Dane INFORMACYJNE

Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: Gimnazjum nr 41 w Poznaniu, • Gimnazjum nr 1 w Szczecinie • ID grupy:98/14 G2, • 98/91 G1 • Opiekun: Elżbieta Fietz, Halina Opala • Kompetencja: matematyczno -fizyczna • Temat projektowy: Tajemnice tabliczki mnożenia • Semestr/rok szkolny: drugi semestr 2010/2011

I. Tablice matematyczne • Tablice matematyczne tozbiory wartości różnych funkcji matematycznych dla różnych wartości ich argumentów. • Najprostszym przykładem tablicy matematycznej jest tabliczka mnożenia. • Tablice matematyczne służyły ułatwianiu obliczeń matematycznych, astronomicznych, fizycznych, statystycznych itp. Obecnie, na skutek upowszechnienia się elektronicznych technik obliczeniowych, tablice matematyczne wychodzą z użytku.

II.TABLICZKA MNOŻENIA • Tabliczka mnożenia - tabelaryczny sposób zestawienia wyników mnożenia przez siebie liczb naturalnych. Najczęściej w formie kwadratowej tablicy (macierzy), w której kolejne wiersze i kolejne kolumny odpowiadają kolejnym liczbom mnożonym przez siebie, a gdzie na skrzyżowaniu wierszy i kolumn znajdują się wyniki mnożenia. Najczęściej spotykana jest tabliczka "do stu", o dziesięciu kolumnach i dziesięciu wierszach, w której na skrzyżowaniu dziesiątego wiersza i dziesiątej kolumny znajduje się wynik mnożenia 10×10=100.

TABLICZKI MNOŻENIA O RÓŻNYCH ZAKRESACH

Spotykane są także tabliczki o wymiarach większych (np. 12×12 lub 20×20), a także zestawienia wyników mnożeń liczb całkowitych w formie innej, niż kwadratowa macierz, ale na przykład w formie zestawienia. Za pomocą tabliczki mnożenia można przedstawiać wyniki działań w dowolnych skończonych strukturach algebraicznych, np. tabliczka mnożenia w pierścieniu (patrz Z modulo n):

Tabliczki mnożenia liczb otrzymane za pomocą arkusza kalkulacyjnego

Tabliczki mnożenia liczb otrzymane za pomocą arkusza kalkulacyjnego

WŁASNOŚCI TABLICZKI NNOŻENIA

III. Własności tabliczki mnożenia w zakresie od 1 do 100 • 1.Tabelaryczny układ tabliczki mnożenia w zakresie od 1 do 100.

1.1. Układ kolejnych liczb w danym wierszu jest taki sam jak układ kolejnych liczbw odpowiedniej kolumnie.

Układ kolejnych liczb w danym wierszu jest taki sam jak układ kolejnych liczb w odpowiedniej kolumnie.

1.2. Suma liczb danego wiersza jest równa sumie liczb odpowiedniej kolumny

Suma liczb danego wiersza jest równa sumie liczb odpowiedniej kolumny

1.3 Sumy liczb kolejnych wierszy są kolejnymi wielokrotnościami sumy liczb pierwszego wiersza ( liczby 55 ). • Przykłady: • 1 wiersz: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55 (1 x 55 = 55 ) • 2 wiersz: 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 = 110 ( 2 x 55 = 110 ) • 3 wiersz: 3+6+9+12+15+18+21+24+27+30 = 165 ( 3 x 55 = 165 ) • 8 wiersz: 8+16+24+32+40+48+56+64+72+80 = 440 ( 8 x 55 = 440 ) • 9 wiersz: 9+18+27+36+45+54+63+72+81+90 = 495 ( 9 x 55 = 495 )

1.4 Suma liczb kolejnych 10 wierszy równa jest liczbie 3025, która jest kwadratem liczby 55, będącej sumą kolejnych liczb pierwszego wiersza. • Przykład: 1 wiersz = 55 2 wiersz = 110 • 3 wiersz = 165 4 wiersz = 220 • 5 wiersz = 275 6 wiersz = 330 • 7 wiersz = 385 8 wiersz = 440 • 9 wiersz = 495 10 wiersz = 55 • Razem 10 wierszy = 3025 = ( 55 )2

1.5 Sumy liczb kolejnych kolumn są kolejnymi wielokrotnościami sumy liczb pierwszej kolumny ( liczby 55 ). • Przykłady: • 1 kolumna: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55 ( 1 x 55 = 55 ) • 2 kolumna: 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 = 110 ( 2 x 55 = 110 ) • 3 kolumna: 3+6+9+12+15+18+21+24+27+30 = 165 ( 3 x 55 = 165 ) • 8 kolumna: 8+16+24+32+40+48+56+64+72+80 = 440 ( 8 x 55 = 440 ) • 9 kolumna: 9+18+27+36+45+54+63+72+81+90 = 495 ( 9 x 55 = 495 )

1.6 Suma liczb kolejnych 10 kolumn równa jest liczbie 3025, która jest kwadratem liczby 55, będącej sumą kolejnych liczb pierwszej kolumny. • Przykład: 1 kolumna = 55 2 kolumna = 110 • 3 kolumna = 165 4 kolumna = 220 • 5 kolumna = 275 6 kolumna = 330 • 7 kolumna = 385 8 kolumna = 440 • 9 kolumna = 495 10 kolumna = 550 • ----------------------------------------------- • Razem 10 kolumn = 3025 = ( 55 )2

2. Własności przekątnych tabliczki mnożenia. • A. Własności przekątnej będącej osią symetrii tabliczki mnożenia i równoległych do niej. zielona przekątna tabliczki mnożenia

2.1 Zielona przekątna” tabliczki mnożenia ( poprowadzona od liczby 1 do 100 – od górnego lewego rogu tabliczki do jej dolnego prawego rogu ) jest jej osią symetrii 2.2„Zieloną przekątną” tabliczki mnożeniatworzą kolejne liczby będące kwadratami odpowiednich liczb ( n-tego wiersza lub n-tej kolumny ). • Kolejne liczby tej przekątnej tworzą ciąg liczb o wzorze • an = n2 , dla n ≥ 1 • Przykłady:a1 = 12 = 1 a6 = 62 = 36 • a2 = 22 = 4 a7 = 72 = 49 • a3 = 32 = 9 a8 = 82 = 64 • a4 = 42 = 16 a9 = 92 = 81 • a5 = 52 = 25 a10 = 102 = 100

2.3 Własności I-szych równoległych do osi symetrii tabliczki mnożenia, powstałych z kolejnych liczb stykających się z liczbami osi symetrii: dolnymi lewymi narożnikami ( oś równoległa - położona nad osią symetrii ) oraz górnymi prawymi narożnikami ( oś równoległa - położona pod osią symetrii ). • Kolejne liczby – stykające się ( narożnikami ) bezpośrednio z liczbami tworzącymi oś symetrii – tworzą równoległe do niej i są o 1 mniejsze od odpowiednich liczb osi symetrii tabliczki mnożenia. • Tworzą one szereg liczbowy o wzorze an = n2 - 1 dla n ≥ 2 • Przykłady: • 4 – 1 =3, 9 –1 = 8, 16 –1 = 15, 49 – 1 = 48, • 22 – 1= 3, 32 – 1= 8, 42 – 1= 15, 72 – 1 = 48,

żółta przekątna – pierwsza równoległa do osii symetrii zielona przekątna - oś symetrii

2.4 Własności II-gich równoległych do osi symetrii tabliczki mnożenia, powstałych z kolejnych liczb stykających się z liczbami I – szych równoległych do osi symetrii: dolnymi lewymi narożnikami ( II-ga oś równoległa - położona nad osią symetrii ) oraz górnymi prawymi narożnikami ( II-ga oś równoległa - położona pod osią symetrii ). • Kolejne liczby – stykające się ( narożnikami ) bezpośrednio z liczbami tworzącymi I-szą równoległą do osi symetrii – tworzą równoległe do niej i są o 4 mniejsze od odpowiednich liczb osi symetrii tabliczki mnożenia. • Tworzą one szereg liczbowy o wzorze an = n2 - 4 dla n ≥ 3 • an = n2 - 22 dla n ≥ 3 • Przykłady: 9 – 4 =5, 16 – 4 = 12, 25 – 4 = 21, • 32 – 4= 5, 42 – 4 = 12, 52 – 4 = 21, ,

pomarańczowa przekątna – druga równoległa do osi symetrii • żółta przekątna – pierwsza równoległa do osi symetrii zielona przekątna - oś symetrii

2.5 Własności III-cich równoległych do osi symetrii tabliczki mnożenia, powstałych z kolejnych liczb stykających się z liczbami II – gich równoległych do osi symetrii: dolnymi lewymi narożnikami ( III - cia oś równoległa - położona nad osią symetrii ) oraz górnymi prawymi narożnikami ( III - cia oś równoległa - położona pod osią symetrii ). • Kolejne liczby – stykające się ( narożnikami ) bezpośrednio z liczbami tworzącymi II-gie równoległe do osi symetrii – tworzą równoległe do niej i są o 9 mniejsze od odpowiednich liczb osi symetrii tabliczki mnożenia. • Tworzą one szereg liczbowy o wzorze an = n2 - 9 dla n ≥ 4 • an = n2 - 32 dla n ≥ 4 • Przykłady: 16 – 9 =7, 25 – 9 = 16, 36 – 9 = 27, • 42 – 9= 7, 52 – 9 = 16, 62 – 9 = 27,

brązowa przekątna – trzecia równoległa do osi symetrii • pomarańczowa przekątna – druga równoległa do osi symetrii • żółta przekątna – pierwsza równoległa do osi symetrii zielona przekątna - oś symetrii

2.6 Własności IV-tych równoległych do osi symetrii tabliczki mnożenia, powstałych z kolejnych liczb stykających się z liczbami III – cich równoległych do osi symetrii: dolnymi lewymi narożnikami ( IV - ta oś równoległa - położona nad osią symetrii ) oraz górnymi prawymi narożnikami ( IV - ta oś równoległa - położona pod osią symetrii ). • Kolejne liczby – stykające się ( narożnikami ) bezpośrednio z liczbami tworzącymi III-cie równoległe do osi symetrii – tworzą równoległe do niej i są o 16 mniejsze od odpowiednich liczb osi symetrii tabliczki mnożenia. • Tworzą one szereg liczbowy o wzorze an = n2 - 16 dla n ≥ 5 • an = n2 - 42dla n ≥ 5 • Przykłady: 25 – 16 = 9, 36 – 16 = 20, • 52 – 16 = 9, 62 – 16 = 20,

niebieska przekątna-czwarta równoległa do osi symetrii brązowa przekątna – trzecia równoległa do osi symetrii • pomarańczowa przekątna – druga równoległa do osi symetrii • żółta przekątna – pierwsza równoległa do osi symetrii zielona przekątna - oś symetrii

2.7 Własności I-szych równoległych do osi symetrii tabliczki mnożenia, powstałych z kolejnych liczb stykających się bokami z liczbami osi symetrii - przylegających do dwóch kolejnych liczb osi symetrii - (I-sza oś równoległa - położona nad osią symetrii ) oraz (I-sza oś równoległa - położona pod osią symetrii ). • Kolejne liczby – przylegające bezpośrednio do liczb tworzących oś symetrii – tworzą równoległe do niej i są równe połowie z sumy kolejnych dwóch liczb osi symetrii ( do których przylegają ) pomniejszonej o 1 . • Tworzą one szereg liczbowy o wzorze an= (( n2+( n+1)2)-1/)2 dla n ≥ 1 dla n ≥ 1 • Przykłady: • a1= (( 12+( 1+1)2)-1/)2=(( 1+4)-1)/2=2 • a2= (( 22+( 2+1)2)-1/)2 = ((4+9)-1)/2=6 • a3= (( 32+( 3+1)2)-1/)2=((9+16)-1)/2=12

szara przekątna –pierwsza równoległa do osi symetrii zielona przekątna - oś symetrii

2.8 Własności II-gich równoległych do osi symetrii tabliczki mnożenia, powstałych z kolejnych liczb stykających się wierzchołkami z liczbami I-szych osi równoległych do osi symetrii - (II-gaoś równoległa - położona nad osią symetrii ) oraz (II-ga oś równoległa - położona pod osią symetrii ). • Kolejne liczby – stykające się wierzchołkami z liczbami I-szychosi równoległych do osi symetrii – tworzą równoległe do niej i są: • równe pomniejszonej o dwa połowie z sumy kolejnych dwóch liczb osi symetrii ( do których przylegają ) pomniejszonej o 1; • o 2 mniejsze od odpowiednich ( stykających się wierzchołkami ) liczb I-szychosi równoległych do osi symetrii • Tworzą one szereg liczbowy o wzorze an= (( n2+( n+1)2)-1/)2-2dla n ≥ 2 • Przykłady: a1= (( 22+( 2+1)2)-1/)2 -2 = ((4+9)-1)/2-2=4 • a2= (( 32+( 3+1)2)-1/)2-2=((9+16)-1)/2-2=10

stalowa przekątna –druga równoległa do osi symetrii • szara przekątna –pierwsza równoległa do osi symetrii zielona przekątna - oś symetrii

2.9 Własności III-cich równoległych do osi symetrii tabliczki mnożenia, powstałych z kolejnych liczb stykających się wierzchołkami z liczbami II-gich osi równoległych do osi symetrii - (III-cia oś równoległa - położona nad osią symetrii ) oraz(III-cia oś równoległa - położona pod osią symetrii ). • Kolejne liczby – stykające się wierzchołkami z liczbami II–gichosi równoległych do osi symetrii – tworzą równoległe do niej i są: • równe pomniejszonej o sześć połowie z sumy kolejnych dwóch liczb osi symetrii ( do których przylegają ) pomniejszonej o 1; • o 4 mniejsze od odpowiednich ( stykających się wierzchołkami ) liczb II-gich osi równoległych do osi symetrii • Tworzą one szereg liczbowy o wzorze an= (( n2+( n+1)2)-1/)2-6dla n ≥ 3 • Przykłady: a1= (( 32+( 3+1)2)-1/)2 -6= ((9+16)-1)/2-6=6 • a2= (( 42+( 4+1)2)-1/)2-6=((16+25)-1)/2-6=14

fioletowa przekątna- trzecia równoległa do osi symetrii stalowa przekątna –druga równoległa do osi symetrii • szara przekątna –pierwsza równoległa do osi symetrii zielona przekątna - oś symetrii

2.10 Własności IV-tych równoległych do osi symetrii tabliczki mnożenia, powstałych z kolejnych liczb stykających się wierzchołkami z liczbami III-cich osi równoległych do osi symetrii - (IV-ta oś równoległa - położona nad osią symetrii ) oraz (IV-ta oś równoległa - położona pod osią symetrii ). • Kolejne liczby – stykające się wierzchołkami z liczbami III-cich osi równoległych do osi symetrii – tworzą równoległe do niej i są: • równe pomniejszonej o dwanaście połowie z sumy kolejnych dwóch liczb osi symetrii ( do których przylegają ) pomniejszonej o 1; • o sześć mniejsze od odpowiednich ( stykających się wierzchołkami ) liczb III-cichosi równoległych do osi symetrii • Tworzą one szereg liczbowy o wzorze an= ((( n2+( n+1)2)-1))/2-12dla n ≥ 4 • Przykłady: a1= (( 42+( 4+1)2)-1/)2 -12= ((16+25)-1)/2-12=8 • a2= (( 52+( 5+1)2)-1/)2-12=((25+36)-1)/2-12=18

fioletowa przekątna- trzecia równoległa do osi symetrii stalowa przekątna –druga równoległa do osi symetrii • szara przekątna –pierwsza równoległa do osi symetrii • niebieska przekątna – czwarta równoległa do osi symetrii zielona przekątna - oś symetrii

B. Własności przekątnej tabliczki mnożenia ( od 1 do 100 ) poprowadzonej z dolnego lewego narożnika w kierunku górnego prawego narożnika ( od liczby 10 do liczby 10 ) - czerwonej przekątnej • czerwona przekątna tabliczki mnożenia zielona przekątna tabliczki mnożenia

2.11 Kolejne liczby czerwonej przekątnej rozłożone są symetrycznie względem osi symetrii tabliczki mnożenia – zielonej przekątnej. Przykład:- 10, 18. 24, 28, 30, \, 30, 28, 24, 18, 10 - 2.12 Suma kolejnych liczb tej przekątnej tabliczki mnożenia równa jest 4-krotności sumy I-szego wiersza lub I-szej kolumny i wynosi 220. • Przykład: 10 + 18 + 24 + 28 + 30 + 30 + 28 + 24 + 18 + 10 = 220 • 4 x 55 ( suma liczb I-szego wiersza lub I-szej kolumny ) = 220

3. Zależności występujące między 4 liczbami w tabliczce mnożenia – w utworzonych z tych liczb kwadratach ( z dwóch kolejnych wierszy i odpowiednio dwóch kolejnych kolumn ). 3.1 Iloczyny liczb ułożonych po przekątnych są sobie równe równe. 4*9=6*6=36 • 24*35=28*30 =840 • 40*54=48*45=2160

3. 2. Odpowiednie ilorazy liczb są sobie równe. a) w kolumnach • 4/6=6/9≈0,67 6/4=9/6=1,5 • 24/30=28/35=0,8 30/24=35/28=1,25 • 40*54=48*45=2160 • 45/40=54/48=1,125

3. 2. Odpowiednie ilorazy liczb są sobie równe. b) W wierszach • 4/6=6/9≈0,67 6/4=9/6=1,5 • 24/28=30/35≈0,86 28/24=35/30≈1,17 • 40*48=45*54≈0,83 48/40=54/45=1,2

4. Zależności występujące między 9 liczbami w tabliczce mnożenia – w utworzonych z tych liczb kwadratach ( z trzech kolejnych wierszy i odpowiednio trzech kolejnych kolumn ). 4.1 Iloczyny trzech kolejnych liczb wziętych po przekątnych są sobie równe. 4*9*16=8*9*8=576 24*36*50=30*36*40=43200

4.2 Liczba środkowa jest średnią arytmetyczną liczb przyległych do niej ( liczby o jeden od niej mniejszej i o jeden od niej większej ) a) W kolumnie (4+8)/2=12/2=6 (6+12)/2=18/2=9 (8+16)/2=24/2=12 (24+30)/2=54/2=27 (32+40)/2=72/2=36 (40+50)/2=90/2=45

4.2 Liczba środkowa jest średnią arytmetyczną liczb przyległych do niej ( liczby o jeden od niej mniejszej i o jeden od niej większej ) b) W wierszu (4+8)/2=12/2=6 (6+12)/2=18/2=9 (8+16)/2=24/2=12 (24+40)/2=64/2=32 (27+45)/2=72/2=36 (30+50)/2=80/2=40

4.3 Suma kolejnych 3 liczb środkowej kolumny równa jest sumie kolejnych 3 liczb środkowego wiersza. 6+9+12=6+9+12=27 27+36+45=32+36+40=108

Dane INFORMACYJNE