U.D. 9 – Geometria 2

1. U.D. 9 – Geometria 2 Le trasformazioni del piano 1 – simmetrie assiali 2 – simmetrie centrali 3 - traslazioni 4 - rotazioni 5 - isometrie 6 – correzione verifica

2. A B M r A B M Alcuni richiami Movimento rigido – è un concetto primitivo, di cui non può essere data una definizione Punto medio di un segmento – il punto che divide il segmento in due parti tra loro congruenti: AM  MB Asse di un segmento – la retta perpendicolare al segmento, che lo interseca nel suo punto medio r AB AM  MB

3. U.D. 9 – Geometria 2 1a parte: Simmetrie assiali come trasformazioni del piano

4. r P P' H Q' r P' Simmetrie assiali - 1 Def. 1 - Due punti P e P' si dicono simme-trici rispetto ad una data retta r se la retta r è asse del segmento PP'. r PP', PH  HP' P Q

5. r P' P H r Simmetrie assiali - 2 Def. 2 - Due figureF1 e F2 si dicono simmetriche rispetto ad una data retta r se ogni punto di F2 è simmetrico ri-spetto ad r di un punto di F1 e, vice-versa, ogni punto di F1 è simmetrico rispetto ad r di un punto di F2. Postulato 1 - Due figure simmetriche ri-spetto ad una retta r sono congruenti.

6. Simmetrie assiali - 3

7. Simmetrie assiali - 4 Dal postulato 1 (Due figure simmetriche rispetto ad una retta r sono congruenti) deriva una importante osservazione: Consideriamo una figura F1 ed una retta r: sarà allora possibile ottenere la figura F2 simmetrica di F1 rispetto alla retta data me-diante un movimento rigido, che (in un certo senso) permette di "trasformare" ogni punto della figura F1 in un particolare punto della figura F2. Ampliamo questo concetto: possiamo pensare di assoggettare tutti i punti del piano ad una “trasformazione” ottenuta per mezzo di un movimento rigido, tale per cui ognuno di essi viene "spostato" in modo da coincidere con il suo simmetrico rispetto ad una certa ret-ta r; in pratica possiamo pensare di far ruotare l’intero piano intorno ad un ideale “perno”, costituito proprio dalla retta r…

8. sigma Simmetrie assiali - 5 r Introduciamo pertanto la seguente defini-zione: Def. 3 - Si dice simmetria assiale o simmetria di asse r una trasformazione del piano per cui ad ogni punto P del piano stesso viene associato il suo simmetrico P' rispetto alla retta r. La retta r viene detta asse di simmetria, mentre P e P' si diranno corrispondenti nella simmetria considerata. Diremo anche che al piano è stata appli-cata una simmetria assiale. r Simbolo per indicare una simmetria di asse r:

9. r punto unito Simmetrie assiali - 6 Parlando di trasformazioni del piano, sono di particolare interesse i cosiddetti punti uniti: Def. 4 - Si dicono punti uniti di una tra-sformazione del piano quei punti che risultano corrispondenti di se stessi nella trasformazio-ne considerata. In particolare, nel caso di una simmetria assiale, risultano trasformati in se stessi quei punti che sono simmetrici di se stessi rispetto alla retta r: si osserva facilmente che sono proprio tutti e soli i punti dell'asse di simmetria r a godere di questa proprietà.

10. Simmetrie assiali - 7 • Adesso che è stato introdotto il concetto di simmetria assiale, possiamo affermare quanto segue: • - se due figure F1 e F2 sono simmetriche rispetto ad una data retta r, significa che la simmetria di asse r trasforma ogni punto di F1 in uno e un solo punto di F2 e, viceversa, ogni punto di F2 viene trasformato in uno e un solo punto di F1 • risulterà anche che ogni punto di F1 è corrispondente nella sim-metria di asse r di uno e un solo punto di F2 e viceversa. • Concludiamo questa prima parte del lavoro ricordando che vale anche il seguente: • Postulato 2 - Data una qualsiasi retta r nel piano, esiste una e una sola simmetria assiale  di asse r.

11. r P' P r' P'' Composizione di simmetrie assiali - 1 Consideriamo ora due diverse rette r ed r', e applichiamo suc-cessivamente due simmetrie  e ': se P è un punto del piano, prima determineremo il punto P' sim-metrico di P rispetto ad r e quindi determineremo il punto P'' simmetrico si P' rispetto ad r'.  ' P P' P'' Def. 5 – Una operazione come quella appena descritta si dice composizio-ne di simmetrie assiali 'o

12. r r' F' F F '' Composizione di simmetrie assiali - 2 Ciò che si ottiene dalla compo-sizione di due simmetrie assiali è ancora una simmetria assiale? Per rispondere, osservate la figu-ra a fianco e traete le dovute con-clusioni…  ' F F' F'' 'o

13. Per la prossima lezione…. • Studia gli appunti presi a lezione; rispondi inoltre ai seguenti quesiti, giustificando le tue affermazioni: • La composizione di simmetrie assiali è ancora una simmetria assiale? (rifai sul tuo quaderno l’ultimo esempio visto e rispondi a partire da quanto osserverai) • Prova, in un altro disegno, ad applicare in ordine inverso le simmetrie assiali che hai considerato nel precedente quesito: ot-tieni lo stesso “risultato”? La composizione di simmetrie assiali è, quindi, commutativa? • Alcune figure geometriche presentano delle "simmetrie": per una data figura esistono, cioè, una o più rette rispetto alle quali, applicando una simmetria assiale, si ottiene come figura trasfor-mata la figura stessa. Trova degli esempi, indicando gli “assi di simmetria”.

14. U.D. 9 – Geometria 2 2a parte: Simmetrie centrali come trasformazioni del piano

15. P' Q' Q O Simmetrie centrali - 1 Def. 7 - Due punti P e P' si dicono simme-trici rispetto ad un dato punto O se esso è il punto medio del segmento PP'. O P PO  OP' Def. 8 - Due figureF1 e F2 si dicono simmetriche rispetto ad un dato punto O se ogni punto di F2 è simmetrico ri-spetto ad O di un punto di F1 e, vice-versa, ogni punto di F1 è simmetrico rispetto a O di un punto di F2.

16. Simmetrie centrali - 2 Come nel caso delle simmetrie assiali, è possibile introdurre la se-guente definizione: Def. 9 - Si dice simmetria centrale o simmetria di centro O una trasformazione del piano per cui ad ogni punto P del piano stesso viene associato il suo simmetrico P' rispetto al punto O. Il punto O viene detta centro di simmetria, mentre P e P' si di-ranno corrispondenti nella simmetria considerata. Diremo anche che al piano è stata applicata una simmetria cen-trale. Da quanto detto circa i punti uniti di una trasformazione, si osser-va che il centro O di simmetria è l’unico punto unito per la sim-metria centrale considerata.

17. O O Simmetrie centrali - 3 Partiamo dall’osservare le seguenti figure: La simmetria di centro O è stata ottenuta componendo due simme-trie assiali, i cui assi erano perpendicolari tra loro e tali da interse-carsi proprio nel punto O…

18. a H // // P' P ~ ~ K // O b ~ P'' Simmetrie centrali - 4 Vale infatti il seguente: Teorema 1 - Ogni simmetria centrale di centro O può essere ottenuta come composizione di due simmetrie assiali, i cui assi a e b risultino tra loro perpendicolari ed incidenti nel punto O. Hp: a b a b  O a(P)  P' b(P')  P'' Th: PO  OP'' P, O, P'' allineati Corollario 1 - Per il teorema ed il postulato 1, vale che due figure simetriche rispetto ad un punto O sono congruenti Postulato 3 - Dato un punto O del piano, esiste una e una sola simmetria di centro O.

19. Per la prossima lezione…. • Studia gli appunti presi a lezione; inoltre: • Disegna un triangolo rettangolo e rappresenta quindi la figura ad esso simmetrica rispetto ad uno dei suoi vertici. • Svolgi il precedente esercizio per un trapezio scaleno. • Disegna un triangolo isoscele ed un punto ad esso esterno; rappresenta quindi la figura ad esso simmetrica rispetto a tale punto; verifica che tale figura si può ottenere anche compo-nendo due opportune simmetrie assiali. • Esistono figure geometriche che presentano delle simmetrie centrali? Prova a trovare degli esempi. • Cerca delle illustrazioni di opere artistiche ove si presentino delle simmetrie assiali o centrali (fotocopiale e incollale sul quaderno): evidenzia con il colore gli assi o i centri di sim-metria.

20. U.D. 9 – Geometria 2 3a parte: Traslazioni come trasformazioni del piano

21. s' s Traslazioni - 1 Alcune definizioni: Def. 10 - Due semirette si dicono parallele se giacciono sulla stessa retta o su due rette parallele. Def. 11 - Due semiretteparalleles ed s', si dicono concordi se, fissato un se-mipiano che abbia come retta origine una retta non parallela alle semirette considerate, contiene una parte illimi-tata di entrambe. Diremo anche che tali semirette hanno uguale verso, ov-vero che sono equiverse.

22. Ancora definizioni: Def. 12 - Un segmento AB si dice orientato (e l'ordine con cui sono scritti i suoi estremi in questo caso esprime il modo in cui è orien-tato) se lo pensiamo come una parte della semiretta che ha origine in A e passa per B; lo indicheremo con il simbolo AB; B A Traslazioni - 2 per rappresentarlo, si aggiungerà una freccia all’estremo B. Def. 13 - Due o più segmentiorientati si dicono concordi (o equiversi) quando sono le semirette di cui essi sono parte (parallele e) concordi.

23. Ora possiamo dare la definizione di traslazione: Def. 14 - Si dice traslazione una trasformazione del piano per la quale, fissato un segmento orientato AB, ad ogni punto P del pia-no viene associato un punto P' in modo che il segmento orientato PP' sia parallelo, equiverso e congruente ad AB. Una traslazione, spesso indicata con il simbolo τ (la lettera tau dell’alfa-beto greco), è quindi in-dividuata in modo unico da un segmento orientato assegnato AB (detto an-che vettore della trasla-zione). P' Q' P R' B Q R A Traslazioni - 3 τ

24. B τ ' τ C τ 'oτ A τ τ ' A B C τ 'oτ Traslazioni - 4 … è possibile che una traslazione possegga dei punti uniti? Considerato come è stata definita la traslazione, è evidente che essa non ne possiede! Si può dimostrare che la composizione di due traslazioni è ancora una traslazione (a differenza di ciò che accadeva per le simme-trie…); qui di seguito una esemplificazione: (somma di vettori secondo la regola del parallelogramma....)

25. Traslazioni - 5 Vale il seguente teorema: Teorema 2 - Ogni traslazione τ individuata da un dato segmento orientato AB può essere ottenuta come composizione di due sim-metrie assiali  e ‘ per le quali, detti r ed r' i rispettivi assi, valga che: 1) r ed r' siano paralleli tra loro; 2) la distanza d tra r ed r' sia uguale alla metà della lun- ghezza del segmento AB 3) r ed r' siano perpendicolari al segmento AB 4) il verso del segmento orientato AB coincida con quello che da r porta ad r'.

26. r r' 1) r // r' 2) d AB 3) r AB, r' AB 4) il verso del segmento orientato AB coincida con quello che da r por-ta ad r'. A B AB 2 d d Traslazioni - 6 Corollario 2 - Valendo il postulato sulla congruenza di due figure simmetriche in una simmetria assiale ed il teorema appena enun-ciato, segue che una traslazione trasforma ogni figura in una ad essa congruente.

27. Per la prossima lezione…. • Studia gli appunti presi a lezione; inoltre: • Disegna un triangolo rettangolo PQR in modo che uno dei suoi cateti sia disposto orizzontalmente. Considera quindi due rette verticali a e b: • - applica nell’ordine al triangolo PQR le simmetrie assiali a e b e ricava il triangolo traslato P'Q'R'; rappresenta il vettore della traslazione corrispondente; • - copia in un nuovo disegno il triangolo PQR e le rette a e b; applica quindi nell’ordine a PQR le simmetrie b e a: verifi-ca il risultato ottenuto e fai le tue osservazioni. • Cerca delle illustrazioni di opere artistiche ove si presentino delle traslazioni (fotocopiale e incollale sul quaderno): evi-denzia con il colore il vettore della traslazione.

28. U.D. 9 – Geometria 2 4a parte: Rotazioni come trasformazioni del piano

29. a' a A' A  O b  B B' b' Rotazioni - 1 Consideriamo: - un angolo  con vertice O: diciamo a e a'rispettivamente il primo e il secondo lato dell'angolo ; - un angolo  con vertice O: diciamo be b'ri-spettivamente il primo e il secondo lato del-l'angolo ; - una circonferenza di centro O, sulla quale sia stato fissato un orientamento. I lati degli angoli  e  intersecheranno la circonferenza in quattro punti (non neces-sariamente distinti) A e A', B e B' (con ovvio significato dei simboli). Diremo che  e  hanno lo stesso orientamento se, sulla circon-ferenza orientata, accade che A precede A' e B precede B‘ (ovvero che A segue A' e B segue B‘).

30. Rotazioni - 2 Def. 15 - Si dice rotazione una trasformazione del piano per la quale, fissato un punto O ed un angolo orientato  di vertice O, ad ogni punto P del piano viene associato un punto P' in modo che l'angolo PÔP' abbia la stessa ampiezza e lo stesso orienta-mento dell'angolo . Il punto O considerato verrà detto centro della rotazione. Per come è stata definita la rotazione, è possibile fare le seguenti: Oss. 6 - Unico punto unito di una rotazione è il suo centro. Oss. 7 - La composizione di due rotazioni aventi lo stesso centro e rispettivamente di ampiezza 1 e 2 è ancora una rotazione di centro O di ampiezza 1 + 2 ; si può anche dimostrare che, più in generale, la composizione di due rotazioni (anche di centri diversi) è ancora una rotazione.

31. r s O Rotazioni - 3 • Vale il seguente • Teorema 3 – Ogni rotazione di cen-tro O ed ampiezza  si può ottenere dalla composizione di due simmetrie assiali di assi r ed s, tali che: • - r ed s si intersecano nel punto O; • l’angolo di rotazione  è doppio dell’angolo convesso rs; • il verso di rotazione è uguale a quello che, percorrendo l’angolo convesso rs, porta da r ad s. ^ ^

32. r s  2 — O Rotazioni - 3 • Vale il seguente • Teorema 3 – Ogni rotazione di cen-tro O ed ampiezza  si può ottenere dalla composizione di due simmetrie assiali di assi r ed s, tali che: • - r ed s si intersecano nel punto O; • l’angolo di rotazione  è doppio dell’angolo convesso rs; • il verso di rotazione è uguale a quello che, percorrendo l’angolo convesso rs, porta da r ad s. Corollario 3 - Valendo il precedente postulato sulla congruenza di due figure simmetriche in una simmetria assiale ed il teorema appe-na enunciato, segue che una rotazione trasforma ogni figura in una ad essa congruente.

33. U.D. 9 – Geometria 2 5a parte: Isometrie

34. Isometrie - 1 Def. 16 - Si dice isometria una trasformazione che conserva le distanze, nel senso che, dati due punti qualsiasi del piano P e Q, i loro trasformati P' e Q' sono tali per cui PQP'Q'. Quindi c’è uno stretto legame tra i concetti di: isometria  congruenza Rivediamo insieme i legami tra congruenza e trasformazioni del piano… QUINDI: simmetrie assiali, simmetrie centrali, traslazioni e rotazioni sono tutte isometrie, poiché operano delle trasfor-mazioni del piano tali per cui, data una figura, la sua trasformata risulta congruente a quella data; ciò si verifica in particolare per i segmenti, come richiesto dalla definizione di isometria.

35. Isometrie - 2 Abbiamo visto, allora, che ognuna delle trasformazioni fin qui considerate verifica la definizione di isometria. È vero anche il viceversa, poiché vale l’importante: Teorema: qualsiasi isometria (ovvero ogni movimento rigido piano) o è una traslazione o una rotazione o una simmetria assiale o una composizione di queste trasformazioni. Addirittura, per quello che abbiamo visto nei precedenti paragrafi, possiamo enunciare il seguente: Teorema 4 - Ogni isometria o è una simmetria assiale o una composizione di simmetrie assiali.

36. rileggiamo insieme…. Post. 1 - Due figure simmetriche rispetto ad una retta r sono congruenti. (dalla diapositiva Simmetrie centrali 4) Teorema 1 - Ogni simmetria centrale di centro O può essere ottenuta come composizione di due simmetrie assiali, i cui assi a e b risultino tra loro perpendicolari ed incidenti nel punto O. Corollario 1 - Per il post. 1 ed il teo. 1, vale che due figure simmetriche rispetto ad un punto O sono congruenti. (dalla diapositiva Traslazioni 4 ) Teorema 2 - Ogni traslazione τ indivi-duata da un dato segmento orientato AB si può ottenere come composizio-ne di due opportune simmetrie assiali Corollario 2 - Per il post. 1 ed il teo. 2, vale che una traslazione trasforma o-gni figura in una ad essa congruente. (dalla diapositiva Rotazioni 3 ) Teorema 3 – Ogni rotazione di centro O ed ampiezza  si può ottenere dalla composizione di due opportune sim-metrie assiali. Corollario 3 – Per il post. 1 ed il teo. 3, vale che una rotazione trasforma ogni figura in una ad essa congruente.

37. U.D. 9 – Geometria 2 Fine