1 / 18

Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές

Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές. Κεφάλαιο 8: Δίκτυα & Ροές. Εισαγωγή (1). Δίκτυο: Γράφος N(V,A) όπου: Πηγή -source s με d + (s)=0 Νεροχύτης- sink t με d - (s)=0 Χωρητικότητα c(a) " a Î A in(v), out(v), I: intermediate κορυφές V={s} È {t} È {I}

hao
Télécharger la présentation

Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Θεωρία ΓράφωνΘεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 8: Δίκτυα & Ροές ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

  2. Εισαγωγή (1) • Δίκτυο: Γράφος N(V,A) όπου: • Πηγή-sources με d+(s)=0 • Νεροχύτης-sink t με d-(s)=0 • Χωρητικότητα c(a) " a Î A • in(v), out(v), I: intermediate κορυφές • V={s}È{t}È{I} • Νόμιμη ροή f, αν: • f(a)<c(a) " a Î A(περιορισμός χωρητικότητας) • ΣaÎin(v)f(a)=ΣaÎout(v)f(a) (διατήρηση ροής) • Κορεσμένο τόξο, αν f(a)=c(a) • Αγνοούμε βρόχους και παράλληλες ακμές ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

  3. Εισαγωγή (2) • Αποθήκευση: επιπλέον δομές για ροές • Συνολική ροή: F= ΣaÎin(v)f(a) - ΣaÎout(v)f(a) • Αν υπάρχει μόνο ένα μονοπάτι, τότε F=min{c(i)} • Έστω σύνολο κορυφών S • Τομή Κ=σύνολο ακμών out(s)Èin(s) • Χωρητικότητα τομής c(k)= ΣaÎKc(a) • Για κάθε S έτσι ώστε sÎS, tÏS • F= ΣaÎout(v)f(a)- ΣaÎin(v)f(a) • Maxflow-mincut: 1956, Ford-Fulkerson • max(F(N))=min(K(S,S)) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

  4. Αλγόριθμοι Υπολογισμού Ροών • Ford-Fulkerson 1956 O(|A|*F) • Edmonds-Karp 1972 O(V*A2) • Parzanov+(Malhotra, Kumar, Maheshwari) 1978 O(V3) (πυκνά δίκτυα) • Sleator 1980 O(V*A*logV) (αραιά δίκτυα) • Goldberg-Tarjan 1986 O(V*A*log(V2/A)) (πυκνά δίκτυα) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

  5. Ford-Fulkerson (1) • Υλοποίηση με λίστες γειτνίασης • Θεωρεί υποκείμενο γράφο και βρίσκει μονοπάτια st που δεν χρησιμοποιούνται κατά τον καλύτερο τρόπο: f(a)<c(a) • Προσπαθεί να επαυξήσει τη ροή διαμέσου των μονοπατιών • Αυξανόμενα μονοπάτια (augmenting) • Υπολογίζει το min slack-διαφορά-χαλαρότητα και ενημερώνει τις ροές ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

  6. Ford-Fulkerson (2) • upper hand στο f είναι το 7 • 1) S-3-4-2-t slack 2 • 2) S-1-2-4-t slack 2 • 3) S-1-2-tslack 1 • 4) S-3-4-t slack 1 • Με απλά λόγια, ξεκίνα με μηδενική αρχική ροή, βρες αυξανόμενα μονοπάτια, αύξησε τη ροή μέχρι να μην μπορείς να βρεις τέτοια μονοπάτια • Είναι περισσότερο μέθοδος παρά αλγόριθμος ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

  7. Ford-Fulkerson (3) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

  8. Ford-Fulkerson (4) • 1) S-1-3-2-4-t slack 4 • 2) S-1-2-4-3-t slack 7 • 3) S-2-1-3-t slack 8 • 4) S-2-3-t slack 4 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

  9. Ford-Fulkerson (5) SV1V3V2V4t slack 4 SV1V2V4V3t slack 7 SV2V1V3t slack 8 SV2V3t slack 4 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

  10. Ford-Fulkerson (6) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

  11. Ford-Fulkerson (7) • Εικασία: Καλύτερα μακρινά μονοπάτια • Αντιπαράδειγμα: • S-1-2-t • S-2-1-t • … • 2000 επαναλήψεις αντί για 2 • Άρα O(A*F) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

  12. Edmonds-Karp • Τροποποίησαν τον αλγόριθμο Ford-Fulkerson με εύρεση μονοπατιών με BFS • Ο(V*Α2) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

  13. Karzanof-Malhotra-Kumar-Maheshwari (1) • Εξέταση δικτύου κατά στρώματα (layers) • Στηρίζεται στην έννοια του δυναμικού p(v), όπου p(v)=min(ΣaÎin(v)c(a), ΣaÎout(v)c(a)) • Συνεπώς ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι κορυφές με το μικρότερο δυναμικό • Προσπαθούμε να κορέσουμε τις κορυφές αυτές τραβώντας ροή από τις πηγές και ωθώντας την προς το νεροχύτη • Στη συνέχεια, απλοποιούμε το δίκτυο και λαμβάνουμε το εναπομείνον δίκτυο • Ο(V3) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

  14. Karzanof-Malhotra-Kumar-Maheshwari (2) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

  15. PERT (1) • Program Evaluation & Review Techniques (U.S. Navy 1958) • Πλήθος πρακτικών εφαρμογών όπου πρέπει να συντονισθούν ένα πλήθος εργασιών μη αλληλοκαλυπτόμενων • Συμβολίζουμε με κατευθυνόμενο ζυγισμένο γράφο όπου έχουμε δραστηριότητες (ακμές, τόξα) και events/γεγονότα (αρχή, τέλος εργασιών) • Ο γράφος πρέπει να είναι άκυκλος. Αυτό διαπιστώνεται με τοπολογική ταξινόμηση ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

  16. PERT (2) • Μεταβλητές: • Κανονικός χρόνος τερματισμού • Ελάχιστος χρόνος τερματισμού • Ποσό για να μειωθεί ο χρόνος τερματισμού κατά 1 μονάδα • Βρίσκουμε το μακρύτερο μονοπάτι (κρίσιμο μονοπάτι) • Dijkstra • Κρίσιμες/ενεργές & χαλαρές ακμές • Πρέπει να δουλεύουμε στις κρίσιμες • Κρίσιμο μονοπάτι είναι το μονοπάτι 1-2-3-4 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

  17. PERT (3) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

  18. PERT (4) • Άπληστη τεχνική: Θα δουλέψουμε όσο πιο φτηνά μπορούμε • Επιταχύνουμε την εργασία με το μικρότερο κόστος (2-3) πάντα. Προσέχουμε αν το μονοπάτι είναι ακόμα κρίσιμο • Μετά από 1 επανάληψη για το (2-3), έχουμε 2 κρίσιμα μονοπάτια: • 1-2-3-4 • 1-3-4 • Το (2-3) γίνεται άκαμπτο ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

More Related