1 / 71

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องต่าง ๆ

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องต่าง ๆ The Normal Distribution and Other Continuous Distributions. การแจกแจงความน่าจะเป็น. Probability Distributions. Discrete Probability Distributions. Continuous Probability Distributions. Binomial. Normal. Poisson. Uniform. Hypergeometric.

illiana-kaufman
Télécharger la présentation

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องต่าง ๆ

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องต่าง ๆ The Normal Distribution and Other Continuous Distributions

  2. การแจกแจงความน่าจะเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็น Probability Distributions Discrete Probability Distributions Continuous Probability Distributions Binomial Normal Poisson Uniform Hypergeometric Exponential

  3. Continuous Probability Distributions • A continuous random variableหมายถึงตัวแปรสุ่มที่มีค่าต่อเนื่อง หรือ เป็นเศษส่วนได้ เช่น • ความหนาของชิ้นงาน • เวลาการทำงาน • อุณหภูมิ • ความสูง • ระดับความระเอียดของค่าที่วัดได้ขึ้นกับความสามารถของเครื่องมือวัด

  4. The Normal Distribution • รูประฆังคว่ำ (Bell Shaped) • สมมาตร (Symmetrical) • Mean, Median และ Mode มีค่าเท่ากัน ตำแหน่งของค่ากลางวัดด้วยค่าเฉลี่ย (mean, μ) การกระจายตัววัดด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (standard deviation, σ) ตัวแปรมีค่าในช่วง + to   f(X) σ X μ Mean = Median = Mode

  5. The Normal Distribution Shape f(X) การเปลี่ยนค่าμจะทำให้รูปการกระจายตัวเลื่อนไปทางซ้ายหรือขวา การเปลี่ยนค่าσหมายถึงการเพิ่มหรือลดของความผันแปร และทำให้ความสูงของการกระจายตัวเปลี่ยนไป σ μ X

  6. The Normal Probability Density Function • ฟังก์ชั่นความหนาแน่น (probability density function, pdf) เมื่อ e = ค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ มีค่าประมาณ 2.71828 π = ค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ มีค่าประมาณ3.14159 μ = ค่าเฉลี่ยของประชากร (population mean) σ = ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร (population standard deviation) X = ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง

  7. การแจกแจงแบบปกติมาตรฐานThe Standardized Normal ตัวแปรสุ่มที่แจกแจงแบบ normal (X) ทุกตัวสามารถแปลงให้เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานstandardized normaldistribution (Z) ได้

  8. Translation to the Standardized Normal Distribution แปลง X เป็น Z โดยsubtracting the mean of X and dividing by its standard deviation ดังนี้: ตัวแปรสุ่ม Z มีค่า mean = 0 และ standard deviation = 1 เสมอ

  9. The Standardized Normal Probability Density Function • probability density function ของตัวแปรสุ่ม Z เมื่อe = ค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ มีค่าประมาณ 2.71828 π = ค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ มีค่าประมาณ 3.14159 Z = ตัวแปรสุ่มแบบ standardized normal distribution

  10. The Standardized Normal Distribution อาจเรียกว่า “Z” distribution Mean = 0 Standard Deviation = 1 f(Z) 1 Z 0 Values above the mean have positive Z-values, values below the mean have negative Z-values

  11. Example ถ้า X แจกแจงแบบปกติ (normallydistributed) มีค่าmean = 100และstandard deviation = 50, จะได้ค่า Z สำหรับX = 200คือ หมายถึงค่า X = 200 มีค่าสูงกว่าค่าเฉลี่ยไป 2 เท่าของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

  12. เปรียบเทียบระหว่าง X และ Z units 100 200 X (μ = 100, σ = 50) 0 2.0 Z (μ = 0, σ = 1) Note that the distribution is the same, only the scale has changed. We can express the problem in original units (X) or in standardized units (Z)

  13. การคำนวณความน่าจะเป็นของการแจกแจงแบบปกติการคำนวณความน่าจะเป็นของการแจกแจงแบบปกติ Probability is the area under thecurve! Probability วัดได้จากพื้นที่ใต้กราฟ (area under the curve) f(X) ) ≤ ≤ P ( a X b ) < < = P ( a X b (Note that the probability of any individual value is zero) X a b

  14. Probability as Area Under the Curve The total area under the curve is 1.0, and the curve is symmetric, so half is above the mean, half is below f(X) 0.5 0.5 μ X

  15. Empirical Rules μ ± 1σ encloses about 68% of X’s What can we say about the distribution of values around the mean? There are some general rules: f(X) σ σ X μ-1σ μ μ+1σ 68.26%

  16. The Empirical Rule (continued) • μ ± 2σcovers about 95% of X’s • μ ± 3σcovers about 99.7% of X’s 3σ 3σ 2σ 2σ μ x μ x 95.44% 99.72%

  17. The Standardized Normal Table การหาค่าความน่าจะเป็นสามารถทำได้โดยการใช้ตารางปกติมาตรฐาน .9772 Example: P(Z < 2.00) = .9772 Z 0 2.00

  18. การใช้ตารางปกติมาตรฐานการใช้ตารางปกติมาตรฐาน The value within the table gives the probability from Z =   up to the desired Z value (continued) The columngives the value of Z to the second decimal point Z 0.00 0.01 0.02 … 0.0 0.1 The row shows the value of Z to the first decimal point . . . 2.0 .9772 P(Z < 2.00) = .9772 2.0

  19. ขั้นตอนทั่วไปของการคำนวณความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่แจกแจงแบบปกติขั้นตอนทั่วไปของการคำนวณความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่แจกแจงแบบปกติ จงหา P(a < X < b) เมื่อ X is distributed normally: • วาดรูป normal curve บนสเกล X • แปลงค่าตัวแปรสุ่ม X เป็นตัวแปรสุ่ม Z • หาความน่าจะเป็นจาก Standardized Normal Table

  20. Finding Normal Probabilities • Suppose X is normal with mean 8.0 and standard deviation 5.0 • Find P(X < 8.6) X 8.0 8.6

  21. Suppose X is normal with mean 8.0 and standard deviation 5.0. Find P(X < 8.6) Finding Normal Probabilities (continued) μ = 8 σ = 10 μ= 0 σ = 1 X Z 8 8.6 0 0.12 P(X < 8.6) P(Z < 0.12)

  22. Solution: Finding P(Z < 0.12) Standardized Normal Probability Table (Portion) P(X < 8.6) = P(Z < 0.12) .02 Z .00 .01 .5478 .5000 0.0 .5040 .5080 .5398 .5438 .5478 0.1 0.2 .5793 .5832 .5871 Z 0.00 0.3 .6179 .6217 .6255 0.12

  23. Upper Tail Probabilities • Suppose X is normal with mean 8.0 and standard deviation 5.0. • Now Find P(X > 8.6) X 8.0 8.6

  24. Upper Tail Probabilities (continued) • Now Find P(X > 8.6)… P(X > 8.6) = P(Z > 0.12) = 1.0 - P(Z ≤ 0.12) = 1.0 - .5478 = .4522 .5478 1.000 1.0 - .5478 = .4522 Z Z 0 0 0.12 0.12

  25. Probability Between Two Values Suppose X is normal with mean 8.0 and standard deviation 5.0. Find P(8 < X < 8.6) Calculate Z-values: 8 8.6 X 0 0.12 Z P(8 < X < 8.6) = P(0 < Z < 0.12)

  26. Solution: Finding P(0 < Z < 0.12) P(8 < X < 8.6) Standardized Normal Probability Table (Portion) = P(0 < Z < 0.12) = P(Z < 0.12) – P(Z ≤ 0) .02 Z .00 .01 = .5478 - .5000 = .0478 .5000 0.0 .5040 .5080 .0478 .5000 .5398 .5438 .5478 0.1 0.2 .5793 .5832 .5871 0.3 .6179 .6217 .6255 Z 0.00 0.12

  27. Probabilities in the Lower Tail • Suppose X is normal with mean 8.0 and standard deviation 5.0. • Now Find P(7.4 < X < 8) X 8.0 7.4

  28. Probabilities in the Lower Tail (continued) Now Find P(7.4 < X < 8)… P(7.4 < X < 8) = P(-0.12 < Z < 0) = P(Z < 0) – P(Z ≤ -0.12) = .5000 - .4522 = .0478 .0478 .4522 The Normal distribution is symmetric, so this probability is the same as P(0 < Z < 0.12) X 7.4 8.0 Z -0.12 0

  29. การหาค่า X ที่สอดคล้องกับความน่าจะเป็นที่กำหนด • Steps to find the X value for a known probability: 1. หาค่า Z สำหรับความน่าจะเป็นที่ทราบค่า จากตารางค่า Z 2. หาค่า X จากสูตร:

  30. Finding the X value for a Known Probability (continued) Example: • สมมติ X is normal with mean 8.0 and standard deviation 5.0. • จงหาค่า X ที่คาดว่าจะมีตัวแปร X อื่น ๆ ซึ่งมีค่าน้อยค่านี้ประมาณ 20% .2000 X ? 8.0 Z ? 0

  31. Find the Z value for 20% in the Lower Tail 1. Find the Z value for the known probability • 20% area in the lower tail is consistent with a Z value of -0.84 Standardized Normal Probability Table (Portion) .04 Z .03 .05 … -0.9 .1762 .1736 .1711 … .2000 .2033 .2005 .1977 -0.8 … … -0.7 .2327 .2296 .2266 X ? 8.0 Z -0.84 0

  32. Finding the X value 2. Convert to X units using the formula: So 20% of the values from a distribution with mean 8.0 and standard deviation 5.0 are less than 3.80

  33. การประเมินว่าข้อมูลแจกแจงแบบปกติหรือไม่การประเมินว่าข้อมูลแจกแจงแบบปกติหรือไม่ • ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องทั้งหมดมิได้แจกแจงแบบปกติ • ก่อนการใช้งานจริง จึงควรศึกษาก่อนว่าการแจกแจงแบบปกติสามารถอธิบายพฟติกรรมของข้อมูลที่สนใจได้ดีเพียงใด

  34. การประเมินว่าข้อมูลแจกแจงแบบปกติหรือไม่การประเมินว่าข้อมูลแจกแจงแบบปกติหรือไม่ (continued) • สร้างcharts or graphs • For small- or moderate-sized data sets, do stem-and-leaf display and box-and-whisker plot look symmetric? • For large data sets, does the histogram or polygon appear bell-shaped? • คำนวณdescriptive summary measures • mean, median และ mode มีค่าใกล้เคียงกันหรือไม่? • Is the interquartile range approximately 1.33 σ? • ค่าพิสัยมีค่าประมาณ 6 σ?

  35. การประเมินว่าข้อมูลแจกแจงแบบปกติหรือไม่การประเมินว่าข้อมูลแจกแจงแบบปกติหรือไม่ (continued) • Observe the distribution of the data set • Do approximately 2/3 of the observations lie within mean 1 standard deviation? • Do approximately 80% of the observations lie within mean 1.28 standard deviations? • Do approximately 95% of the observations lie within mean 2 standard deviations? • Evaluate normal probability plot • Is the normal probability plot approximately linear with positive slope?

  36. The Uniform Distribution • The uniform distribution is a probability distribution that has equal probabilities for all possible outcomes of the random variable • Also called a rectangular distribution

  37. The Uniform Distribution (continued) The Continuous Uniform Distribution: f(X) = where f(X) = value of the density function at any X value a = minimum value of X b = maximum value of X

  38. Properties of the Uniform Distribution • The mean of a uniform distribution is • The standard deviation is

  39. Uniform Distribution Example ตัวอย่าง: Uniform probability distribution over the range 2 ≤ X ≤ 6: 1 f(X) = = .25 for 2 ≤ X ≤ 6 6 - 2 f(X) .25 X 2 6

  40. The Exponential Distribution • Used to model the length of time between two occurrences of an event (the time between arrivals) • Examples: • เวลาระหว่างการมาถึงท่าเรือของรถบรรทุก • เวลาระหว่างการถูกใช้งานโดยลูกค้าของเครื่อง ATM • เวลาระหว่างการเข้ามาถึงของโทรศัพท์ที่ Operators

  41. The Exponential Distribution • Defined by a single parameter, its mean λ (lambda) • The probability that an arrival time is less than some specified time X is where e = mathematical constant approximated by 2.71828 λ = the population mean number of arrivals per unit X = any value of the continuous variable where 0 < X <

  42. Exponential Distribution Example Example: Customers arrive at the service counter at the rate of 15 per hour. What is the probability that the arrival time between consecutive customers is less than three minutes? • The mean number of arrivals per hour is 15, so λ = 15 • Three minutes is .05 hours • P(arrival time < .05) = 1 – e-λX = 1 – e-(15)(.05) = .5276 • So there is a 52.76% probability that the arrival time between successive customers is less than three minutes

  43. Sampling Distributions Sampling Distributions Sampling Distributions of the Mean Sampling Distributions of the Proportion

  44. Sampling Distributions • A sampling distribution is a distribution of all of the possible values of a statistic for a given size sample selected from a population

  45. Developing a Sampling Distribution • Assume there is a population … • Population size N=4 • Random variable, X,is age of individuals • Values of X: 18, 20,22, 24 (years) D C A B

  46. Developing a Sampling Distribution (continued) Summary Measures for the Population Distribution: P(x) .3 .2 .1 0 x 18 20 22 24 A B C D Uniform Distribution

  47. Now consider all possible samples of size n=2 Developing a Sampling Distribution (continued) 16 Sample Means 16 possible samples (sampling with replacement)

  48. Developing a Sampling Distribution Sampling Distribution of All Sample Means (continued) Sample Means Distribution 16 Sample Means _ P(X) .3 .2 .1 _ 0 18 19 20 21 22 23 24 X (no longer uniform)

  49. Developing a Sampling Distribution Summary Measures of this Sampling Distribution: (continued)

  50. Comparing the Population with its Sampling Distribution Population N = 4 Sample Means Distribution n = 2 _ P(X) P(X) .3 .3 .2 .2 .1 .1 _ 0 0 X 1820 22 24 A B C D 18 19 20 21 22 23 24 X

More Related