考纲解读 1 ．了解基本不等式的证明过程． 2 ．会用基本不等式解决简单的最大 ( 小 ) 值问题．

3. 考纲解读 • 1．了解基本不等式的证明过程． • 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

4. 考向预测 • 1．以考查基本不等式的应用为重点，兼顾考查代数式变形、化简能力，注意“一正、二定、三相等”的条件． • 2．考查方式灵活，可出选择题、填空题，也可出解答题． • 3．以不等式的证明为载体，与其他知识结合在一起来考查基本不等式，证明不会太难．

6. 2．几个重要的不等式 • (1)a2＋b2≥ (a，b∈R)． • (2) ＋≥ (a，b同号)． a＝b 2ab 2

7. 3．算术平均数与几何平均数 • 设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为： • 4．利用基本不等式求最值问题 • 已知x＞0，y＞0，则 • (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当时，x＋y有最小值是.(简记：积定和最小) 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． x＝y

8. (2)如果和x＋y是定值S，那么当且仅当时，xy有最值是.(简记：和定积最大)．(2)如果和x＋y是定值S，那么当且仅当时，xy有最值是.(简记：和定积最大)． x＝y 大

9. 基础自测 • 1．(2010·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|1gx|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是() • A．(1，＋∞)B．[1，＋∞) • C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) • [答案]C • [解析]该题考查数形结合的思想和均值不等式． • 作出y＝|lgx|的图像， • ∵a≠b，不妨设a<b.∵f(a)＝f(b)，∴0<a<1，b>1， • 即－lga＝lgb，即lgab＝0，

10. [答案]D

12. [答案]B • [解析]本小题主要考查等比中项的概念及均值不等式的应用．

14. [答案]D

16. [答案]4

17. 6．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．6．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨． • [答案]20 • [解析]设一年总费用为y万元，

18. 7．已知x>0，y>0. • 求证：(1＋x2)(1＋y2)≥4xy. • [证明]∵x>0，y>0，∴1＋x2≥2x>0(当x＝1时取等号)， • 1＋y2≥2y>0(当y＝1时取等号)， • ∴(1＋x2)(1＋y2)≥2x·2y＝4xy(当x＝y＝1时取等号)．

20. [分析]由不等式左边含字母a，b右边无字母，直接使用基本不等式既无法约掉字母a，b，不等号方向又不对，因a＋b＝1，能否把左边展开，实行“1”的代换．[分析]由不等式左边含字母a，b右边无字母，直接使用基本不等式既无法约掉字母a，b，不等号方向又不对，因a＋b＝1，能否把左边展开，实行“1”的代换．

23. [点评]为了证明的需要，常将欲证不等式的两端或一端进行变形，其目的是为了利用有关的不等式性质．“变形”的形式很多，常见的是拆、并项，也可乘一个数或加上一个数，“1”的代换法等．证明不等式时，除了已知基本不等式的直接使用，还应掌握由已知不等式简单变形而得到的一些常用结论，如[点评]为了证明的需要，常将欲证不等式的两端或一端进行变形，其目的是为了利用有关的不等式性质．“变形”的形式很多，常见的是拆、并项，也可乘一个数或加上一个数，“1”的代换法等．证明不等式时，除了已知基本不等式的直接使用，还应掌握由已知不等式简单变形而得到的一些常用结论，如

26. [点评]利用算术平均数与几何平均数的定理证明不等式是用综合法证明不等式的一种情况，综合法是指从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为需求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.[点评]利用算术平均数与几何平均数的定理证明不等式是用综合法证明不等式的一种情况，综合法是指从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为需求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.

27. [分析]此题为条件最值，考虑从条件能否得到xy的不等式，或能否转化为只含x或只含y的函数式，或“1”的代换．[分析]此题为条件最值，考虑从条件能否得到xy的不等式，或能否转化为只含x或只含y的函数式，或“1”的代换．

30. [点评]用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项的和或积，使这两项的和或积或平方和为定值，然后用基本不等式求出最值；在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数的最值，另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式使要求最值的表达式放缩为一个定值，不管哪种题，哪种方法，在用基本不等式求最值时都必须要验证等号是否成立．[点评]用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项的和或积，使这两项的和或积或平方和为定值，然后用基本不等式求出最值；在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数的最值，另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式使要求最值的表达式放缩为一个定值，不管哪种题，哪种方法，在用基本不等式求最值时都必须要验证等号是否成立．

31. [分析](1)第一小题注意1的代换与使用，也可以三角换元．注意运用基本不等式时等号成立的条件．[分析](1)第一小题注意1的代换与使用，也可以三角换元．注意运用基本不等式时等号成立的条件． • (2)第二小题可消去一个变量，将x＋y用一个变量表示，再配凑出能运用基本不等式的条件．

35. 求条件极值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，代换过程中应密切关注字母隐含的取值范围，也可用三角代换的方法.求条件极值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，代换过程中应密切关注字母隐含的取值范围，也可用三角代换的方法.

36. [例3](2009·湖北文)围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：元)．[例3](2009·湖北文)围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：元)． • (1)将总费用y表示为x的函数；

37. (2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求最小总费用．(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求最小总费用． • [解析]本小题主要考查函数和不等式等基础知识，考查用基本不等式求最值和运用数学知识解决实际问题的能力． • (1)如图，设矩形的另一边长为am， • 则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360

39. 某食品厂定期购买面粉．已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．某食品厂定期购买面粉．已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元． • (1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ • (2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．

45. 2．创设应用基本不等式的条件 • (1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时出现积为定值或和为定值． • (2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．

47. 请同学们认真完成课后强化作业