Dane informacyjne

2. Dane informacyjne • Nazwa szkoły: Gimnazjum nr 5 im. Tadeusza Kościuszki w Pile • ID grupy: 98/27_MF_G1 • Opiekun:Alicja Marcinek • Kompetencja: matematyczno-fizyczna • Temat projektowy: • Potęgi w służbie pozycyjnych systemów liczbowych • Semestr/rok szkolny: lll semestr 2010/2011

3. Potęgi w służbie pozycyjnych systemów liczbowych

4. Spis treści • Definicja potęgowania • Własności potęg • Porównywanie potęg • Notacja wykładnicza • Liczby „olbrzymy” i „liliputy” • Zadanie problemowe • Systemy liczbowe • Ciekawostki • Bibliografia

5. Co to jest potęgowanie? Potęgowanie jest to działanie dwuargumentowe będące uogólnieniem wielokrotnego mnożenia elementu przez siebie. Potęgowany element nazywa się podstawą, a liczba mnożeń, zapisywana zwykle w indeksie górnym po prawej stronie podstawy, nosi nazwę wykładnika. wykładnik podstawa

6. Przyjmujemy, że: • Symbolu 00nie definiujemy. a 1 = a, dlakażdej liczby a a 0= 1,dla dowolnej liczby a różnej od liczby 0

7. Symbol 00 • Symbolu 00 nie definiujemy. Powodem, dla którego nie określamy tej potęgi, jest następujący, trudny do rozstrzygnięcia konflikt: • z jednej strony liczba zero podniesiona do jakiejkolwiek potęgi n > 0 daje zero, • z drugiej strony przyjęliśmy, że każda liczba (z wyjątkiem zera) podniesiona do potęgi zero daje 1.

8. 1. Własności potęg

9. Mnożenie potęg o takich samych podstawach Iloczyn potęgo takich samych podstawach różnych od zera jest równy potędze o wykładniku równym sumie wykładników potęg z zachowaniem podstawy. an.am=an+m

10. Dzielenie potęg o takich samych podstawach Iloraz potęg o tych samych podstawach różnych od zera jest równy potędze o wykładniku równym różnicy wykładników potęg z zachowaniem podstawy. an:am=an-m

11. Mnożenie potęg o takich samych wykładnikach Potęga iloczynuliczb różnych od zera, jest równa iloczynowi potęg tych liczb z zachowaniem wykładników. (a.b)n=an.bn

12. Dzielenie potęg o takich samych podstawach Potęga ilorazudwóch liczb różnych od zera jest równa ilorazowi potęg tych liczb przy zachowaniu wykładnika. (a:b)n = an:bn

13. Potęgowaniepotęgi Potęga potęgiliczby różnej od zera jest równa potędze o tej samej podstawie i iloczynie wykładników. (an)m = anm

14. Potęga o wykładniku ujemnym Potęga o wykładniku ujemnymliczby różnej od zera jest odwrotnością potęgi o tej samej podstawie i przeciwnym wykładniku. a –n = 1/an

15. zadania

16. Zadanie 1.1. Zapisz w postaci pojedynczej potęgi: 1) 2) 3) 4)

17. Zadanie 1.1. – c.d. 5) 6) 7)

18. Zadanie 1.1. – c.d. 8)

19. Zadanie 1.2. Oblicz korzystając z własności potęg: 1) 2)

20. Zadanie 1.2. – c.d. • 3) • 4)

21. Zadanie 1.3. • Wykaż, że dla dowolnej dodatniej liczby naturalnej n liczba 3n+3 + 3n jest podzielna przez 28. • Rozwiązanie: • Jeśli liczba naturalna A dzieli się przez 28, to można ją zapisać w postaci A = 28B, gdzie B także jest liczbą naturalną i na odwrót – liczba postaci 28B, gdzie B jest liczbą naturalną, jest podzielna przez 28. Po tej uwadze przystępujemy do rozwiązania zadania:

22. Zadanie 1.3. – c.d. • zatem okazuje się, że liczba A = 3n+3 + 3n • jest postaci 28B, więc jest podzielna przez 28.

23. 2. porównywanie potęg

24. Porównywanie potęg • Aby ustalić, która z podanych potęg jest większa porównujemy wykładniki przy takich samych podstawach lub porównujemy podstawy przy takich samych wykładnikach.

25. Porównywanie potęg o takich samych podstawach • Jeżeli dwie potęgi mają jednakowe podstawy dodatnie większe od 1 to większa jest ta potęga, która ma większy wykładnik. • Jeżeli dwie potęgi mają jednakowe podstawy dodatnie i mniejsze od 1 to większa jest ta potęga, która ma mniejszy wykładnik.

26. Porównywanie potęg o takich samych wykładnikach • Jeżeli dwie potęgi o dodatnich podstawach mają jednakowe wykładniki to większa jest ta potęga, która ma większą podstawę.

27. zadania

28. Zadanie 2.1. Uporządkuj podane liczby rosnąco: 1) Rozwiązanie: 2) Rozwiązanie:

29. Zadanie 2.2. • Która z liczb jest większa 3111 czy 1714? • Rozwiązanie: • Liczby 31 i 17 kojarzymy z potęgami liczby 2: • i ,stąd pomysł na oszacowania: • zatem 3111 jest mniejsze niż 1714.

30. Zadanie 2.3. • Co jest większe 2520 czy 2025? • Rozwiązanie: • Potęgi można rozpisać następująco: • czyli 45 > 53, więc 2025 > 2520.

31. Zadanie 2.4. • Wykaż, że liczba 2100 ma co najmniej 31 cyfr. • Rozwiązanie: • Wiemy, że , stąd otrzymujemy, że: • Liczba 1030 ma 31 cyfr, zatem liczba 2100 • jako większa od niej ma ich co najmniej tyle samo.

32. 3. Notacja wykładnicza

33. Notacjawykładnicza Każdą liczbę dodatnią można przedstawić w postaci iloczynu k.10n, gdzie 1 ≤ k < 10, a n jest liczbą całkowitą. Takie przedstawienie liczby nazywamy notacją wykładniczą lub naukową. Taką postać przedstawienia liczby stosujemy do zapisu liczb bardzo dużych i bardzo małych.

34. Zastosowanie notacjiwykładniczej - Planety

35. zadania

36. Zadanie 3.1. • Masa Słońca wynosi około 2  1030 kg, a masa Ziemi około 6  1024 kg. Ile razy masa Słońca jest większa od masy Ziemi? • Rozwiązanie: • Odp. Masa Słońca jest ok. 3,3  105 razy większa od masy Ziemi.

37. Zadanie 3.2. • Prędkość obniżenia terenu w okolicach Elbląga wynosi 8  10-11 m/s. O ile centymetrów obniżył się ten teren w ciągu stu lat? • Rozwiązanie: • Zamieniamy 100 lat na sekundy: 1 rok = 365 dni, 1 doba = 24 godziny, 1 godzina = 3600 sekund • 100 lat = 100  365  24  3600 s = • = 315360 s  • Odp.

38. Zadanie 3.2. – c.d. • Obliczamy, o ile obniżył się teren w ciągu • : • Odp. W ciągu stu lat teren w okolicach Elblaga obniżył się o ok. 25 cm.

39. Zadanie 3.3. Na głowie jest około 105 włosów. Włos rośniez prędkością 12 . 10-2 metra w ciągu roku. Zsumuj przyrosty wszystkich włosów w ciągu roku. Ile to metrów? Rozwiązanie: ilość włosów – 105 = 100000 sztuk roczny przyrost – 12 cm 100000 . 12 = 1200000 cm = 12000 m Odp. W ciągu roku razem włosy wydłużą się o 12000 m.

40. Zadanie 3.4. Odległość Ziemi od Słońca zmienia się w ciągu roku od 1,471  108 km (w peryhelium, ok. 3 stycznia) do 1,521  108 km (w aphelium, ok. 6 lipca). Jaka jest różnica odległości Ziemi od Słońca w aphelium i w peryhelium? Rozwiązanie: 1,521  108 - 1,471  108 = 108 (1,521 - 1,471) = = 0,05  108 = 5  106 [km] Odp. Różnica odległości Ziemi od Słońca w podanym okresie wynosi 5 000 000km.

41. Liczby „olbrzymy” i „liliputy”

42. Liczby „olbrzymy” • Z liczbami-olbrzymami spotykamy się nie tylko w obliczeniach naukowych, bajkach, legendach, ale i w przyrodzie, zarówno w mikroświecie, w świecie atomów, jak i w makroświecie, w kosmosie, w świecie galaktyk. Liczba fizyczna jest wynikiem porównania pewnej wielkości z inną przyjętą za jednostkę miary. Nasze ludzkie jednostki są zbyt duże w świecie atomów, a zbyt małe w świecie galaktyk. Człowiek stoi więc na granicy dwu światów: "nieskończenie" małego i "nieskończenie" wielkiego.

43. Liczby „olbrzymy” • W pogodną noc możemy zobaczyć gołym okiem najbliższą galaktykę: Wielką Mgławicę w Andromedzie, podobną do naszej Galaktyki. Natomiast w bezchmurny dzień widzimy Słońce, najbliższą naszą gwiazdę. • Jeśli uświadomimy sobie, że Wielka Mgławica w Andromedzie jest oddalona od Ziemi o około 220 000 000000000000000 km, a masa Słońca jest równa około • 1989 000 000000000000000000000000000 g, • to mamy wyobrażenie o liczbach olbrzymach.

44. Liczby „olbrzymy” • Poniższa tabela przedstawia nazwy liczb, ich zapis w postaci dziesiętnej, oraz zapis w postaci potęgi liczby 10 (dla systemu stosowanego w Polsce).

45. Przykłady liczb dużych • odległość Księżyca od Ziemi = 3,8  105 km • odległość Ziemi od Słońca = 1,5  108 km • odległość Ziemi od Marsa = 7,83  107 km • odległość Słońca od Gwiazdy Porannej • = 9,5  1018 km • odległość Słońca od Alfa Centauri • = 4,02  1016 km

46. Przykłady liczb dużych odległość od najbliższej gwiazdy 4,1·1016 km płetwal błękitny waży 1,3∙105 kg słoń indyjski = 3,9 ∙103 kg goryl = 1,9 ∙10-2 t

47. Przykłady liczb dużych • Masa całego znanego obecnie wszechświata wynosi (podobno) ponad 20 nonilionów gramów. (20 1054 g) • Ciało ludzkie składa się z 1028 atomów, Ziemia ma ich 1052. • Widocznych gwiazd jest około 1087.

48. Liczby „liliputy”

49. Przykłady liczb bardzo małych • średnica tułowia ameby = 6,2  10-4 m • masa wirusa ospy = 7  10-12 g • masa ziarenka maku = 5  10-4 g • masa atomu wodoru = 1,67  10-24 g • prędkość, z jaką rośnie bambus = 1,210-5 m/s

50. Przykłady liczb bardzo małych • Masa cząsteczki wody – • 0,000 000 000000000000000 00003 kg • Masa protonu – 0,000 000 000000000000000000 001 672 6 kg • Masa elektronu - 0,000 000 000000000000000000000000 910 95 kg