第5讲质数与合数

第5讲质数与合数

概念 1、质数——只有1和本身是因数，没有其他因数(也叫约数) 2、合数——除了1 和本身之外，还有其他的因数注意：1既不是质数也不是合数

分解质因数 • 每个合数都可以分解为一系列质数的积的形式，这种过程叫做分解质因数。且这种分解的结果是唯一的。 • 分解质因数是解决数字问题的常用思路

性质 1、合数有无数个如果你愿意，可以用任何一个数产生无数个合数，比如2n (n是自然数) 2、质数也有无数个我们找出开始的几个质数：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67,…可以发现，质数逐渐稀疏，即使如此，也可以证明，质数的个数有无数个。

质数有无穷多个的经典证明 证：假设只有有限多个质数：p1，p2，…，pn , 构造一个数： N=(p1p2…pn)!+1, 则N是一个新的质数。若不然，则N是一个合数，于是N可以被p1，p2，…，pn中的某一个质数pi整除，而pi必然整除(p1p2…pn)!，因此 1=N- (p1p2…pn)!可被pi整除，矛盾！

例题 1、试判别359是不是质数分析：首先知道182<359<192,约数都是成对出现的，因此若359有一个大于18的约数，则必有一个小于18的约数，因此只要检验到18的质因数即可。用2，3，5，7，11，13，17依次试除359，发现都不是359的约数，因此359式质数。

2、求质数p,使得p+10和p+14都是质数 试验：此题看不出什么规律，因此不妨取几个数字看看，把p取值分别为2，3，5，7，11…可以发现什么？猜想：除了3 之外，后面的质数不太可能满足条件。但是，如何证明这一点？证明:把所有的整数按照被3 除的余数分类：3k,3k-1.3k+1

3、将1,2,3,…，2000这些数任意排列成为一行，得到一个数N，求证：N一定是个合数。3、将1,2,3,…，2000这些数任意排列成为一行，得到一个数N，求证：N一定是个合数。分析：这样的题目看似没有方向，我们须确定一点——其中必然隐藏了一些特点，那就是解题的关键。本题事实上用到了被3 整除的数字特征。2000个数字排列的时候，数字之和是一个不变的东西，抓住这一点即可。

4、已知三个不同的质数a,b,c满足abbc+a=2000,求a+b+c。4、已知三个不同的质数a,b,c满足abbc+a=2000,求a+b+c。分析：本题用到了分解质因数。 abbc+a=a(bbc+1)=24×53, 右边只有2 个质因数,故a=2或5

练习 1、自然数n至少含有2 个大于10的质因数，那么n的最小值是______.

2 、3599是质数还是合数？ 解：3599=3600-1=602-1 =（60+1）（60-1）=61×59 因此3599是一个合数。

3、用1、2、3、4、5任意组成一个五位数，所得的数中有几个质数？3、用1、2、3、4、5任意组成一个五位数，所得的数中有几个质数？解:因为1+2+3+4+5=15可以被3整除,因此这个五位数可以被3 整除,因此其中没有质数.

4、p是质数。 +2也是质数，则1997+ ________

5、3 个不同的质数m，n,p满足m+n=p，则mnp的最小值是_____

6、已知三个质数m,n,p的乘积等于它们的和的5 倍，则 ______ 7、2 个质数的和为1995，则它们的积是_______

8、a,b,c,d,e是5个质数，其中a<b,a<c,a<d,并且a+b+c+d=e,则a=_______8、a,b,c,d,e是5个质数，其中a<b,a<c,a<d,并且a+b+c+d=e,则a=_______

9、已知正整数p,q都是质数，且7p+q与pq+11都是质数，试求p,q的值。9、已知正整数p,q都是质数，且7p+q与pq+11都是质数，试求p,q的值。

10、(1)是否存在连续４个正整数，他们均为合数？若存在，求出其中一组最小值；若不存在，说明理由10、(1)是否存在连续４个正整数，他们均为合数？若存在，求出其中一组最小值；若不存在，说明理由 (2)写出10个连续的正整数，使其中每个都是合数 .

11、某书店积存了若干画片，按照每张5角出售，无人购买，现决定按照成本价出售，一下子全部售出，共卖了31元9角3 分，问一共有多少张画片？

第5讲 质数与合数