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Irrationale Zahlen

Irrationale Zahlen. Ist die Zahl a, die mit sich selbst multipliziert 2 ergibt: a² = a ∙ a = 2. Wir versuchen die Zahl durch Probieren zu finden. Dazu grenzen wir die Zahl immer weiter ein. Wir beginnen mit einer natürlichen Zahl, deren Quadrat gerade noch größer ist als 2

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Presentation Transcript

  1. Irrationale Zahlen Ist die Zahl a, die mit sich selbst multipliziert 2 ergibt: a² = a ∙ a = 2 Wir versuchen die Zahl durch Probieren zu finden. Dazu grenzen wir die Zahl immer weiter ein. Wir beginnen mit einer natürlichen Zahl, deren Quadrat gerade noch größer ist als 2 und suchen dann die Zahl, deren Quadrat gerade noch kleiner ist als 2. Dann wissen wir, die gesuchte Zahl liegt auf dem Zahlenstrahl zwischen 1 und 2. Dann verfeinern wir die Suche, indem wir zwei Zahlen mit einer Nachkommastelle suchen, deren Quadrat gerade noch größer bzw. kleiner ist als 2. Dann verfeinern wir die Suche, indem wir zwei Zahlen mit zwei Nachkommastellen suchen, deren Quadrat …………… usw. 1,4² = 1,96 < 2 1,4 1,5 1,5² = 2,25 > 2 1 2

  2. Irrationale Zahlen Wir suchen die Lösung durch Probieren: So kann man die Zahl immer genauer bestimmen: a ∙ a = 2 1,5 ∙ 1,5 = 2,25 zu groß 1. Intervall 1,4 < a < 1,5 1,4 ∙ 1,4 = 1,96 zu klein 2. Intervall 1,41 < a < 1,42 3. Intervall 1,414 < a < 1,415 1,45 ∙ 1,45 = 2,1025 zu groß Dieses Verfahren, die gesuchte Zahl immer weiter einzugrenzen, nennt man Intervallschachtelung. 1,44 ∙ 1,44 = 2,0736 zu groß 1,43 ∙ 1,43 = 2,0449 zu groß 1,42 ∙ 1,42 = 2,0164 zu groß Diese Intervallschachtelung führt zu einer neuen Art von Zahlen, den irrationalenZahlen. Sie sind nicht periodisch und haben beliebig viele Stellen hinter dem Komma. 1,41 ∙ 1,41 = 1,9881 zu klein 1,415 ∙ 1,415 = 2,002225 zu groß 1,414 ∙ 1,414 = 1,999396 zu klein Diese Versuche kann man unendlich weiterführen!

  3. Irrationale Zahlen Intervallschachtelung für a ∙ a = 2 1,4142< a < 1,4143 4. Intervall 3. Intervall 1,414 < a < 1,415 2. Intervall 1,41 < a < 1,42 1. Intervall 1,4 < a < 1,5 Würde man die Intervallschachtelung weiterführen käme man zu folgendem Zwischenergebnis: 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 ………………………… Das Zwischenergebnis führt zu der Vermutung, dass sich die Ziffernfolgen hinter dem Komma nicht periodisch wiederholen werden. Das bedeutet diese Zahl ist nicht als Bruch darstellbar.

  4. Irrationale Zahlen Irrationale Zahlen haben unendlich viele Stellen hinter dem Komma. Anders als bei periodischen Dezimalzahlen (1/3 = 0,3333……) können irrationale Zahlen nicht als Bruchzahl dargestellt werden, daher sind sie etwas Besonderes. Zusammen mit den Rationalen Zahlen bilden sie die Menge der Reellen Zahlen. Positive und negative ganze Zahlen Positive und negative Bruchzahlen Zahlen Rationale Zahlen Q Reelle Zahlen R Irrationale Zahlen Versuche mit diesem Verfahren die Quadratwurzel aus 8 bis auf 6 Nachkommastellen zu bestimmen. Die Excel-Tabelle hilft dir dabei.

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