340 likes | 460 Vues
Magnetooszillationen Shubnikov-de-Haas Oszillation Vera Gramich und Caroline Clement, 20.11.2008. Gliederung:. 1. Motivation 2. Einführung Voraussetzungen Oszillation der Gesamtenergie Shubnikov-de-Haas Effekt (SdH) De-Haas-van-Alphen Effekt (dHvA) Ausblick QHE Zusammenfassung.
E N D
Magnetooszillationen Shubnikov-de-Haas Oszillation Vera Gramich und Caroline Clement, 20.11.2008
Gliederung: 1. Motivation 2. Einführung Voraussetzungen Oszillation der Gesamtenergie Shubnikov-de-Haas Effekt (SdH) De-Haas-van-Alphen Effekt (dHvA) Ausblick QHE Zusammenfassung
1. Motivation SdH-Oszillation
2. Einführung • Magnetooszillationen: z.B. SdH: Widerstand rxx oszilliert mit dHvA: magnetisches Moment m oszilliert mit QHE: keine Oszillationen, sondern Peaks im Widerstand rxx Wichtig: Oszillation nicht mit B, sondern mit !!!
Grund: Gesamtenergie (Fermi-Energie) oszilliert mit jede aus der Energie ableitbare Größe oszilliert ebenfalls !! • Experimentelle Bestimmung der Fermiflächen aus diesen Effekten
3. Voraussetzungen e- B Elektron muss mindestens eine Kreisbahn vollenden (klassisch) wct >> 1 dazu benötigt man: - hohes B-Feld - lange Stoßzeit t - tiefe Temperaturen T QM: scharfe Besetzung der Energieniveaus
QM : e- durch Wellenfunktion beschrieben „Enden“ der Wellenfunktion müssen „aufeinander“ passen Semiklassísche Behandlung: Fläche und Radius der Bahn müssen quantisiert werden !! Klassisch: e- im B-Feld auf Kreisbahn 4. Oszillation der Gesamtenergie4.1 Bahnquantisierung im Ortsraum
von 2 Seiten aus gesehen 2-dim harmonischer Oszillator in x-y Ebene • Energieeigenwerte bekannt: Quantisierte Energieeigenwerte: . e- Hamiltonoperator: Lösen der stationären Schrödingergleichung Energieeigenwerte En Weg motiviert: . Beobachter Beobachter Landau-Niveaus
B = 0: B ≠ 0: Umordnung der Zustände Zustände bleiben aber erhalten !!
4.2 Semiklassischer Ansatz von Onsager & Lifschitz Wie sehen die Elektronenbahnen aus? • kanon. Impuls: • Bohr-Sommerfeld-Quantisierung: • Kinetischer Term integriert: Phasenkorrektur
Feldimpuls-Term integriert: Insgesamt erhalten wir: Quantisierung des magnetischen Flusses: Flußquantum Resultat: Fluß in Einheiten von f0~ 4,14*10-15Tm2quantisiert !!
Im Ortsraum quantisierte Bahnen Zwischenergebnis: Bahn hat diskrete Fläche Quantisierung des Flusses Wie sieht quantisierte Bahn im k-Raum aus ?
4.3 Bahnquantisierung im k-Raum Experimenteller Befund: - Bahn in Ortsraum ~ B - Bahn in k-Raum ~ Transformationsvorschrift: Integration Vorschrift für die Transformation der Länge eines Vektors vom Ortsraum in den k-Raum
Im k-Raum überstrichene Fläche: • Um welchen Betrag muss B zunehmen, dass 2 benachbarte Bahnen Sn-1 und Sn gleiche Flächen im k-Raum umschließen? Fläche im k-Raum Fläche im Ortsraum • Gleiche Zunahmen von D • Identische Bahnen im k-Raum
Merke: Im Ortsraum quantisierte Bahnen ~ B Im k-Raum quantisierte Bahnen ~ Physikalische Eigenschaften oszillieren mit Wie wirkt sich das auf die Gesamtenergie des Systems aus?
4.4 Umverteilung der Zustände im k-Raum • B = 0: • diskrete Punkte • Energieeigenwerte: • 1 Zustand hat Fläche : Dichte der Punkte: durch 2 Quantenzahlen bestimmt!
B ≠ 0: (hohes B-Feld) • diskrete Landau-Zylinder (3-dim) diskrete Landau-Kreise (2-dim) • Energieeigenwerte: nur noch durch eine Quantenzahl bestimmt!
Zustände bleiben erhalten • Umverteilung: zu festem n: kx2 + ky2 = const Zahl der Zustände pro Quantenzahl n = Entartung: mit
4.5 Oszillation der Gesamtenergie (qualitativ) B = 0 B = B1≠ 0 Zustände bis EF besetzt Energie erniedrigt um ins Niveau zu kommen Energie erhöht um ins Niveau zu kommen = Gesamtenergie bleibt gleich !! EF(B = 0) EF(B = B1)
B = 0 B ≠ 0 = B2 > B1 B-Feld steigt an Abstand der Landau-Niveaus wird größer Keine Zustände, die Energie erniedrigt haben !!! < EF( B = 0) Gesamtenergie erhöht !!! EF( B = B2)
B = 0 B ≠ 0 = B3 > B2 Nur noch 2 Landau-Niveaus besetzt = EF( B = 0) Gesamtenergie bleibt gleich !!! EF( B = B3)
Teilweise besetzte Niveaus Gesamtenergie oszilliert als Funktion von B !! vollständig besetzte Niveaus
4.6 Oszillation der Gesamtenergie (quantitativ) Feld B0: s Landau-Niveaus besetzt; Niveau s+1 teilweise besetzt EF liegt in Niveau s+1 B > B0: Entartung nimmt in den Niveaus s zu aus Niveau s+1 wandern Zustände in niedrigere Niveaus s wenn Niveau s+1 leer EF springt ins Niveau s ! bei bestimmten kritischen Feldern springt EF ins niedrigere Niveau !
Gesamtzahl der e- - „kritische“ Felder, an denen EF springt: - Gesamtenergie für Feld B: Entartung Zahl der besetzten Niveaus
Nur voll besetzte Niveaus Minimum der Gesamtenergie teilweise besetzte LN Voll besetzte LN • Gesamtenergie oszilliert mit • damit oszilliert jede aus der Energie ableitbare thermodyn. Größe auch mit
5. Shubnikov-de-Haas Effekt Gesamtenergie oszilliert mit • Zustandsdichte oszilliert ebenfalls • elektrische Leitfähigkeit hängt ab von Zustandsdichte an Fermienergie bzw. Widerstand r hängt ab von Streuprozessen nahe Fermienergie • Streuprozesse finden statt, falls Fermienergie in Landau-Niveau liegt • Widerstand r oszilliert mit : mit
Starke Näherung: nur (s = 1)-Term Oszillation des Widerstandes rxx ~1/B Dämpfungsterm Die Oszillationen sind demnach periodisch mit 1/B, ihre Amplitude wird für kleiner werdendes B-Feld exponentiell gedämpft !!!
Experimentelle Bestimmung der Fermiflächen: • aus Messungen der Oszillationen des Widerstandes mit (1/B) kann man die Extremalfläche S (Fermifläche) bestimmen: • Rekonstruktion der Fermiflächen möglich !
6. De-Haas-van-Alphen Effekt Gesamtenergie oszilliert mit 1/B • magnetisches Moment m oszilliert ebenfalls mit 1/B, da:
8. Zusammenfassung • semiklassische Betrachtung: Bahn-Quantisierung im Ortsraum (2-dim. harmonischer Oszillator) - Landau-Niveaus • Fluss hat quantisierte Einheit (hc/e) • entsprechende Bahn-Quantisierung im k-Raum, d.h. Umordnung der Zustände auf Landau-Zylinder • mit steigendem B-Feld wird die Entartung größer • Gesamtenergie oszilliert mit 1/B - dann oszilliert auch jede aus der Energie ableitbare Größe mit 1/B z.B. SDH-Effekt: Widerstand oszilliert mit 1/B dHvA-Effekt. Magnetische Moment oszilliert mit 1/B