O Básico da Análise de Regressão com Dados de Séries

O Básico da Análise de Regressão com Dados de Séries Jaci2 ED Séries2006 Mestrado em Informática/UFES Profs Flávio e Magnos Economics 20 - Prof. Anderson

Séries Temporais vs. Dados de corte transversal • Séries temporais têm uma ordenação temporal; • Passado pode afetar o futuro; • Há aleatoriedade em dados temporais? • Processo estocástico ou processo de série temporal; • Não há amostras aleatórias de indivíduos, apenas a realização de um único processo estocástico. • O tamanho da amostra de um conjunto de dados de séries temporais é o número de períodos em que observamos as variáveis de interesse. Economics 20 - Prof. Anderson

Exemplos de Modelos:Modelos Estáticos • Um modelo estático relaciona duas variáveis contemporaneamente: yt = b0 + b1zt + ut • Estático → modela uma relação contemporânea (entre duas ou mais variáveis); • Interessante quando se acredita que z tem um efeito imediato em y. • Exemplo clássico: curva de Philips estática (relaciona taxa de inflação e taxa de desemprego); Economics 20 - Prof. Anderson

Exemplos de Modelos: Modelos de Defasagens Distribuidas Finitas • Permite que uma ou mais variáveis afetem y com defasagens: yt = a0 + d0zt + d1zt-1 + d2zt-2 + ut • Um modelo de defasagens finitas de ordem q inclui q defasagens de z. • Chamamos d0 de propensão de impacto ou mutiplicador de impacto. • Chamamos d0 + d1 +…+ dq de propensão de longo prazo (PLP) ou de multiplicador de longo prazo. • Devido à multicolinearidade (correlação substancial em zt ,zt-1, zt-2 …), Pode ser difícil conseguir estimativas individuais precisas dos dj . Economics 20 - Prof. Anderson

Hipóteses para Inexistência de Viés do MQO • ST .1: Linear nos parâmetros: yt = b0 + b1xt1 + . . .+ bkxtk + ut • ST .2: Média condicional zero: E(ut|X) = 0, t = 1, 2, …, n • Obs.: A média condicional zero implica que o erro no tempo t, ut, é não-correlacionado com cada regressor em todos os períodos de tempo. Economics 20 - Prof. Anderson

Hipóteses para Inexistência de Viés do MQO • Em E(ut|X) = 0, X é uma matriz de todas as variáveis independentes vs. o tempo; • Exogeneidade contemporânea: E(ut|xt)=0; • Exogeneidade estrita: E(ut|X) = 0; Economics 20 - Prof. Anderson

Hipóteses para Inexistência de Viés • ST .3: Inexistência de colinearidade perfeita: nenhum regressor é constante ou é uma combinação linear perfeita dos outros. • Sob essas 3 hipóteses os estimadores MQO são não-viesados; Economics 20 - Prof. Anderson

Hipóteses para Inexistência de Viés • A hipótese de amostra aleatória foi descartada; • Essa hipótese implicava que os ui eram independentes; • ST .2 garante essa propriedade (exogeneidade strita); Economics 20 - Prof. Anderson

Homoscedasticidade • ST .4: Homoscedasticidade: Var(ut|X) = Var(ut) = s2 • Significa que Var(ut|X) não depende de X e é constante ao longo do tempo; • Exige dos fatores não-observáveis que estejam afetando o regressando com uma variância constante ao longo do tempo; Economics 20 - Prof. Anderson

Inexistência de Correlação serial • ST .5: Inexistência de Correlação serial: Os erros em dois períodos de tempo diferentes devem ser não correlacionados: Corr(ut,us| X)=0 for t  s Economics 20 - Prof. Anderson

Variâncias Amostrais do MQO • Sob essas 5 hipóteses de Gauss-Markov, as variâncias do MQO para dados de séries temporais são as mesmas do MQO para dados de corte transversal. • Var(^βj|X) = s2/[SQTj (1 - Rj2)], j = 1, …k, • MQO permanesce BLUE Economics 20 - Prof. Anderson

Inferência sob as Hipóteses do Modelo Linear Clássico • Com a hipótese adicional ST .6:Normalidade (erros normais), não há nenhuma alteração no modo de como fazer inferência para MQO de séries temporais; • Sob essas 6 hipóteses tudo que aprendemos sobre estimadores e inferência das regressões de corte transversal aplica-se diretamente às regressões em séries temporais. Economics 20 - Prof. Anderson

Variáveis DUMMY • São variáveis independentes binárias (ou dummy); • Principais componentes para fazer estudo de evento; • Exemplo: • gfr: taxa geral de fertilidade (para cada 1000 mulheres) • pe: taxa de insenção de impostos • ww2: = 1 para os anos de 1941 a 1945 (segunda guerra) • pill: = 1 apartir de 1963 (1ª pílula anticoncepcinal) Economics 20 - Prof. Anderson

Variáveis DUMMY • Cada variável é estatisticamente significante ao nível de 1%; • ww2 = 24: Significa que houve cerca de 24 nascimentos a menos para cada 1000 mulheres durante a segunda guerra mundial; Economics 20 - Prof. Anderson

Números Índices • Medida estatística idealizada para mostrar as oscilações de uma variável em função de: tempo, posição geográfica … • Exemplo: Indices de Inflação/Preço; • Valores Nominais vs.Valores reais; • Usar índices de preço para transformar uma série temporal em valores nominal para valores reais; Economics 20 - Prof. Anderson

Tendência em Séries Temporais • Muitas séries temporais econômicas têm uma tendência temporal; • Não se pode assumir que duas séries com tendência (na mesma direção ou opostas) tenham uma relação causal; • Provavelmente, essa falsa relação causal é devido a fatores não-observados diversos; • Como capturar adequadamente uma tendência? Economics 20 - Prof. Anderson

Tendência Temporal Linear • Uma tendência linear pode ser modelada como: yt = a0 + a1t + et, t = 1, 2, … • Mantendo todos os outros fatores fixos (em et), a1 mede a mudança em yt em intervalo de tempo • Outra possibilidade é: E(yt)= a0 + a1t Economics 20 - Prof. Anderson

Tendência Temporal Linear Economics 20 - Prof. Anderson

Tendência Temporal Exponencial • Muitas séries econômicas são bem aproximadas por uma tendência exponencial, cujo modelo pode ser dado por: log(yt) = a0 + a1t + et, t = 1, 2, … • Caracteriza uma taxa (percentual) média constante de crescimento; • a1 = ∆log(yt)≈ (yt – yt-1)/yt-1 Economics 20 - Prof. Anderson

Tendência Temporal Exponencial Economics 20 - Prof. Anderson

Tendência Temporal Quadrática • Apesar de menos comum, algumas tendências mais complicadas podem requerer um modelo quadrático: yt = a0 + a1t + a2t2 + et, t = 1, 2, … Economics 20 - Prof. Anderson

Variáveis com Tendência e Análise de Regressão • Variáveis com tendência não violam as hipóteses do modelo linear clássico; • O problema da regressão espúria. • A adição de uma tendência temporal elimina esse problema: • É o mesmo que usar séries “destendenciadas”na regressão; • O modelo reconhece que y pode ter uma tendência não-relacionada aos regressores; • Nesse caso, omitir t a regressão geralmente levará a estimadores viesados; Economics 20 - Prof. Anderson

Variáveis com Tendência e Análise de Regressão • Exemplo: • invpc : investimento imobiliário real per capita • price: índice de preco de imóveis • A elasticidade de invpc em relação a price é estatisticamente significante e não é estatisticamente ≠ 1 Economics 20 - Prof. Anderson

Variáveis com Tendência e Análise de Regressão • Adicionando uma tendência temporal: • A elasticidade de invpc em relação a price é negativa e não é estatisticamente ≠ 0 • Não podemos concluir que invpc não é afetado por price; • Fatores não-observados, que afetam invpc e price, não foram modelados; • A tendência temporal indica um crescimento de 1% ,em média, em invpc; Economics 20 - Prof. Anderson

Variáveis com Tendência e Análise de Regressão • Outro Exemplo (Equação da Fertilidade): • gfr: taxa geral de fertilidade (para cada 1000 mulheres); • pe: taxa de insenção de impostos; • ww2: = 1 para os anos de 1941 a 1945 (segunda guerra); • pill: = 1 apartir de 1963 (1ª pílula anticoncepcinal); • Conclusão: • O coeficiente pe triplicou e é muito mais significante; • Curioso: pill deixou de ser significante; Economics 20 - Prof. Anderson

Variáveis com Tendência e Análise de Regressão • Outro Exemplo (Equação da Fertilidade): • Tgf apresentou tanto tendência crescente e decrescente durante o periodo de 1913 a 1984; • O que sugere o uso de tendência quadrática: • Conclusão: • O coeficiente de pe aumentou ainda mais, permanescendo significante; • pill passou a ter efeito em gfr, sendo marginalmente; Economics 20 - Prof. Anderson

Inclusão de uma Tendência Temporal: Retirada de Tendência • É possível mostrar que β1 e β2 na equação: • Podem ser obtidos assim: • Compute a regressão de y1,xt1 e xt2 sobre uma constante e t; Economics 20 - Prof. Anderson

Inclusão de uma Tendência Temporal: Retirada de Tendência • Encontre os resíduos: • Ϋt pode ser entendida como uma variável que teve sua tendência temporal retirada; • Fazendo a regressão de Ϋt sobre ¨xt1 e ¨xt2 encontramos β1 e β2; Economics 20 - Prof. Anderson

Inclusão de uma Tendência Temporal: Retirada de Tendência • Obs.: o grau de ajuste (R2) quando a variável dependente apresenta uma tendência pode apresentar problemas; • O autor sugere regredir primeiro Ϋt sobre ¨xt1 e ¨xt2 e depois calcularR2 assim(SSR=SQR): Economics 20 - Prof. Anderson

Sazonalidade • Com certa freqüência, séries temporais exibem alguma periodicidade; • Exemplo: Vendas trimestrais do varejo; • A sazonalidade pode ser tratada com a inclusão de um conjunto de variáveis dummys sazonais; Economics 20 - Prof. Anderson

Sazonalidade • Modelo geral para dados mensais: • fevt …dezt são variáveis dummy; • β0 é o intercepto de janeiro; • Se não houver sazonalidade: δ1 ... δ11 = 0 (pode ser verificado por um teste F) Economics 20 - Prof. Anderson

Sazonalidade • Assim como na inclusão de tendência temporal em uma regressão, a inclusão de variáveis dummy pode ser interpretada como dessazonalização dos dados; • Isso pode ser concluído regredindo-se a variável dependente e todas independentes sobre as dummies mensais, em seguida regredindo-se a variável dependente sobre as independentes (sem as dummies); Economics 20 - Prof. Anderson

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