Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Zespół Szkół w Opalenicy • ID grupy: • 97_71_mf_g1 • Kompetencja: • matematyczno - fizyczna • Temat projektowy: • Konstrukcje cyrklem (UGP) • Semestr/rok szkolny: • semestr 3 / rok szkolny 2010/2011

3. Spis treści • 1. Wstęp, wprowadzenie do tematu • 2. Wzajemne położenie prostej i okręgu • 3. Twierdzenie Talesa • 4. Podobieństwo trójkątów • 5. Jednokładność • 6. Izometria • 7. Inwersja • 8. Konstrukcje klasyczne • 9. Zasady konstrukcyjne • 10. Twierdzenie Wantzela • 11. Klasyczne zadania starożytnych – Trysekcja kąta

4. Spis treści c.d. • 12. Podwojenie sześcianu • 13. Kwadratura koła • 14. Najciekawsze rozwiązania przybliżone klasycznych problemów • 15. Przybliżone rozwiązanie trysekcji kąta opracowanie przez grupę projektową • 16. Twierdzenie Mohra - Mascheroniego • 17. Trójkąt foremny – konstrukcja cyrklem • 18. Kwadrat – konstrukcja cyrklem • 18. Pięciokąt foremny – konstrukcja cyrklem • 19. Sześciokąt foremny – konstrukcja cyrklem • 20. Prawdziwy problem Napoleona – wyznaczenie środka znanego okręgu samym cyrklem

5. Wprowadzenie • Konstrukcje geometryczne są podstawowym elementem tworzącym starożytną wiedzę matematyczną. Miały one w niej istotny udział będąc tym samym fundamentem dla rozwoju późniejszych obszarów wiedzy. Ich fenomen wynikał z prostoty – do uprawiania tej nauki wystarczył piasek, kij i wyobraźnia, której jak wiemy ówczesnym nie brakowało. • Dziś konstrukcje geometryczne są marginalizowane w szkole, w efekcie czego my uczniowie pozbawiani jesteśmy możliwości zetknięcia się z ich pięknem.

6. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTEJ I OKRĘGU Niech d oznacza odległość prostej l o środka okręgu O, wtedy: 1. jeżeli d > r to prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych 2. jeżeli d = r to prosta i okrąg mają jeden punkt wspólny 3. jeżeli d < r to prosta i okrąg mają dwa punkty wspólne

7. Twierdzenie Talesa • Jeżeli ramiona kąta przecięte są prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta, są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta.

8. PODOBIEŃSTWO TRÓJKĄTÓW • 1. BBB - dwa trójkąty są podobne, jeżeli trzy boki jednego trójkąta są proporcjonalne do trzech boków drugiego trójkąta,2. BKB - dwa trójkąty są podobne, gdy dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta i kąty zawarte między tymi bokami mają równe miary,3. KBK - dwa trójkąty są podobne, jeśli miary kątów jednego trójkąta są równe odpowiednim miarom kątów drugiego trójkąta.

9. JEDNOKŁADNOŚĆ • Jednokładnością o środku O i skali k nazywamy przekształcenie płaszczyzny na płaszczyznę (figury na figurę), które dowolnemu punktowi A przyporządkowuje punkt A ’ taki, że • |OA '| = k · |OA|. Dla k = 1 jednokładność jest odwzorowaniem tożsamościowym, dla k = -1 jednokładność jest symetrią środkową. Każda jednokładność jest podobieństwem o skali |k|. Dwie figury f i g są jednokładne, gdy istnieje punkt O i niezerowa skala k takie, że jednokładność przekształca figurę f na figurę g.

10. Izometria • Przekształcenie f płaszczyzny euklidesowej lub przestrzeni euklidesowej nazywa się izometrią, jeżeli zachowuje odległość dowolnych dwóch jej punktów A, B, tzn. • A*B* = AB, gdzie X* = f (X) oznacza obraz punktu X. • Każde dwa przystające odcinki są równej długości, a każde dwa przystające kąty są jednakowej rozwartości (i na odwrót: równość odcinków i miar kątów oznacza, że są one przystające). Podobnie ma się rzecz z okręgami o równych promieniach. Dowolne dwie proste i półproste są przystające. Izometrie zachowują także współliniowość punktów i ich kolejność na prostej. Ważnym niezmiennikiem izometrii jest pole i objętość figury geometrycznej.

11. inwersja • Inwersja – w geometrii rodzaj przekształcenia geometrycznego; można je sobie wyobrażać jako wywinięcie wnętrza ustalonego koła na zewnątrz i zawinięcie zewnętrza tego koła do jego wnętrza. Do kluczowych własności inwersji należą: zachowywanie kątów (nieskierowanych) oraz fakt, iż obrazami uogólnionych okręgów (tzn. okręgów lub prostych interpretowanych jako okręgi o nieskończonym promieniu) są uogólnione okręgi. • Choć inwersje można zdefiniować dla płaszczyzny euklidesowej, to naturalnym miejscem badania tych przekształceń jest płaszczyzna inwersyjna rozszerzająca płaszczyznę o punkt nienależący do niej nazywany punktem w nieskończoności .

12. Inwersja - Konstrukcja obrazu • Konstrukcja obrazu punktu A: • 1. Gdy A leży na zewnątrz okręgu – prowadzimy styczną do okręgu inwersyjnego przechodzącą przez punkt A, punkt styczności oznaczany przez B rzutuje my na półprostą OA, otrzymując punkt A’ będący obrazem inwersyjnym punktu A. • 2. Gdy punkt A leży wewnątrz okręgu – postępujemy analogicznie w przeciwną stronę • Dowód poprawności wynika z podobieństwa trójkątów OBA do OA'B, czego konsekwencją jest: • oraz

13. Inwersja - Konstrukcja obrazu punktu a B r O A’ A

14. Inwersja prostej • Obrazem prostej k w inwersji może być: • 1. Gdy prosta k przechodzi przez środek inwersyjny: ta sama prosta. • 2. W przeciwnym wypadku: okrąg przechodzący przez środek inwersyjny. .C .C’ A .B’ A’ O .B

15. INWERSJA OKRĘGU • Obrazem okręgu o w inwersji jest: • 1. Gdy okrąg przechodzi przez O – prosta. • 2. Gdy okrąg nie przechodzi przez O – okrąg (rysunek) B A A’ B’ O C’ C

16. Konstrukcje klasyczne • Konstrukcje klasyczne, to konstrukcje przy użyciu cyrkla i linijki – wspólna nazwa problemów polegających na wyznaczeniu odcinków lub kątów spełniających dane warunki jedynie przy pomocy cyrkla i linijki bez podziałki. Obydwa narzędzia są wyidealizowane – cyrkiel może być rozwarty na dowolną szerokość, a linijka jest jednostronna i ma potencjalnie nieskończoną długość. Jedyne dozwolone wykorzystanie cyrkla to kreślenie okręgów o środkach w punktach, które już są dane i promieniach równych odcinkom wyznaczonym przez dane lub już skonstruowane punkty; jedyne dozwolone wykorzystanie linijki to rysowanie (lub przedłużanie) odcinków wyznaczonych przez dane lub już skonstruowane punkty. Inne czynności są niedozwolone.

17. MOŻLIWE CZYNNOŚCI W KONSTRUKCJACH

18. Zasady konstrukcyjne • W związku z informacjami z poprzednich slajdów należy zwrócić uwagę na fakt, iż o tym czy dana konstrukcja jest możliwa nie świadczy fakt fizycznego jej wykonania dowolnymi narzędziami tylko teoretycznego dowodu jej poprawności. Tak więc okazuje się, że narzędzia to tylko elementy służące wizualizacji dla naszych teoretycznych rozważań i to właśnie one są elementem weryfikującym konstruowalność danego zagadnienia. Dla lepszego zrozumienia każdy może się zastanowić nad dowodem poprawności konstrukcji symetralnej odcinka, którą to wszyscy pamiętamy ze szkoły podstawowej.

19. Zasady konstrukcyjne c.d. • Można na to zagadnienie spojrzeć jeszcze z innej strony. Każdy z nas wie, że przecięcia prostych i okręgów (czyli to co się dzieje, w czasie kolejnych etapów konstrukcji klasycznych) można opisywać przez równania kwadratowe. Z kolei równania kwadratowe rozwiązujemy z pomocą czterech działań i pierwiastka kwadratowego. Nie może nas zatem dziwić fakt, że jeśli na osi liczbowej zaznaczone jest 0 i 1, to za pomocą cyrkla i linijki można skonstruować dokładnie te liczby, w których zapisie występują liczby całkowite, cztery działania i pierwiastek kwadratowy.

20. Twierdzenie wantzela • Twierdzenie Wantzela mówi, że: jeżeli dana liczba rzeczywista lub liczba zespolona z jest konstruowalna przy pomocy cyrkla i linijki, to z jest pierwiastkiem pewnego wielomianu nierozkładalnego o współczynnikach wymiernych, którego stopień jest potęgą liczby 2, to znaczy jedną z liczb 1, 2, 4, 8, 16 ... • Twierdzenie to w wielu przypadkach pozwala na rozstrzygnięcie niewykonalności pewnych konstrukcji za pomocą cyrkla i linijki. W szczególności bardzo prosto wynika z niego niekonstruowalność przy pomocy cyrkla i linijki starożytnych problemów podwojenia sześcianu i trysekcji kąta, a także pozwala udowodnić twierdzenie Gaussa-Wantzela, które określa warunki konstruowalności wielokąta foremnego.

21. TRYSEKCJA KĄTA • Klasyczne zadanie jakie pozostawili nam starożytni polegające na podzieleniu dowolnego kąta na trzy równe części. Zadanie tylko z pozoru wydaje się banalne. Oczywiście są kąty (np. 90̊), które potrafimy podzielić bez trudu, jednak dla zdecydowanej większości zadanie to jest niewykonalne środkami klasycznymi. W roku 1837 Pierre Wantzel udowodnił, że konstrukcja taka w ogólnym przypadku jest niewykonalna. Posługując się narzędziami matematyki uniwersyteckiej można wykazać, że dla danego kąta kąt o mierze jest konstruowalny wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian: • jest rozkładalny w ciele .

22. PODWOJENIE SZEŚCIANU – ZADANIE DELIJSKIE • Legenda mówi, że w czasie zarazy na Delos wyrocznia delficka przekazała proroctwo Apollina, że choroba ustanie, gdy jego ołtarz w świątyni w Delfach zostanie powiększony dwukrotnie. Zrozumiano to w ten sposób, że należy dwukrotnie powiększyć objętość ołtarza, zachowując jego kształt sześcianu. Klasyczne rozwiązanie problemu przy pomocy cyrkla i linijki nie jest możliwe; problem może jednak być rozwiązany przy pomocy metod nieklasycznych, na przykład konchoidografu i konchoidy Nikomedesa

23. KWADRATURA KOŁA • Kwadratura koła – problem polegający na skonstruowaniu kwadratu, którego pole równe jest polu danego koła przy użyciu wyłącznie cyrkla i linijki bez podziałki. Jest to jeden z trzech wielkich problemów starożytnej matematyki greckiej. Konstrukcja taka jest niewykonalna, co wynika z twierdzenia Wantzela oraz faktu udowodnionego w 1882 roku przez Lindemanna, iż jest liczbą przestępną. Kwadratura koła jest bezpośrednio związana z rektyfikacją okręgu; gdyby jedna z tych konstrukcji była wykonalna, wykonalna byłaby i druga.

24. Trysekcja wg archimedesa • Nie jest to jednak konstrukcja klasyczna, gdyż używa linijki z zaznaczonymi dwoma punktami.

25. PODWOJENIE SZEŚCIANU • Konstrukcja Bunofalcego. Mamy daną ścianę ABCD sześcianu o krawędzi a. Dzielimy przekątną DB na sześć równych odcinków. Na boku DA odkładamy odcinek DE (równy 1/6 długości przekątnej). Wówczas: • gdzie • Dokładność konstrukcji sięga piątego miejsca po przecinku.

26. KWADRATURA KOŁA • Konstrukcja ta jest oparta o przybliżoną rektyfikację wg A. Kochańskiego.

27. PRZYBLIŻONA TRYSEKCJA – POMYSŁ GRUPY • Pomysł grupy polega na podziale prostej prostopadłej l do dwusiecznej kąta na trzy równe części, oczywiście jest to konstrukcja przybliżona i jest ona tym dokładniejsza im mniejsza jest miara kąta. A l B D C

28. Twierdzenie Mohra-mascheroniego • Twierdzenie Mohra-Mascheroniego - mówi, że jeżeli dana konstrukcja geometryczna jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest wykonalna za pomocą samego cyrkla, pod warunkiem, że ograniczymy się do wyznaczania punktów konstrukcji, a pominiemy rysowanie linii. Wynik ten został opublikowany w roku 1672 przez Georga Mohra, był jednak nieznany aż do roku 1928. Niezależnie od Mohra twierdzenie zostało odkryte przez Lorenzo Mascheroniego w roku 1797.

29. TRÓJKĄT FOREMNY – KONSTRUKCJA CYRKLEM • Mając do dyspozycji okrąg o promieniu r, obieramy na nim w dowolnym miejscu punkt A i wykreślamy okrąg o promieniu r. Powstaną nam dwa miejsca przecięcia B1 i B2. W tych punktach wykreślamy znów dwa okręgi o promieniu r. Okręgi te przetną okrąg wyjściowy w punkcie A i W punktach C1 i C2.AC1C2 to trójkąt foremny. A B1 B2 r C1 C2

30. Kwadrat – konstrukcja cyrklem • Zadanie to znane jest też jako problem Napoleona (matematyk-amator), podobno zadał je on swoim żołnierzom jako łamigłówkę. Mamy do dyspozycji okrąg o środku O. Kreślimy okrąg o środku w dowolnym punkcie A z okręgu zawierający punkt O, przecina on nasz okrąg w punktach B i C. Następnie okrąg o środku w B zawierający O, który przecina okrąg w D i A (żółte). Należy zauważyć, że długości OA, OB, OC, OD, AB, AC ,BD są równe długości promienia. • Następnie wykreślamy okręgi o środku w D i promieniu AD oraz o środku w C i promieniu CB, które przecinają się w punkcie E (niebieskie). • Okrąg o środku w D i promieniu równym OE (zielony) przecina okrąg wyjściowy w punktach F oraz G. Czworokąt FCGD jest kwadratem, a łuki FC, CG, GD, DF okręgu są wszystkie równe czwartej części obwodu.

31. Kwadrat – konstrukcja cyrklem E A F B C O D G

32. PIĘCIOKĄT FOREMNY – KONSTRUKCJA CYRKLEM • Rysujemy cyrklem dowolny okrąg o środku A, na jego obwodzie kreślimy kolejne okręgi o tym samym promieniu wyznaczając w ten sposób punkty B, C, D, E, F, G, które stanowią wierzchołki sześciokąta foremnego. (rysunek nr 1) rysunek nr 1

33. PIĘCIOKĄT FOREMNY – KONSTRUKCJA CYRKLEM • Rysujemy dwa okręgi jeden o środku w punkcie C i promieniu CG oraz drugi o środku w punkcie F i promieniu FB (na rysunku czerwone). Jeden z punktów przecięcia się tych okręgów oznaczamy literą H. Następnie zakreślamy cyrklem okrąg o środku w punkcie C i promieniu AH (okrąg zielony), i oznaczamy literą P jeden z punktów przecięcia się tego okręgu z pierwszym narysowanym okręgiem o środku A. (rysunek nr 2) rysunek nr 2

34. PIĘCIOKĄT FOREMNY – KONSTRUKCJA CYRKLEM • Teraz zakreślamy dwa kolejne okręgi również o promieniu AH - jeden ze środkiem w punkcie B, drugi ze środkiem w punkcie D (kolor żółty). Oznaczamy literą J punkt przecięcia się tych okręgów znajdujący się w polu koła pierwszego narysowanego okręgu. (rysunek nr 3) rysunek nr 3

35. PIĘCIOKĄT FOREMNY – KONSTRUKCJA CYRKLEM • Wyznaczony odcinek PJ (rysunek nr 3) odkładamy cyrklem na obwodzie naszego pierwszego okręgu otrzymując pięć wierzchołków pięciokąta foremnego. W ten sposób wyznaczony odcinek PJ  będzie bokiem pięciokąta foremnego, który może być wpisany w pierwszy narysowany okrąg o środku w punkcie A. Natomiast odcinek AJ  będzie bokiem dziesięciokąta foremnego, który może być wpisany w tym samym okręgu. Podobnie można wyznaczyć wierzchołki dziesięciokąta foremnego odkładając na okręgu wyznaczony wyżej odcinek AJ (rysunek nr 3)

36. SZEŚCIOKĄT FOREMNY – KONSTRUKCJA CYRKLEM • Mając do dyspozycji okrąg o promieniu r, obieramy na nim w dowolnym miejscu punkt A i wykreślamy okrąg o promieniu r. Powstaną nam dwa miejsca przecięcia B1 i B2. W tych punktach wykreślamy znów dwa okręgi o promieniu r. Okręgi te przetną okrąg wyjściowy w punkcie A i W punktach C1 i C2. W C1 wykreślamy okrąg o promieniu r, który przetnie się z wyjściowym w punktach B1 i D. AB1B2C1C2D to szukana figura. A B1 B2 r C1 C2 D

37. WYZNACZANIE ŚRODKA ZNANEGO OKRĘGU • Niech okrąg W będzie okręgiem, w którym szukany jest jego środek. Punkt A jest dowolnym punktem leżącym na okręgu W. • Punkty B i B ' to punkty przecięcia okręgu o środku w A z okręgiem wyjściowym W. • Punkt C jest punktem przecięcia różnym od A dwóch okręgów o środkach w B oraz B ' i promieniu AB. • Punkty D i D ' są punktami przecięcia okręgu o środku w C i promieniu AC z okręgiem o środku w punkcie A i promieniu AB. • Punkt O jest różnym od A punktem przecięcia okręgów o środkach w D i D ' i promieniu AD. Jest to środek okręgu W.

38. WYZNACZENIE ŚRODKA ZNANEGO OKRĘGU W C B’ B O D D’ A