Sujets Détection des droites Transformée de Hough (espace paramétré)

PIF-6003Sujets spéciaux en informatique I • Sujets • Détection des droites • Transformée de Hough (espace paramétré) • avec la pente et l’ordonnée à l’origine • avec la normale et l’angle • Détection des droites dans l’espace transformé • Détection des cercles/ellipses • Lectures: Notes de cours

Détection des droites • Si nous avons une image binaire dont les pixels avec une valeur de niveau de gris à PIXMAX font partis de segments de droites • La détection des droites pourrait être effectuée en: • Déterminant l’ensemble des droites potentielles • Chercher les points proches de chaque droite potentielle • => n3 comparaisons

Transformée de Hough (avec la pente et l’ordonnée à l’origine) Figure 7.15 [rf. GONZALEZ, p. 434]

Représentation discrète d’un espace paramétré : transformée de Hough Tableau de compteurs de points colinéaires Figure 7.16 [rf. GONZALEZ, p. 435]

Représentation discrète d’un espace paramétré : transformée de Hough (a) (b) Figure 7.16 [rf. GONZALEZ, p. 435] Image contenant deux segments de droite Représentation du tableau de compteurs

Transformée de Hough (avec la pente et l’ordonnée à l’origine) • Faiblesse • Pour a ->  => droite verticale b ->  • Difficile à représenter dans l’espace paramétré

Transformée de Hough (avec la normale et l’angle) Figure 7.17 [rf. GONZALEZ, p. 436]

Transformée de Hough (avec la normale et l’angle) • Forme normale de la droite  = x cos  + y sin  • L’espace paramétré est borné par:  -(H2+L2)1/2, (H2+L2)1/2 H: Hauteur de l’image L: Largeur de l’image  -/2,/2

A B Transformée de Hough (exemples) Espace paramétré rq ( Arelie les pts 1, 3 et 5 et B les pts 2, 3 et 4) Espace paramétré rq ( inversion des signes de ret qà ± 90°) Espace paramétré rq {où qs’étend de ± 90° et rde ± Ö2D} Image avec 5 points spécifiques Figure 7.18 [rf. GONZALEZ, p. 437]

Transformée de Hough (avec la normale et l’angle) • Algorithme général • Effectuer la transformée de Hough • Pour chaque pixel à PIXMAX • Calculer les droites chacune paramétrées , pouvant passer par ce pixel • Faire la mise à jour des compteurs de points colinéaires (espace paramétré) aux positions , • Détecter les droites • Parcourir l’espace paramétré et déterminer si le nombre de points colinéaires dépasse un seuil fixé par l’usager

Détection des droites dans l’espace transformé (exemples) Figure 7.14 [rf. GONZALEZ, p. 433]

Détection des droites dans l’espace transformé (exemple OpenCV: houghlines.c)

Détection des cercles • Expression du cercle en coordonnées polaires • L’espace projeté est paramétré par xc et yc donnés par

Détection des cercles • Algorithme général • Effectuer la transformée de Hough (cercle de rayon r) • Pour chaque pixel à PIXMAX • Calculer les centres des cercles donnés par xc,yc pouvant contenir ce pixel • Faire la mise à jour des compteurs des centres de cercle (espace paramétré) aux positions xc,yc • Détecter les cercles • Parcourir l’espace paramétré et déterminer si le nombre de points cocirculaires dépasse un seuil fixé par l’usager

Détection des cercles (Exemple) • Image monnaie

Détection des ellipses (Exemple) (ex: findThresholdFaceNIR.c)

Détection des ellipses (Exemple) (ex: findThresholdFaceNIR.c) //

Détection des ellipses (Exemple) Extraction des contours à partir de l’image seuillée

Détection des ellipses (Exemple) (ex: findThresholdFaceNIR.c)

Détection des ellipses (Exemple) Extraction des contours et ellipses à partir de l’image seuillée

Détection des ellipses (Exemple) • Si nous avons N points d’un contour p1 …. pN dans une images et pi = [xi, yi]T. Posons x = [x2, xy, y2, x, y, 1]Tet p = [x, y]T, alors nous pouvons écrire: • Cette forme générale d’une ellipse est caractérisée par le vecteur de • paramètres a = [a, b, c, d, e, f]T. L’approximation d’un contour par une • ellipse revient à trouver un vecteur a0 qui approxime le mieux les points pi • d’un contour au sens des moindres carrés, et qui est la sol’n de: D() est une fonction distance

Détection des ellipses (Exemple) • En utilisant la distance algébrique le problème de minimisation de moindre carré précédent devient linéaire et peut être résolu de façon directe sous la forme: • Pour éviter la sol’n triviale a = 0 nous devons imposer une contrainte sur • a avec la matrice C (constraint matrix):

Détection des ellipses (Exemple) • Ensuite, nous pouvons réécrire la fonction de minimisation basée sur la distance algébrique sous la forme: • Avec X la matrice (design matrix) de la forme suivante et S = XTX • (scattering matrix):

Détection des ellipses (Exemple) • Le vecteur a0 optimal correspond au vecteur propre associé à la seule valeur propre négative découlant du système suivant : • Algorithme: • Créer la matrice X à partir des point pi = [xi, yi] d’un contour • Calculer la matrice S = XTX • Créer la matrice C • Calculer les valeurs propres  du système précédent et trouver la • valeur propre négative n à laquelle est associée le vecteur propre • optimal a0

Détection des ellipses (Exemple) • Exemples d’approximation découlant de l’application de l’algorithme précédent: Bruit de contour gaussien croissant

Détection des ellipses (Exemple) • Exemple de programme OpenCV (RTGazeTracking.c): Création de la matrice de contraintes C

Détection des ellipses (Exemple) • Exemple de programme OpenCV (RTGazeTracking.c) (suite ….): Création de la matrice X

Détection des ellipses (Exemple) • Exemple de programme OpenCV (RTGazeTracking.c) (suite ….):

Résumé • Segmentation des images par détection des droites • Détection des droites • Transformée de Hough • Détection des droites dans l’espace transformé • Détection des cercles/ellipses

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