Applied Econometrics Second edition

1. Applied EconometricsSecond edition Dimitrios Asteriou and Stephen G. Hall

2. Λανθασμένη Εξειδίκευση 1. Παραλείποντας ισχυρές ή συμπεριλαμβάνοντας μη-ισχυρές ερμηνευτικές μεταβλητές 2. Διάφορες συναρτησιακές μορφές 3. Σφάλματα μέτρησης 4. Έλεγχοι για λανθασμένη εξειδίκευση 5. Προσεγγίσεις στην επιλογή ενός κατάλληλου μοντέλου

3. Στόχοι μαθήματος 1. Κατανόηση των διάφορων μορφών πιθανής λανθασμένης εξειδίκευσης στο CLRM. 2. Εκτίμηση της σημασίας και γνώση των συνεπειών της παράλειψης ισχυρών μεταβλητών στο CLRM. 3. Διάκριση μεταξύ του ευρύ φάσματος των συναρτησιακών μορφώνκαι κατανόηση της έννοιας και ερμηνείων των συντελεστών. 4. Κατανόηση της σημασίας των σφαλμάτων μέτρησης στα δεδομένα. 5. Εκτέλεση ελέγχων λανθασμένης εξειδίκευσης με τη χρήση οικονομετρικού λογισμικού. 6. Κατανόηση της έννοιας των ένθετων και μη-ένθετων μοντέλων. 7. Εξοικείωση με την έννοια της εξόρυξης δεδομένων και επιλογή τουκατάλληλου οικονομετρικού μοντέλου.

4. Παραλείποντας ισχυρές μεταβλητές Η παράλειψη ισχυρών μεταβλητών από ένα μοντέλο παλινδρόμησης κάνει αυτές τις μεταβλητές μέρος των σφαλμάτων. Συνεπώς,μία ή περισσότερες υποθέσεις του CLRM θα παραβιάζονται. Έστω η συνάρτηση παλινδρόμησης του πληθυσμού: Y=β1+β2X2+ β3X3+u Όπου β2≠0και β3 ≠0, και υποθέστε ότι αυτό είναι το σωστό.

5. Παραλείποντας ισχυρές μεταβλητές Ωστόσο, εκτιμούμε το παρακάτω: Y=β1+β2X2+u Όπου X3η λανθασμένα παραλειπόμενη. Τότε, ο όρος σφάλματος της εξίσωσης είναι: u= β3X3+e Είναι σαφές ότι η υπόθεση πως τα σφάλματα έχουν μέσο μηδέν παραβιάζεται: E(u)=E(β3X3+e)=E(β3X3)+E(e)= E(β3X3) ≠0

6. Παραλείποντας ισχυρές μεταβλητές Επιπλέον, εάνη παραλειπόμενη μεταβλητήX3συσχετίζεται με την X2τότε ο όρος του σφάλματος δεν είναι πια ανεξάρτητος τουX2. Αυτό οδηγεί σε μεροληπτικούς και ασυνεπείς εκτιμητές των β2και β3. Αυτό ονομάζεται μεροληψία παραλειπόμενης μεταβλητής.

7. Εισαγωγή μη-ισχυρών μεταβλητών Είναι η αντίθετη περίπτωση. Το σωστό μοντέλο είναι: Y=β1+β2X2+u Και εμείς εκτιμούμε το: Y=β1+β2X2+ β3X3+e Όπου η X3λανθασμένα συμπεριλαμβάνεται στο μοντέλο.

8. Εισαγωγή μη-ισχυρών μεταβλητών Αφού ηX3δεν ανήκει στο σωστό μοντέλο, ο συντελεστής του πληθυσμού θα πρέπει να ισούται με μηδέν.(i.e. β3=0). Εάν β3=0καμία από τις υποθέσεις τουCLRM δεν παραβιάζεται και οι OLS εκτιμητές είναι αμερόληπτοι και συνεπείς. Όμως, είναι μη συνηθισμένο να είναι αποτελεσματικοί. Εάν ηX2συσχετίζεται με τηνX3τότε το πρόσθετο μη απαραίτητο στοιχείο της πολυσυγγραμμικότητας θα εισαχθεί.

9. Παράλειψη και εισαγωγή ταυτόχρονα Σ’ αυτή την περίπτωση, το σωστό μοντέλο είναι: Y=β1+β2X2+ β3X3+v Και εμείς εκτιμούμε το: Y=β1+β2X2+ β4X4+w Είναι εύκολο να κατανοήσουμε τα προβλήματα που δημιουργεί αυτό το διπλό λάθος.

10. Η προσθήκη στη λύση Μερικές φορές είναι πιθανό να αντιμετωπίσουμε μεροληψία των παραλειπόμενων μεταβλητώνγιατί μια μεταβλητή-κλειδί που επηρεάζει την Y δεν είναι διαθέσιμη. Για παράδειγμα, θεωρείστε το μοντέλο όπου ο μηνιαίος μισθός ενός ατόμου σχετίζεται με: • Εάν είναι άνδρας ή γυναίκα. • Με τα χρόνια εκπαίδευσης

11. Η προσθήκη στη λύση Και οι δύο παράγοντες μπορούν να ποσοτικοποιηθούν και να συμπεριληφθούν στο μοντέλο Όμως, εάν επίσης υποθέσουμε ότι το επίπεδο μισθού μπορεί να επηρεαστεί από το κοινωνικό-οικονομικό περιβάλλον στο οποίο μεγάλωσε το άτομο, τότε αυτό είναι δύσκολο να μετρηθεί και να συμπεριληφθεί στο μοντέλο: (salary)=β1+β2(sex)+β3(educ) +β3(background)+u

12. Η προσθήκη στη λύση Μη συμπεριλαμβάνοντας την μεταβλητήbackgroundστο μοντέλοοδηγεί σε μεροληπτικές εκτιμήσεις τωνβ1καιβ2. Το κύριο ενδιαφέρον μας, όμως, είναι να πάρουμε κατάλληλες εκτιμήσεις για τους δυο συντελεστές (δηλαδήδεν μας ενδιαφέρει τόσο για το β3 γιατί δε θα πάρουμε ποτέ τον κατάλληλο συντελεστή για αυτό). Ένας τρόπος επίλυσης, είναι να εισάγουμε μια εναλλακτική μεταβλητή για την παραλειπόμενη βοηθητική μεταβλητή.

13. Η προσθήκη στη λύση Στο παράδειγμα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το οικογενειακό εισόδημα. Βέβαια, το οικογενειακά εισόδημα δεν είναι ακριβώς αυτό που εννοούμε με την έννοια του περιβάλλοντος αλλά είναι μια μεταβλητή υψηλά συσχετιζόμενη με αυτό.

14. Η προσθήκη στη λύση Για την επεξήγηση, θεωρείστε το μοντέλο: Y=β1+β2X2+ β3X3+β4X*4+u Όπου X2καιX3παρατηρούνται, X*4είναι μη παρατηρήσιμη. Ωστόσο, ξέρουμε ότι: X*4=δ1+δ2X4+e Όπου ο όρος σφάλματοςeθα πρέπει να συμπεριληφθεί γιατί δεν είναι ακριβώς τα ίδια και τοδ1περιλαμβάνεται επίσης για να επιτρέψει τη μέτρηση σε μια διαφορετική κλίμακα. Χρειαζόμαστε μεταβλητές που συσχετίζονταιθετικά. (δηλαδήδ2>0)

15. Η προσθήκη στη λύση Άρα, εκτιμούμε: Y=β1+β2X2+ β3X3+β4(δ1+δ2X4+e)+u = (β1+ β4δ1)+β2X2+ β3X3+β4δ2X4+(β4e+u) = a1 + β2X2+ β3X3+ a4X4+ w Εκτιμώντας αυτό το μοντέλο, δεν παίρνουμε αμερόληπτες εκτιμήσεις για τα β1καιβ4, αλλά παίρνουμε αμερόληπτους εκτιμητές για τα a1, β2, β3 και a4.

16. Διάφορες συναρτησιακές μορφές • ΓραμμικήY=β1+β2X2 • Γραμμική-λογαριθμικήY=β1+β2lnX2 • Αντιστρόφως αμοιβαίαY=β1+β2 (1/X2) • ΤετραγωνικήY=β1+β2X2 +β3X22 • ΑλληλεπίδρασηςY=β1+β2X2 +β3X2Z • Λογαριθμική-γραμμική lnY=β1+β2X2 • Διπλή λογαριθμικήlnY=β1+β2lnX2

17. Η μετατροπήBox-Cox Η επιλογή της συναρτησιακής μορφής παίζει σημαντικό ρόλο; άρα, χρειαζόμαστε ένα επίσημο test σύγκρισης εναλλακτικών μοντέλων (συναρτησιακών μορφών). Αν έχουμε την ίδια εξαρτημένη μεταβλητή, τα πράγματα είναι εύκολα: εκτιμούμε τα δύο μοντέλο και διαλέγουμε εκείνο με το υψηλότεροR2. Όμως, εάν οι εξαρτημένες μεταβλητές είναι διαφορετικές, η άμεση σύγκριση είναι αδύνατη.

18. Η μετατροπή Box-Cox Υποθέστε ότι έχουμε τα μοντέλα: Y=β1+β2X2and lnY=β1+β2lnX2 Σε τέτοιες περιπτώσεις, χρειάζεται να αναβαθμίσουμε την μεταβλητή Y με τέτοιο τρόπο ώστε να μπορούμε να συγκρίνουμε τα δύο μοντέλα. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται μετατροπή Box-Cox.

19. Η μετατροπή Box-Cox Βήμα 1:Παίρνουμε τον γεωμετρικό μέσο από το δείγμα των τιμών του Υ. Y’=(Y1Y2Y3…Yn)1/n=exp[(1/n)ΣlnY) Βήμα 2:Μετατρέπουμε τις τιμές του δείγματοςYδιαιρώντας κάθε μία με Y’που το υπολογίσαμε στο βήμα 1: Y*=Yi/Y’ Βήμα 3:Εκτιμούμε και τα δύο μοντέλα μετην Y*ως εξαρτημένη μεταβλητή. Η εξίσωση με το χαμηλότεροRSSθα πρέπει να προτιμηθεί. Βήμα4:Εάν θέλουμε να ελέγξουμε εάν είναι σημαντικά καλύτερο, υπολογίζουμε (1/2 n)ln(RSS2/RSS1)και ελέγχουμε με την κατανομή Χ-τετράγωνο. RSS2είναι αυτό με τη χαμηλότερη τιμή.

20. Σφάλματα μέτρησης Μερικές φορές τα δεδομένα δεν μετρώνται κατάλληλα. Μπορεί να έχουμε σφάλματα μέτρηση είτε στην εξαρτημένη μεταβλητή ή στις ερμηνευτικές μεταβλητές ή και στα δυο. Εάν το σφάλμα βρίσκεται στην εξαρτημένη, τότε έχουμε μεγαλύτερες διακυμάνσεις των συντελεστών OLS.Αναπόφευκτο. Εάν το σφάλμα είναι στις ερμηνευτικές μεταβλητές, έχουμε μεροληπτικούς και ασυνεπείς εκτιμητές.Εντελώς λάθος αποτελέσματα.

21. Έλεγχοι για λανθασμένη εξειδίκευση Έχουμε τους ακόλουθους ελέγχους: • Έλεγχος για κανονικότητα των καταλοίπων • ΤοRamsey RESET test • Έλεγχοι για μη-ένθετα μοντέλα

22. Κανονικότητα των καταλοίπων Βήμα 1:Υπολογίζουμε το στατιστικόJarque-Berra (JB) (δίνεται στο Eviews) Βήμα 2:Βρίσκουμε την κριτική τιμή του Χ-τετράγωνο από τους αντίστοιχους πίνακες. Βήμα 3:ΕάνJB>Χ-τετράγωνο, τότε απορρίπτεται η μηδενική υπόθεση της κανονικότητας.

23. ΤοRamsey Reset Test Βήμα 1:Εκτιμούμε το μοντέλο που νομίζουμε ότι είναι σωστό και λαμβάνουμε τις προσαρμοσμένες τιμές για τοY, που ονομάζονται Y’. Βήμα 2:Εκτιμούμε το μοντέλο στο βήμα1 ξανά, αυτή τη φορά περιλαμβάνοντας ταY’2και Y’3σαν πρόσθετες ερμηνευτικές μεταβλητές. Βήμα 3:Το μοντέλο στο βήμα1 είναι το περιορισμένο μοντέλο και το μοντέλο στο βήμα 2 είναι το μη περιορισμένο. Υπολογίζουμε το F-στατιστικό για τα δύο αυτά μοντέλα. Βήμα 4:Συγκρίνουμε τα F-στατιστικά με την κριτική τιμήτου F και συμπεραίνουμε (εάνF-stat>F-critαπορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση της σωστής εξειδίκευσης).

24. Έλεγχοι για μη-ένθετα μοντέλα Εάν θέλουμε να ελέγξουμε μοντέλα, που δεν είναι ένθετα, τότε δε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την προσέγγιση του F-στατιστικού. Μη-ένθετα είναι τα μοντέλα στα οποία καμία εξίσωση δεν είναι ειδική περίπτωση της άλλης,με άλλα λόγια δεν έχουμε περιορισμένο και μη-περιορισμένο μοντέλο. Υποθέστε για παράδειγμα το ακόλουθο μοντέλο: Y=β1+β2X2 +β3X3+u (1) Y=β1+β2lnX2 +β3lnX3+u (2)

25. Έλεγχοι για μη-ένθετα μοντέλα Μία προσέγγιση (MizonκαιRichard) προτείνει την εκτίμηση ενός περιεκτικού μοντέλου της μορφής: Y= δ1+ δ2X2 + δ3X3+ δ4lnX2 +δ5lnX3+e Και στη συνέχεια, εφαρμόσουμε ένα F-test για τη σημαντικότητα τωνδ4καιδ5έχοντας ως περιορισμένο μοντέλο την εξίσωση(1).

26. Tests for Non-Nested Models A second approach (Davidson and McKinnon) suggests that if model (1) is true then the fitted values of (2) should be insignificant in (1) and vice versa. So they suggest the estimation of Y= β1+ β2X2 +β3X3+δY*+e where Y* is the fitted values of model (2). A simple t-test of the coefficient of Y* can conclude.

27. Επιλέγοντας το κατάλληλο μοντέλο Υπάρχουν δύο κύριες προσεγγίσεις: • Η παραδοσιακή άποψη: Μέσες Οικονομικές Παλινδρομήσεις (ΜΟΠ) • Η γενική προσέγγιση εξειδίκευσης του Hendry.

28. Επιλέγοντας το κατάλληλο μοντέλο • Η ΜΟΠαπαραίτητα ξεκινά με ένα απλό μοντέλο και τότε «χτίζει» το μοντέλο όπως απαιτεί η περίσταση. Επίσης ονομάζεται απλή εξειδίκευση. • Δύο μειονεκτήματα: • Πρόβλημα εξόρυξης δεδομένων. Από τον ερευνητή, παρουσιάζεται μόνο το τελικό μοντέλο. • Οι μετατροπές στο αρχικό μοντέλογίνονται με αμφιλεγόμενο τρόπο και βασίζονται στις απόψεις του ερευνητή.

29. Επιλέγοντας το κατάλληλο μοντέλο Η προσέγγισηHendry ξεκινά με ένα γενικό μοντέλο που περιλαμβάνει –σε ειδικές περιπτώσεις ένθετα εντός του– άλλα πιο απλά μοντέλακαι με τα κατάλληλα tests περιορίζεται σε απλούστερο μοντέλο. Το μοντέλο θα πρέπει να είναι: • Με αποδεκτά δεδομένα • Συνεπές με τη θεωρία • Να χρησιμοποιεί παλινδρομητές που δεν σχετίζονται με τα σφάλματα • Να παρουσιάζει σταθερότητα των παραμέτρων • Να παρουσιάζει συνοχή των δεδομένων • Συνοψίζοντας, έννοιες που περιλαμβάνουμε όλα τα πιθανά «αντίπαλα» μοντέλα.