Tree & Binary Tree

1. Tree & Binary Tree

2. A C D B E F G H I J K L M A( B(E, F(K, L)),C(G),D(H, I, J(M))) 树根 T3 T2 T1

3. 二叉树的类型定义

4. 二叉树或为空树，或是由一个根结点加上两棵分别称为左子树和右子树的、互不交叉的二叉树组成二叉树或为空树，或是由一个根结点加上两棵分别称为左子树和右子树的、互不交叉的二叉树组成 右子树 根结点 A B E C F G D 左子树 H K

5. 二叉树的五种基本形态 只含根结点 空树 左右子树均不为空树 N 左子树为空树 右子树为空树 N N N L R L R

6. 二叉树的分类 完全二叉树 丰满二叉树 排序二叉树 平衡二叉树

7. 满二叉树：指的是深度为k且含有2k-1个结点的二叉树满二叉树：指的是深度为k且含有2k-1个结点的二叉树 1 2 3 5 4 6 7 完全二叉树：树中所含的 n 个结点和满二叉树中编号为 1 至 n 的结点一一对应 10 11 12 13 14 15 9 8 a b c d e f g h i j

8. 二叉树的重要特性

9. 性 质 1 在二叉树的第i(i≥1)层上至多有 2i-1 个结点

10. 用归纳法证明 归纳基础 归纳假设 归纳证明 i = 1层时，只有一个根结点： 2i-1 = 20 = 1 假设对所有的 j，1≤ j i， 命题成立 二叉树上每个结点至多有两 棵子树，则第 i 层的结点数 ≤2i-2 2 = 2i-1

11. 性 质 2 深度为k（k≥1）的二叉树上至多 含2k-1 个结点

12. 证明 基于上一条性质，深度为 k 的二　　　　 　叉树上的结点数至多为 20+21+       +2k-1 = 2k-1

13. 性 质 3 对任何一棵二叉树，若它含有n0 个 叶子结点、n2 个度为2的结点，则必存 在关系式：n0 = n2+1

14. 证明 设二叉树上结点总数 n = n0 + n1 + n2 又二叉树上分支总数 b = n1+2n2 而 b = n-1 = n0 + n1 + n2 - 1 由此， n0 = n2 + 1

15. 性 质 4 具有n个结点的完全二叉树的深度 为log2n +1

16. 证明 设完全二叉树的深度为 k 则根据第二条性质得 2k-1≤ n < 2k 即 k-1 ≤ log2 n < k 因为k只能是整数，因此，k=log2n +1

17. 性 质 5 若对含n个结点的完全二叉树从 上到下且从左至右进行1至n的编号， 则对完全二叉树中任意一个编号为i 的结点：

18. (1)若i=1，则该结点是二叉树的根， 无双亲，否则，编号为i/2 的 结点为其双亲结点 (2)若2i>n，则该结点无左孩子，否 则，编号为2i的结点为其左孩子 结点 (3)若2i+1>n，则该结点无右孩子结 点，否则，编号为2i+1的结点为 其右孩子结点

19. 树的存储结构 一、广义表表示法 二、双亲表示法 三、孩子表示法 四、孩子兄弟表示法

20. 广义表表示法 树的广义表表示 (结点的utype域没有画出)

21. 双亲表示法 data parent 0 A -1 1 B 0 2 C 0 3 D 0 4 E 2 5 F 2 6 G 5 A D B C E F G

22. 孩子链表表示法 data firstchild 0 A -1 1 B 0 2 C 0 3 D 0 4 E 2 5 F 2 6 G 4 1 2 3 A 4 5 B C D 6 E F G

23. 孩子兄弟表示法 root A B C E D F G A B C D A B C E D F G E F G

24. 孩子兄弟表示法 data firstChild nextSibling

25. 二叉树的存储结构 一、二叉树的顺 序存储表示 二、二叉树的链 式存储表示

26. 顺序存储表示 完全二叉树的 一般二叉树的 数组表示 数组表示

27. 0 A 2 1 B D 6 4 E C 13 F 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A B D C E F

28. 由于一般二叉树必须仿照完全二叉树那样存储，可能会浪费很多存储空间，单支树就是一个极端情况由于一般二叉树必须仿照完全二叉树那样存储，可能会浪费很多存储空间，单支树就是一个极端情况 单支树

29. 二叉链表 root 结点结构 lchild data rchild A   B D    C E   F

30. 链表表示

32. 三叉链表 结点结构 root parent lchild data rchild  A   B D    E C   F

33. 二叉链表的静态结构

34. 二叉树遍历 (Binary Tree Traversal)

35. 问题的提出 顺着某一条搜索路径巡访二叉树 中的结点，使得每个结点均被访问一 次，而且仅被访问一次 “访问”的含义可以很广，如：输出结 点的信息等

36. “遍历”是任何类型均有的操作， 对线性结构而言，只有一条搜索路 径(因为每个结点均只有一个后继)， 故不需要另加讨论。而二叉树是非 线性结构，每个结点有两个后继， 则存在如何遍历即按什么样的搜索 路径遍历的问题

37. 对“二叉树”而言，可以有三条搜索路径 1．先上后下的按层次遍历 2．先左（子树）后右（子树）的遍历 3．先右（子树）后左（子树）的遍历

38. 设 访问根结点 记作 V 遍历根的左子树 记作 L 遍历根的右子树 记作 R 则可能的遍历次序有 前序 VLR 逆前序 VRL 中序 LVR 逆中序 RVL 后序 LRV 逆后序 RLV 层次遍历

39. 前序遍历 (Preorder Traversal) • 若二叉树为空，则空操作 • 否则 • 访问根结点(V) • 前序遍历左子树(L) • 前序遍历右子树(R) 遍历结果 - +a*b -c d/ e f

40. 中序遍历 (Inorder Traversal) • 若二叉树为空，则空操作 • 否则 • 中序遍历左子树(L) • 访问根结点(V) • 中序遍历右子树(R) 遍历结果a+b*c-d-e /f 表达式语法树

41. 后序遍历 (Postorder Traversal) • 若二叉树为空，则空操作 • 否则 • 后序遍历左子树(L) • 后序遍历右子树(R) • 访问根结点(V) 遍历结果 a b c d- * +e f/-

42. 层次遍历(Levelorder Traversal) 从上到下，从左到右 遍历结果 - ＋／a*e f b -cd

43. 按给定的表达式建相应二叉树 由前缀表达式建树 例如: -×+abc/de 由中缀表达式建树 例如：(a+b)×c–d/e 由后缀表达式建树 例如： ab+c×de/-

44. 对应前缀表达式 -×+abc/de 的二叉树 - × / + c d e 特点： 操作数为叶子结点 运算符为分支结点 a b

45. 对应中缀表达式 (a+b)×c-d/e 的二叉树 - × / + c d e 特点： 操作数为叶子结点 运算符为分支结点 a b

46. 对应后缀表达式 ab+c×de/- 的二叉树 - × / + c d e 特点： 操作数为叶子结点 运算符为分支结点 a b

47. 分析表达式和二叉树的关系 a+b (a+b)×c × + + c b a b a a+b×c (a+b)×c – d/e - + × / a × + c d e b c a b

48. 二叉树的计数 　　由二叉树的前序序列和中序序列可以唯一地确定一棵二叉树 　　由二叉树的后序序列和中序序列可以唯一地确定一棵二叉树 　　由二叉树的前序序列和后序序列不可唯一地确定一棵二叉树

49. 由二叉树的先序和中序序列建树 　仅知二叉树的先序序列“abcdefg” 不能唯一确定一棵二叉树， 如果同时已知二叉树的中序序列“cbdaegf”，则会如何？ 二叉树的先序序列 根 左子树 右子树 二叉树的中序序列 根 左子树 右子树

50. a b c d e f g 先序序列中序序列 a b c d e f g c c b d a e g f b d a e g f a b e ^ c d f ^ ^ ^ ^ ^ g ^ ^