第 7 章 图

1. 第7章 图

2. 概述 • 图(Graph)是一种复杂的非线性结构。在人工智能、工程、数学、物理、化学、生物和计算机科学等领域中，图结构有着广泛的应用。    　本章先介绍图的概念，再介绍图的存储方法及有关图的算法。

3. 7.1 图的概念 • 图的二元组定义 • 有向图和无向图

4. 图的二元组定义 • 图G由两个集合V和E组成，记为：G=(V，E)其中：V是顶点的有穷非空集合，E是V中顶点偶对(称为边)的有穷集。    　通常，也将图G的顶点集和边集分别记为V(G)和E(G)。E(G)可以是空集。若E(G)为空，则图G只有顶点而没有边。

5. 1．有向图 • 若图G中的每条边都是有方向的，则称G为有向图(Digraph)。（1）有向边的表示    　在有向图中，一条有向边是由两个顶点组成的有序对，有序对通常用尖括号表示。有向边也称为弧(Arc)，边的始点称为弧尾(Tail)，终点称为弧头(Head)。  【例】<vi，vj>表示一条有向边，vi是边的始点(起点)，vj是边的终点。因此，<vi，vj>和<vj，vi>是两条不同的有向边。

6. （2）有向图的表示 下面(a)图中G1是一个有向图。图中边的方向是用从始点指向终点的箭头表示的，该图的顶点集和边集分别为：V(G1)={v1，v2，v3}      E(G1)={<v1，v2>，<v2，v1>，<v2，v3>}

7. 2．无向图 •     　若图G中的每条边都是没有方向的，则称G为无向图(Undigraph)。（1）无向边的表示    　无向图中的边均是顶点的无序对，无序对通常用圆括号表示。

8. 示例 • 【例】下面(b)图中的G2和(c)图中的G3均是无向图，它们的顶点集和边集分别为：V(G2)={v1，v2，v3，v4}    E(G2)={(vl，v2)，(v1，v3)，(v1，v4)，(v2，v3)，(v2，v4)，(v3，v4)}

9. 无向图示例 •     V(G3)={v1，v2，v3，v4，v5，v6，v7}    E(G3)={(v1，v2)，(vl，v3)，(v2，v4)，(v2，v5)，(v3，v6)，(v3，v7)}

10. 注意： • 在以下讨论中，不考虑顶点到其自身的边。即若(v1，v2)或<vl，v2>是E(G)中的一条边，则要求v1≠v2。此外，不允许一条边在图中重复出现，即只讨论简单的图。

11. 完全图 • 无向图的完全图：每二个顶点之间都有边相连：边数=n(n-1)/2，n为顶点个数 • 有向图的完全图：边数=n(n-1)，n是顶点个数。

12. 3．图G的顶点数n和边数e的关系 • （1）若G是无向图，则0≤e≤n(n-1)/2恰有n(n-1)/2条边的无向图称无向完全图(Undireet-ed Complete Graph)（2）若G是有向图，则0≤e≤n(n-1)。恰有n(n-1)条边的有向图称为有向完全图(Directed Complete Graph)。

13. 图的边和顶点的关系

14. 1.无向边和顶点关系 •  若(vi,vj)是一条无向边，则称顶点vi和vj互为邻接点(Adjacent)，或称vi和vj相邻接；并称(vi,vj)依附或关联(Incident)于顶点vi和vj，或称(vi，vj)与顶点vi和vj相关联。【例】下图G2中：      ① 与顶点v1相邻接的顶点是v2，v3和v4      ② 关联于顶点v2的边是(v1，v2)，(v2，v3)和(v2，v4)

15. 2．有向边和顶点关系 • 若<vi，vj>是一条有向边，则称顶点vi邻接到vj，顶点vi邻接于顶点vj；并称边<vi，vj>关联于vi和vj或称<vi，vj>与顶点vi和vj相关联【例】在下图G1中，关联于顶点v2的弧是<v1，v2>，<v2，v1>和<v2，v3>。

16. n个顶点的完全有向图，它的入度为多少？出度为多少？n(n-1)n个顶点的完全有向图，它的入度为多少？出度为多少？n(n-1)

17. 3．顶点的度(Degree) • （1）无向图中顶点v的度(Degree)无向图中顶点v的度(Degree)是关联于该顶点的边的数目，记为D(v)。【例】上图G2中顶点v1的度为3

18. 有向图的入度和出度 • （2）有向图顶点v的入度(InDegree)有向图中，以顶点v为终点的边的数目称为v的入度(Indegree)，记为ID(v)。【例】上图G1中顶点v2的人度为l（3）有向图顶点v的出度(Outdegree)有向图中，以顶点v为始点的边的数目，称为v的出度(Outdegree)，记为OD(v)【例】上图G1中顶点v2的出度为2

19. 注意： •   ①有向图中，顶点v的度定义为该顶点的入度和出度之和，即D(v)=ID(v)+OD(v)。

20. e与n之间的关系 • ②无论有向图还是无向图，顶点数n、边数e和度数之间有如下关系：

21. 子图 • 设G=(V，E)是一个图，若V'是V的子集，E'是E的子集，且E'中的边所关联的顶点均在V'中，则G'=(V'，E')也是一个图，并称其为G的子图(Subgraph)。

22. 有向图的子图例子

23. 无向图的子图例子

24. 注意： • 设V'={v1，v2，v3}，E'={(vl，v2)，(v2，v4)}，显然，V'属于V(G2)，E'属于E(G2)，但因为E'中序偶对(v2，v4)所关联的顶点v4不在V'中，所以(V'，E')不是图，也就不可能是G2的子图。

25. 路径 • 路径(Path)1．无向图的路径　　在无向图G中，若存在一个顶点序列vp,vi1，vi2,…，vim，vq，使得(vp，vi1)，(vi1，vi2)，…，(vim，vq)均属于E(G)，则称顶点vp到vq存在一条路径(Path)。 • 简单路径： • 2．有向图的路径    　在有向图G中，路径也是有向的,它由E(G)中的有向边<vp，vi1>，<vi1，vi2>，…，<vim，vq>组成。3．路径长度   　 路径长度定义为该路径上边的数目。

26. 5．简单回路或简单环(Cycle) • 起点和终点相同(vp=vq)的简单路径称为简单回路或简单环(Cycle)。【例】图G2中，顶点序列v1，v2，v4，v1是一个长度为3的简单环【例】有向图G1中，顶点序列v1，v2，v1是一长度为2的有向简单环。

27. 6．有根图和图的根 • 在一个有向图中，若存在一个顶点v，从该顶点有路径可以到达图中其它所有顶点，则称此有向图为有根图，v称作图的根。

28. 连通图和连通分量  

29. 1．顶点间的连通性 • 在无向图G中，若从顶点vi到顶点vj有路径(当然从vj到vi也一定有路径)，则称vi和vj是连通的。

30. 2．连通图 • 若V(G)中任意两个不同的顶点vi和vj都连通(即有路径)，则称G为连通图(Con-nected Graph)。【例】图G2，和G3是连通图。

31. 3．连通分量 无向图G的极大连通子图称为G的连通分量(Connected Component)。注意：　　① 任何连通图的连通分量只有一个，即是其自身    　② 非连通的无向图有多个连通分量。  【例】下图中的G4是非连通图，它有两个连通分量H1和H2。

32. 连通分量的例子

33. 强连通图和强连通分量 • 1．强连通图　    有向图G中，若对于V(G)中任意两个不同的顶点vi和vj，都存在从vi到vj以及从vj到vi的路径，则称G是强连通图。2．强连通分量    　有向图的极大强连通子图称为G的强连通分量。注意：    　① 强连通图只有一个强连通分量，即是其自身。    　② 非强连通的有向图有多个强连分量。

34. 例】下图中的G1不是强连通图，因为v3到v2没有路径，但它有两个强连通分量，如右图所示。例】下图中的G1不是强连通图，因为v3到v2没有路径，但它有两个强连通分量，如右图所示。

35. 网络(Network) • 若将图的每条边都赋上一个权，则称这种带权图为网络(Network)。注意：权是表示两个顶点之间的距离、耗费等具有某种意义的数。【例】下图就是一个网络的例子。

36. 网络例子

37. 7.2图的存储结构 • 　图的存储表示方法很多，这里介绍两种最常用的方法。至于具体选择哪一种表示法，主要取决于具体的应用和欲施加的操作。    为了适合用C语言描述，以下假定顶点序号从0开始，即图G的顶点集的一般形式是V(G)={v0，v1，…，Vn-1}。

38. 图的邻接矩阵表示法 • 1．图的邻接矩阵表示法    在图的邻接矩阵表示法中：　① 用邻接矩阵表示顶点间的相邻关系　② 用一个顺序表来存储顶点信息2．图的邻接矩阵(Adacency Matrix)设G=(V，E)是具有n个顶点的图，则G的邻接矩阵是具有如下性质的n阶方阵.

39. 例 • 例】下图中无向图G5和有向图G6的邻接矩阵分别为Al和A2。

40. 无向图的邻接矩阵 • 是对称矩阵 • 每条边在矩阵中出现2次 • 每和之和和每列之和相等，和代表顶点的度 • 把矩阵的各元素求和/2，边数 • 一个优点. A[2][3]==0 • 缺点：插入一个顶点，删除一个顶点，比较麻烦

41. 有向图的邻接矩阵 • 一般情况，它不是对称，如果有向图的邻接矩阵是对称的话?一个完全有向图。 • 每行之代表出度，每列之和代表入度。

42. ．网络的邻接矩 •     　若G是网络，则邻接矩阵可定义为：

43. 说明 • 其中：wij表示边上的权值；      ∞表示一个计算机允许的、大于所有边上权值的数。

44. 例

45. 4．图的邻接矩阵存储结构形式说明 • #define MaxVertexNum l00 //最大顶点数，应由用户定义typedef char VertexType； //顶点类型应由用户定义typedef int EdgeType； //边上的权值类型应由用户定义typedef struct{      VextexType vexs[MaxVertexNum]; //顶点表EdgeType edges[MaxVertexNum][MaxVertexNum];                    //邻接矩阵，可看作边表int n，e； //图中当前的顶点数和边数   }MGragh；

46. 注意： 　    ① 在简单应用中，可直接用二维数组作为图的邻接矩阵（顶点表及顶点数等均可省略）。    ② 当邻接矩阵中的元素仅表示相应的边是否存在时，EdgeTyPe可定义为值为0和1的枚举类型。    ③ 无向图的邻接矩阵是对称矩阵，对规模特大的邻接矩阵可压缩存储。    ④ 邻接矩阵表示法的空间复杂度S(n)=0(n2)。

47. 5．建立无向网络的算法。 void CreateMGraph(MGraph *G) {//建立无向网的邻接矩阵表示int i，j，k，w； scanf(“％d％d”，&G->n，&G->e)； //输入顶点数和边数for(i=0;i<G->n；i++) //读人顶点信息，建立顶点表G->vexs[i]=getchar()； for(i=0；i<G->n；i++)        for(j=0；j<G->n；j++)           G->edges[i][j]=0； //邻接矩阵初始化for(k=0；k<G->e；k++) {//读入e条边，建立邻接矩阵scanf("％d％d％d"，&i，&j，&w)； //输入边(vi,vj)上的权w        G->edges[i][j]=w；        G->edges[j][i]=w；       }    }//CreateMGraph

48. 思考题 • 有向图的邻接矩阵如何建立？

49. 练习 • 如果用邻接矩阵表示有向图，写一个算法求各个顶点的入度和出度 • void GraphDegree(MGraph G, int Indegree[MaxVexNum],int OutDegree[MaxVexNum]) • { • }

50. 图的邻接表表示法 • 图的邻接表表示法类似于树的孩子链表表示法。对于图G中的每个顶点vi，该方法把所有邻接于vi的顶点vj链成一个带头结点的单链表，这个单链表就称为顶点vi的邻接表(Adjacency List)。