二、函数的极限

1. 二、函数的极限

2. 1. x→+∞时函数的极限 [定义] 设函数y＝f(x)，如果当x→+∞时，函数值f(x)无限趋近于某常数A，则称A是当x趋于正无穷时函数y＝f(x)的极限，记作 ＝A或f(x)→A (x→+∞) 上例可表示为： 又如： ， 。

3. 2. x→-∞时函数的极限 [定义] 对于函数y＝f(x)，如果当 x→-∞时，f(x)无限趋近于某常数A，则称A是当x趋于负无穷时函数y＝f(x)的极限,记作 ＝A或f(x)→A (x→-∞) 上例可表示为： 又如： ， 。

4. 3. x→∞时函数的极限 [定义] 对于函数y＝f(x)，如果x可正可负，且|x|无限增大时，f(x)无限趋于某常数A，则称A是当x趋于无穷时函数y＝f(x)的极限,记作 ＝A或f(x)→A(x→∞) 上例可表示为： 又如： ， 。

5. [定理2.2] 当且仅当 时， 才成立， 即 成立的充分必要条件 ㈦自变量x趋于某有限值a时的函数极限 x→a的情况有两种，一种是x不断增大趋近于a，即从a的左边趋近于a，记作x→a-，另一种是x不断减小趋近于a，即从a的右边趋近于a，记作x→a+。这两种情况的结果可能不一样，特别是分段函数。 例如： x, x＜0 当x→0-时 f(x)→0 (左) f(x)＝ x＋1,x≥0 当x→0+时 f(x)→1 (右)

6. 1．x→a- 时函数的极限 [定义] 设函数y＝f(x)在点a的邻域内即a的左右(a可除外)有定义，且当x→a-时，函数值f(x)趋于常数A，则称A是当x趋近于a- 时，函数y＝f(x)的极限(左极限)，记作 2．x→a+ 时函数的极限 [定义] 设函数y＝f(x)在点a的邻域内即a的左右(a可除外)有定义，且当x→a+时，函数值f(x)趋于常数A，则称A是当x趋近于a+ 时，函数y＝f(x)的极限(右极限)，记作 函数的左极限和右极限统称为函数的单侧极限。

7. 3．x→a时函数的极限 [定义] 设函数y＝f(x)在点a的邻域内即a的左右(a可除外)有定义，且当x从a的左右两侧同时无限趋近于a时，函数值f(x)都趋近于常数A，则称A是当x趋近于a时，函数y＝f(x)的极限， 记作 [定理2.3] 当且仅当 都存在且相等时， 才存在，即 成立的充分必要条件

8. [重点提示] 求分段函数的极限的方法就是计算它在指定点的左极限和右极限是否存在并且是否相等。 例如：判断下列函数在指定点的是否存在极限 ⑴ ⑵ 解： ⑴ ∵ ， ∴ 函数在指定点的极限不存在。 ⑵ ∵ ， ∴ 函数在指定点的极限

9. ㈧函数极限的运算性质 1. 函数极限的运算性质 [定理2.4] 如果当x→a时，函数f(x)和g(x)的极限都存在， 且 , ,则有 ⑴　 ⑵ ⑶ ⑷

10. 2. 求x→∞时函数的极限举例 ⑴ ⑵　 (C为常数) 例 2.17 求当x→∞时，下列函数的极限 ⑴　　　　 ⑵　 解： ⑴ ⑵ 由此可见，求x→∞时函数的极限与求数列的 极限的方法是相同的。

11. 3. 求x→a时函数的极限举例 ⑴　 常数的极限是常数本身 ⑵　 自变量的极限是a 例 2.19 求下列极限 ⑴　　　　 ⑵　 解： ⑴ ⑵

12. [重要提示] 求极限的一般方法 ⑴直接代入法。以x=x0代入f(x)，如f(x0)有意义，则极限为f(x0) ⑵约分法。如f(x)为分式，且分子、分母可约分，约分后所得的式子g (x0)有意义，则函数极限极限为g (x0)。如例 2.19 (2) ⑶ 有理化法。如f(x)为分式，且分子、分母中其一为无理式，可将其有理化后再约分，如所得g (x0)有意义，则极限为g (x0)。如 P.101 12(3) ⑷若x→∞，f(x)为分式，分子、分母均为多项式时，可将分子、分母同除以x的最高次幂，再逐项求极限。如例 2.17

13. ㈨两个重要的极限： ⒈ e＝2.7182...是一个重要的无理数。 例 2.22 求下列极限 ⑴　　　 ⑵　 ⑶　　　 ⑷　 解： ⑴ ⑵

14. ⑶ ⑷ 如令上式中的 ，则有公式 ，也可 写成 例如:

15. ⒉ [注意] 在这个公式里x趋近于哪个数是非常重要的，x趋近于不同的数,极限是不同的。 例如， 例 2.22 求下列极限 　　⑴　　　 ⑵　 解:⑴ ⑵

16. [讲解例题] P.100 7. 9.

17. 作业: P.100 4⑵,6⑵⑶,11⑷⑸⑹,13,16