? Ook bij niet-parallelle bewegingen effectief Cashflow matching Reproduceer alle cashflows (automatisch BPV matching) (Te) gedetailleerde bucketing van BPV matching Matching renterisico

49. 49 Swapstrategieën pensioenfonds Assets 60 mrd Aandelen 30 mrd Obligaties 30 mrd Liabilities 50 mrd Dekkingsgraad 120% Mod Duration: Obligaties 5 Liabilities 12

50. 50 Stel DG = 120, verplichtingen = 50 mrd en 50% in obligaties Stel Mod. Duration Obligaties en verplichtingen resp. 5 en 12 BPV = - Mod. Duration * Volume * 0.0001 BPV Verplichtingen: -12 * 50 mrd / 10000 = - 60 mln BPV Obligaties: - 5 * 50% * 60 mrd /10000 = - 15 mln Stijging rente 1 bp ? netto winst 45 miljoen Zoek swaps met BPV: - 45 mln Kies bijv 16 jaars swaps (duration 12) 45 mln = 12 * 60 mrd * 62% /10000 => 62% van assets Notional swap 37 miljard euro

51. 51 Rentetermijnstructuur vrijwel altijd normaal Banken spelen op de curve kort geld (1 jrs spaargelden) vs lang geld (20 jrs hypotheken) deze positie levert naar verwachting geld op Pensioenfondsen hebben omgekeerde positie lang geld (30 jrs verplichtingen) vs kort geld (10 jrs obligaties) deze positie kost naar verwachting geld Hedging: neutrale positie op curve realiseren match duration van liabilities door verlengen duration assets met bijvoorbeeld (inflation-linked) swaps gevolg: risicoreductie én “yield pick-up” voor pensioenfonds Hedging: risicoreductie én rendement

52. 52 Implicaties embedded opties Vaak niet meegenomen in waardering Verplichtingen ondergewaardeerd Risico’s niet duidelijk voor bestuurders en andere belanghebbenden Kan grote impact hebben op resultaten Vaak moeilijk te waarderen, specialistische kennis vereist Onder IFRS wordt meer rekening gehouden met de waarde van embedded opties

53. 53 Doel waarderen embedded opties Accounting IFRS verplicht verzekeraars om de waarde van embedded opties te disclosen Commercial pricing Marktwaarde is rationele basis voor commerciële prijszetting Risico analyse Huidige markt exposure ALM context (toekomstige ontwikkeling) Hedging methodologie Hedging gebaseerd op Fair Value waardering van markt exposures

54. 54 Voorbeeld Prijs onderliggende verandert na kwartaal met 10% p moet een risicovrije kans zijn dus (r=12%) 20e0.12 ´0.25 = 22p + 18(1 – p ); p = 0.6523 Of, gebruik de formule

55. 55 Waarde Optie De waarde van de optie is e–0.12´0.25 [0.6523´1 + 0.3477´0] =0.633

56. 56 Twee staps boom Elke tijdstap is 3 maanden Rente=12% Call optie met uitoefenprijs van 21

57. 57 Waarde Call Optie Value at node B = e–0.12´0.25(0.6523´3.2 + 0.3477´0) = 2.0257 Value at node A = e–0.12´0.25(0.6523´2.0257 + 0.3477´0) = 1.2823

58. 58

59. 59 Reminder Neem een rekenmachine mee naar het examen!!!

60. VRAGEN

61. 61 Vraag practicum – les 5 In les 5 hebben we een soort practicum gehad. Ik weet de diverse wachtwoorden niet meer om in de excelsheet naar de volgende dag te kunnen gaan. Kan je mij de wachtwoorden mailen? BVD. De wachtwoorden zijn: -risk -sensitivity -hamsters -hedging  

62. 62 Vraag - Duration De formule van de duration (modified duration als afgeleide) is te gebruiken als je cash-flows op jaarbasis hebt. Wat als je de formule op maand basis nodig hebt. Hoe luidt hij dan/ hoe is deze te bepalen.

63. 63 Modified duration t nu kiezen als 1/12

64. 64 Vraag – Forward rente Als je van een zerocurve (van bijvoorbeeld DNB) op jaarbasis naar een forwardcurve op maandbasis wilt komen, is hier een standaard methode voor, om in de formule van de duration te gebruiken? Nee, je moet interpoleren en dat is meer een kunst dan een wetenschap 

65. 65 Vorm van yield en forward curve Als R1 en R2 de continuously compounding zero rentes zijn voor maturities T1 en T2, wordt de forward zero rente tussen T1 en T2 gegeven door Voor een ‘normale’ (d.w.z. stijgende) yield curve geldt: Fwd Zero Rate > Zero Rate Voor een ‘inverse’ (dalende) yield curve geldt het tegenovergestelde: Zero Rate > Fwd Zero Rate De yield curve is in ruim 90% van de gevallen normaal (Nederlandse markt)

66. 66 Oefening bepaling forward rates

67. 67 Vraag – implied volatility Hoe kom je als privepersoon daan data over bv de impied volatility en de deta's', (op www.beurs.nl kan ik wel het verloop van een fonds of derivaat in een plaatje zien, maar zonder onderliggende data?

68. 68 Oplossing bepaling forward rates

69. 69 http://www.aex.nl/aex.asp?taal=en

70. 70 Black-Scholes

71. 71 Vraag aandelen plaatjes In de plaatjes van het koersverloop worden nog wel eens van de rechte lijnen getrokken om te bepalen waar de koers naar toe gaat, is dit zinvol en hoe wordt dit bepaald. 

72. 72 S&P – finance.yahoo.com

73. 73 Reminder Neem een rekenmachine mee naar het examen!!!