第五章弹性力学问题的建立

第五章弹性力学问题的建立 弹性力学

目录 §5.1 弹性力学的基本方程及其边值问题 §5.2 位移解法 §5.3 应力解法 §5.4 弹性力学的一般定理

§5.1 弹性力学的基本方程及其边值问题 (1)平衡微分方程：内力与外力的关系（3个）

（2）几何方程：位移与应变的关系（6个）

应变协调方程

（3）物理方程：应力与应变的关系（6个）

（4）边界条件和初始条件 当物体处于平衡状态时,其内部各点的应力状态应满足平衡微分方程；在边界上应满足边界条件。按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和混合边界问题。

若物体表面的面力分量为Fsx、Fsy和Fsz已知 则面力边界条件为：若物体表面的位移已知，则位移边界条件为若物体部分表面面力和部分表面位移已知，则为混合边界条件

弹性力学的边值问题 （偏微分方程的边值问题） a)第一类边值问题已知弹性体内的体力和其表面的面力分量为Fsx、Fsy和Fsz，求解应力及位移。 b)第二类边值问题已知弹性体内的体力分量以及表面的位移分量，边界条件为位移边界条件。 c)第三类边值问题已知弹性体内的体力分量，以及物体表面的部分位移分量和部分面力分量，边界条件在面力已知的部分，为面力边界条件，位移已知的部分为位移边界条件。称为混合边界条件。

§5.2 位移解法 位移——应力——位移方程选取位移函数作为基本未知量求解的方法称为位移解法。几何方程位移——应变物理方程应变——应力边界条件： a)若位移边界条件，则可以直接应用 b)若应力边界条件，则要转化之后代入应力边界条件表达式位移分量求解后，可通过几何方程和物理方程求出相应的应变分量和应力分量。

§5.3 应力解法 按位移求解平面问题时，必须求解联立的两个二阶偏微分方程，这在数学上是相当困难的。而按应力求解弹性力学平面问题，则避免了这个困难，故更多采用的是按应力求解。按应力求解时，以应力分量为基本未知函数，由一些只包含应力分量的微分方程和边界条件求出应力分量以后，再用物理方程求出形变分量，从而用几何方程求出位移分量。 11

1消去位移 几何方程 3消去应变 2代入物理方程应变协调方程应力协调方程按应力求解时，应力分量需满足协调方程，应力协调方程的推导过程如下所示：

常体力情况下的应力协调方程：

按应力求解弹性力学问题可归结为在给定边界条件下求解平衡微分方程和以应力表示的协调方程。若为多连通物体，则相应的位移分量需满足位移单值条件。按应力求解弹性力学问题可归结为在给定边界条件下求解平衡微分方程和以应力表示的协调方程。若为多连通物体，则相应的位移分量需满足位移单值条件。

§5.4 弹性力学的一般定理 解的叠加原理—— 小变形线弹性条件下，作用于物体的若干组载荷产生的总效应（应力和变形等），等于每组载荷单独作用效应的总和。非线性情况下不成立！！！

解的唯一性定理： 在小变形下，弹性体受已知体力作用。在物体的边界上，或者面力已知；或者位移已知；或者一部分面力已知，另一部分位移已知。则弹性体平衡时，体内各点的应力和应变是唯一的，对于后两种情况，位移也是唯一的。

圣维南原理： 把物体一小部分上的面力变换成分布不同但静力等效的面力，只影响近处的应力分布，而不影响远处的应力。该原理又称为局部性原理。换言之，若一小部分边界作用着平衡力系，则此平衡力系只在近处产生显著应力，而对远处的影响可忽略不计。

THE END

第五章 弹性力学问题的建立