Comportarea pământului sub sarcini

Comportarea pământului sub sarcini Modele matematice pentru corpuri deformabile

Modele matematice pentru corpuri deformabile: Modelul corpului perfect elastic Modelul corpului vâscos Modele corpurilor vâsco-elastice Modele corpurilor neelastice Influenţa anizotropiei asupra stării de tensiune

Modele matematice pentru corpuri deformabile Comportarea corpurilor deformabile sub acţiunea forţelor, pune în evidenţă raporturile cauzale dintre forţe şi deformaţii, în multe situaţii, având un caracter foarte complex. Pentru un acelaşi corp; mărimea şi dezvoltarea deformaţiilor produse de un sistem de acţiuni depind de identitatea şi variaţia acţiunilor, de forma probei, de timp. Pentru simplificarea fenomenelor s-au pus în evidenţă câteva scheme simple de comportare, uşor explicabile în limbaj matematic. Se ajunge, astfel, la introducerea modelelor mecanice (matematice) a unor copuri ideale. În acest capitol se vor prezenta modelele matematice ale corpurilor cu comportare perfect elastice, vâscoasă, plastice, ele constituind elementele de bază pentru analiza celor mai complexe scheme.

Modelul corpului perfect elastic Prin definiţie, corpul perfect elastic, independent de intensitatea sau natura acţiunii, revine la forma iniţială odată cu îndepărtarea acesteia. Deci între mărimea deformaţiei, definite într-un mod oarecare, şi intensitatea solicitării există o relaţie liniară, elasticitatea este şi ea liniară. Acest din urmă corp este cel mai frecvent întâlnit în practică şi este denumit corpul Hooke. Prin anagrama “ut tensio sic vis”, publicată în R. Hooke în 1678, asupra primului model de solid deformabil, modelul hooke. Legea lui Hooke: , , (1.) unde: este tensiunea normală; - deformaţia specifică liniară; E - modulul lui Young de elasticitate longitudinală.

Modelul corpului perfect elastic Modelul mecanic al acestui corp este resortul elicoidal sau simbolic modelul Hooke, fig.1. Acest model este complet lipsit de „memorie”. În orice moment starea sa este complet independentă de ceea ce s-a petrecut anterior atât la încărcare, cât şi la descărcare. Fig. 1. Modelulcorpului perfect elastic

Modelul corpului vâscos Prin definiţie, corpul perfect vâscos se deformează continuu sub acţiunea forţelor, deformaţia care ia naştere păstrându-se integral după îndepărtarea cauzei care a produs-o. În această categorie sunt cuprinse lichidele cu frecare internă denumite lichide newtoniene. Modelul mecanic al acestui corp la care deformaţiile sunt proporţionale cu acţiunile este alcătuit dintr-un amortizor, fig.2. (un corp de pompă cu un lichid vâscos în intermediul căruia poate glisa un piston perforat). Fig. 2. Modelul Newton Acest model este numit modelul Newton (relaţiile liniară între tensiune şi viteza de deformaţie). Legea acestui model este: , (2.) unde este un coeficient de vâscozitate.

Modele corpurilor vâsco-elastice Cu toate că aditivitatea deformaţiilor elastice cu cele vâscoase este lipsită de sens la nivel microscopic, ea s-a dovedit extrem de utilă la nivel macroscopic. În felul acesta ia naştere modelul Kelvin (sau Voigt), prin legarea în paralel a unui model Hooke cu un model Newton, fig. 3. Fig. 3. Modelul Kelvin-Voigt Legea constitutivă a acestui model este următoarea: , (3.) unde parametrul t* reprezintă timpul de fluaj sau timpul de întârziere şi se calculează cu relaţia: (4.)

Modele corpurilor vâsco-elastice În analog, prin legarea în serie a unui model Hooke cu un model Newton se obţine un model Maxweel, fig. 4, căruia îi corespunde legea: (5.) Aici t* se numeşte timpul de relaxare. Fig.4. Modelul Maxwell

Modele corpurilor vâsco-elastice Un model calitativ superior este modelul Kelvin generalizat, obţinut prin gruparea în serie a „n” modele Kelvin simple, fig.5., cu timpi de întârziere: .. , (6.) Fig. 5. Modelul Kelvin generalizat Deformaţia specifică totală este dată de expresia: , (7.) în timp ce în fiecare element avem aceiaşi tensiune normală: .. . (8.)

Modele corpurilor vâsco-elastice Dacă combinarea în paralel „n” modele Maxweel simple se obţine modelul Maxweel generalizat, fig.6. Fig. 6. Modelul Maxweel generalizat Tensiunea totală va fi dată de relaţia: (9.) Cu timpii de relaxare: , . (10.)

Modele corpurilor vâsco-elastice Se pot constitui şi modele cu trei parametri. Un astfel de model se obţinute prin legea în serie a unui model Hooke cu un model Kelvin, fig.7. Fig. 7. Modelul combinat Hooke-Kelvin Legea constitutivă este : (11.) unde . (12.)

Modele corpurilor vâscoelastice Un alt model se obţine prin legarea în paralel a unui model Hooke ca un model Maxweel. Acest nou model, fig. 8. se numeşte model Zener. Fig. 8. Modelul Zener Legea constitutivă are forma: (13.)

Modele corpurilor vâsco-elastice Prin gruparea în serie a unui model Newton cu un model Kelvin, fig. 9, se obţine un model a cărui lege constitutivă are forma: (14.) Fig.9. Modelul combinat Newton-Kelvin

Modele corpurilor vâsco-elastice Legea constitutivă a modelului obţinut prin gruparea în paralel a unui model Newton cu un model Maxweel, fig.10., este de forma: (15.) Fig.10. Modelul combinat Newton-Maxweel

Modele corpurilor vâsco-elastice Modelul Burgers este des folosit în mecanica corpurilor deformabile, fig.11. Se obţine prin legarea în serie a unui model Maxweel cu un model Kelvin. Fig.11. Model Burges Legea constitutivă a acestui model este următoarea: (16.)

Modele corpurilor neelastice Modelul corpului perfect plastic (plastic rigid), fig.12. Un astfel de material prezintă o curbă caracteristică o dreaptă paralelă cu axa deformaţiilor specifice. Modelul mecanic este reprezentat printr-un rigid care alunecă cu frecare pe un plan orizontal de sprijin. Când forţa P atinge valoarea maximă a frecării de lunecare, corpul se pune în mişcare, luând naştere o deplasare , ceea ce corespunde limitei de elasticitate . Acest model, astfel definit, se numeşte modelul Sant-Venant. Fig.12. Modelul Saint-Venant (perfect plastic) Legea constitutivă a modelului are forma: , (17.)

Modele corpurilor neelastice Prin legarea în serie a unui model Hooke cu un model Saint-Venant, se obţine modelul corpului plastic rigid/liniar ecruisabil, fig.13. Fig.13. Modelul corpului plastic rigid/liniar ecruisabil Modulul de ecruisare este chiar modelul de elasticitate E1, al resortului modelul Hooke. Legea constitutivă a modelului are forma: (18.)

Modele corpurilor neelastice Tot din categoria modelelor neelastice face parte şi modelul corpului elasto-perfect plastic, fig. 14. Acest model se obţine prin legarea în serie a unui model Hooke. Fig.14. Modelul corpului elasto-perfect plastic Legea constitutivă a modelului are forma: (19.)

Modele corpurilor neelastice Modelul corpului elasto-perfect/liniar ecruisabil, fig.15. Acest model se obţine prin legea în paralel a modelului Hooke cu modelul elasto-plastic. Legea constitutivă a modelului este: (20.) Fig.15. Modelul corpului elasto-perfect plastic / liniar ecruisabil

Influenţa anizotropiei asupra stării de tensiune Un corp elastic se numeşte izotrop dacă proprietăţile sale elastice sunt identice pentru toate direcţiile şi anizotrop dacă aceste proprietăţi pentru diferite direcţii sunt diferite. Un corp elastic se numeşte omogen daca proprietăţile sale elastice sunt identice pentru toate direcţiile paralele duse prin diferite puncte alese arbitrare. Această diferenţă este echivalentă cu condiţia ca toate elementele paralelipipedice dreptunghice identice cu feţele laterale, duse în orice punct al corpului elastic, să aibă proprietăţi elastice identice. Dacă corpul în structura sa prezintă o simetrie internă, atunci şi în proprietăţile sale elastice se constată o simetrie denumită în general simetrie elastică, manifestată prin aceia că în fiecare punct al corpului se pot identifica direcţia denumite echivalente pentru care proprietăţile elastice sunt identice. Asemenea simetrii elastice posedă cristalele.

Cazul corpului izotrop (simetrie generală) Orice plan este un plan de simetrie elastică şi orice direcţie, o direcţie principală elastică. Ecuaţiile fizice (numite şi ecuaţii de elasticitate) exprimă legea lui Hooke generalizată, sunt: La schimbarea sistemului de referinţă, sistemul de ecuaţii fizice nu se schimbă deoarece constantele elastice E şi îşi păstrează valorile.

Cazul unui corp elastic omogen având anizotropie generală, lipsită de orice simetrie elastică Legea lui Hooke generalizată poate fi exprimată într-un sistem de referinţă ortogonal x, y, z sub următoarea formă: În care sunt constante elastice (moduli de elasticitate) din care distincte în general sunt 21, care se determină pe cale experimentală. În cazul existenţei unei anumite simetrii elastice între unii coeficienţi se pot exprima relaţii de dependenţă, iar alţi se anulează. Trecerea de la un sistem de referinţă la altu anterior valorii noi de coeficienţi .

Cazul planului de simetrie elastic (problema anizotropiei) Presupunând că în fiecare punct al corpului se găseşte un plan constituind planul de simetrie a două direcţii oarecare care să fie echivalente din punct de vedere elastic şi orientând axa z normală la acest plan, ecuaţiile de mai sus devin: Deoarece: Numărul constantelor s-a redus la 13.

Cazul a trei plane de simetrie elastică (problema anizotropiei) Numărul constantelor care ilustrează proprietăţile elastice ale corpului sunt 9, prin fiecare punct trec trei direcţii principale de elasticitate. Un astfel de corp se numeşte ortogonal-anizotrop sau ortotrop. Un element, paralelipiped dreptunghic detaşat dintr-un astfel de corp prin plane paralele cu panele de simetrie elastică, după o solicitare la întindere sau compresiune, după una din axe rămâne paralelipiped dreptunghic. Scris funcţie de E, şi G sistemul de ecuaţii arată:

Cazul a trei plane de simetrie elastică (problema anizotropiei) Unde în relaţiile anterioare: E1, E2, E3 – modulii de elasticitate la întindere (compresiune) pe direcţiile principale elastice x, y, z; - coeficientul lui Poisson reprezentând scurtarea pe direcţia y când se produce o alungire pe direcţia x; - coeficientul lui Poisson reprezentând scurtarea pe direcţia x când se produce o alungire pe direcţia y; G23,G13,G12 – moduli de elasticitate transversală, ilustrând modificarea unghiului dintre direcţiile principale yz, xz, xy. Din motive energetice:

Cazul izotropiei plane Dacă prin fiecare punct al unui corp trece un plan în care toate direcţiile sunt echivalente din punct de vedere al proprietăţilor elastice, atunci legea lui Hooke generalizată într-un sistem de referinţă cu axa z normală la acest plan devine: Constantele elastice se reduc la 15. Corpul se bucură de o anizotropie denumită de A. Love anizotropie transversală.

Cazul izotropiei plane Direcţia normală la planul de izotropie şi toate direcţiile în acest plan sunt direcţii principale elastice. Folosind E, şi G ecuaţiile fizice devin: în care: E – modulul de elasticitate după o direcţie în planul izotropic; E/ - modulul de elasticitate după o direcţie normală în planul izotropiei; – coeficientul lui Poisson în planul izotropie; ν/ – coeficientul lui Poisson ilustrând scurtarea în planul izotropie când se produc lungiri pe o direcţie normală la acest plan; - modulul de elasticitate transversal în planul de izotropie; G/ - modulul de elasticitate transversal ilustrând modificarea unghiului dintr-o direcţie aflată în planul de izotropie şi una normală pe acest plan.

Cazul izotropiei plane În mod firesc pământurile se includ în două categorii de anizotropie şi anume: • cazul proprietăţilor mecanice diferite în spaţiu după mai multe direcţii; • cazul terenurilor stratificate, caracterizate prin proprietăţi mecanice diferite. În ultima categorie de anizotropie se pot cita: turba, pământ îngheţat care conţine lentile de gheaţă, loessul; iar din cea de a doua categorie cităm: pământ ce reazemă pe stâncă, pământ îngheţat, argile cu straturi de nisip, teren îngheţat acoperit cu un teren neîngheţat. S-a observat că starea de eforturi unitare depinde de unghiul format de linia de acţiune a forţei şi axele de anizotropie, şi de sensul ei, şi că de-a lungul direcţiei valorii maxime a modulului de elasticitate are loc o concentrare de eforturi unitare, iar după direcţia minimă răspândirea lor. În general în pământuri datorită existenţei sarcinii geologice compresibilitatea scade cu adâncimea. Pentru rezolvarea problemei Grifith (1929) şi Frählich (1934) au introdus în calcul un coeficient denumit factor de concentrare J, care corectează formula pentru semispaţiul omogen şi izotrop încărcat cu o forţă concentrată. La introducerea factorului se neglijează condiţiile de echilibru static în orice secţiune orizontală.

Cazul izotropiei plane Relaţiile deduse, au un caracter semiempiric, dar foarte utile într-o primă aproximaţie: Valorile ν, corespund anumitor cazuri particulare şi anume: Pentru ν =3, se obţine ecuaţia teoriei elasticităţii (material omogen şi izotrop). Pentru ν =4, corespunde unui material la care modului de deformaţie creşte cu adâncimea. Pentru ν =6, corespunde situaţiei în care a avut loc dezvoltarea completă a deformaţiei plastice. Cu cât valoarea factorului de concentrare este mai mare cu atât valoarea tensiunilor ar fi mai mare pe linia de acţiune a forţei, stingerea lor făcându-se mai repede lateral acestei forţe, după cun se vede şi în figură.

Cazul izotropiei plane

Comportarea pământului sub sarcini