Modélisation du tir à l’arc

1. Modélisation du tir à l’arc Optimisation d’une branche dans le cadre des milieux curvilignes

2. Plan • Présentation de l'arc et de sa modélisation • Démarches et résultats numériques • Validation expérimentale

3. Présentation du problème Caractéristiques à optimiser : • la raideur • la forme de l’arc sans corde • la longueur de la corde • Objectif : maximiser l’énergie susceptible d’être transmise à la flèche Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04

4. Description de l’arc

5. Hypothèses des milieux curvilignes • Nous négligeons les déformations des sections • Nous effectuons l’hypothèse de Navier Bernoulli • Nous considérons le milieu comme inextensible

6. X y(L) y (L) F=0 x(L) ΔL L corde F Y La modélisation • Nous supposons que la branche est un matériau élastique • On ne tient pas compte des masses de la corde et de l’arc • On ne considère que des actions de flexion

7. ∆L W(φ) ΔL Calcul de l’énergie potentielle • On applique le théorème du minimum de l’énergie potentielle

8. La discrétisation • Utilisation de solveurs numériques sans succès • Nous devons discrétiser pour minimiser l’énergie • Introduction de nouvelles hypothèses : • Branche modélisée par une réunion de segments • Raideur constante sur chaque segment • Pas constant

9. Initialisation des variables Pour chaque φinitial Pour une force F variant de 80 à 5 N Traçage de l’arc sans corde Calcul grâce à CostEP du φsolution qui minimise l’Ep Appelfonc.sci Programme initial Foncarc.sci Calcul des coordonnées des points de discrétisation de l’arc solution CostEP.sci Traçage de la courbe de pesée Calcul de l’Ep de cet arc Traçage de l’arc Ecriture dans le fichier Excel On dispose d’un programme… Que l’on adapte à nos besoins Pour chaque k

10. Plan • Présentation de l'arc et de sa modélisation • Démarches et résultats numériques • Validation expérimentale

11. Ep Courbe de pesée d’un arc à poulies Critères d’évaluation • Une éventuelle dérivée nulle ou négative de la fonction F=f(ΔL) • Énergie disponible utilisable

12. Optimisation paramètre par paramètre • On fournit au programme la 1ère valeur d’itération φ0 de la suite (φk) créée par l’algorithme d’optimisation et censée converger vers la solution du problème • Vérification que φ0 n’a pas d’influence sur les résultats finaux L’approximation de la solution : φ0

13. Arc mongol Optimisation paramètre par paramètre • Variation de la répartition de la raideur • tout en conservant une somme globale fixe • sur une branche ayant la forme de celle d’un arc mongol • On aboutit à : k = [3 11 13 15 26 9 5 3 5] • On retrouve le pic de raideur au milieu de chaque demi branche La raideur

14. Optimisation paramètre par paramètre La longueur de la corde La longueur optimale dépend de la force avec laquelle on tire

15. Forme à l’état initial optimale obtenue Nous ne pouvons tester que quelques familles de forme d’arc, par soucis de temps de calcul… Optimisation paramètre par paramètre La forme à l’état naturel : tableau φinitial

16. Variation simultanée de tous les paramètres • Démarche obligatoire car chacune des précédentes optimisations dépendait des paramètres fixés • Cette méthode n’a pas abouti mais nous a cependant permis de mieux comprendre le fonctionnement du programme

17. Problèmes de retournement de l’arc Bilan des problèmes rencontrés • L’optimisation se révèle irréalisable avec la méthode précédente en terme de temps de calcul • Lorsque la force F est trop faible, l’algorithme renvoie un arc non retourné, qui ne correspond pas à la pratique

18. Minima locaux et globaux de l’Ep Mise en évidence du « problème » Pourquoi l’arc n’est-il pas retourné ? • 2 façons de placer la corde en obtenant un minimum local d’énergie potentielle : • soit entre les deux extrémités des branches vers l’intérieur • soit vers l’extérieur (vers le haut) • L’algorithme choisit toujours le minimum global 2 tentatives de parade : • Limitation du domaine de recherche du tableau φ minimisant l’Ep • Majoration du gradient de l’ Ep qu’utilise l’algorithme

19. Courbe de pesée dans le cas d’un arc non retourné Pourquoi est-ce un problème ? • La courbe de pesée est faussée : démarche d’optimisation difficile • On ne dispose pas de la forme de l’arc quand la force est nulle • Dans une position intermédiaire où l’arc est presque plat, la corde peut être trop courte pour relier les 2 branches L’exécution s’interrompt

20. Plan • Présentation de l'arc et de sa modélisation • Démarches et résultats numériques • Validation expérimentale

21. Mise en conformité du modèle avec la réalité • φinitial(0) ≠ 0 • Nécessité de la poignée • Diminution le pas de discrétisation afin d’obtenir une meilleure approximation pour : • - Modéliser la poignée • - Tenir compte des variations rapides de la courbure en fin de branche Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04

22. Mesures expérimentales • Mesure de la matrice des φinitial • Obtentionde la courbe de pesée expérimentale : • –On paramètre la machine de traction • On retrouve bien le changement de concavité typique de l’arc de type classique Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04

23. Calcul des raideurs • La branche est composée de deux matériaux disposés en lamelles • Pour déterminer les k, on utilise la formule • Malheureusement, Eb et Efc sont inconnus, et les déterminer conduirait à altérer la branche • Donc on obtient des k adimensionnés

24. Bilan de l’expérience • Utilisation de la simulation pour déterminer Eb et Efc • Mesure de la matrice φF=0 sur l’arc • On paramètre le programme pour qu’il simule cette valeur • Avec le φinitial voulu, la solution obtenue ne correspond à la solution physique qu’à partir d’une force F trop grande pour pouvoir poserφF ≈ φF=0

25. Perspectives • Il existe des méthodes d’optimisation plus efficaces • Le programme actuel donne des résultats valables à une constante près (yF=0) • Il faudrait également trouver un moyen de rendre le programme capable de choisir la solution physiquement acceptable

26. FIN