向量法求空间角

向量法求空间角 授课人：周驾敏

1、异面直线所成角的定义 直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，分别引直线，我们把直线和所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。异面直线所成角的范围是。由定义知，直线与平面所成的角θ∈[0， ] 3．二面角的大小：二面角的大小可用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。㈠空间角的概念 2．直线和平面所成角的定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角；特别地，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°角。二面角的范围是[0，π)

　　如图，设平面β的法向量为， 直线AO与平面所成的角为； A θ 由向量知识知两条异面直线所成的角θ，与这两条直线的两个方向（其中分别是直线上的向量） o 向量的夹角有如下关系 β ㈡.原理分析： 1、异面直线所成角向量通用公式： 2、直线和平面所成角向量通用公式：

如图1，设平面的法向量分别是 θ 则求二面角的大小可以转化为求的夹角或其补角。图1 cos< > = θ cos< > = 图2 3、用向量法求二面角的大小：如图1中，cosθ= 图2中, cosθ=

z S 解：如图建立直角坐标系， O C C（0，1，0）； O（0，0，0）； y A B S（0，0，1）， x =（-1，1，0）； =（1，1，0）； =（0，0，1）； (三).典型例题：如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC， ∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且 OS=OC=BC=1，OA=2。求： ⑴OS与面SAB所成角α ⑵二面角B－AS－O的大小 ⑶异面直线SA和OB所成的角则A（2，0，0）； B（1，1，0）；于是我们有 =（2，0，-1）；

z S O C y A B x ⑴设面SAB的法向量显然有从而令x=1，则y=1，z=2；

⑵.由⑴知面SAB的法向量 =（1，1，2） ∴ 是面AOS的法向量，令 z S O C y A B x 又∵OC⊥面AOS，则有由于所求二面角的大小等于 ∴二面角B－AS－O的大小为所以直线SA与OB所成角大小为

法向量 建系标点向量坐标计算（四）小结　用向量坐标式计算的空间角的思路及步骤：注意：找到两两垂直的三条直线建立空间坐标系，各个点的坐标要写对，计算要准确。

（五）练习： 如图，四面体ABCD中， O、E分别是BD、BC的中点，其中（ I ）求异面直线AB与CD所成角的大小；（II）求直线AE与面ACD所成角的大小；（III）求面ABD与面ACD所成角的大小

其中是异面直线上的方向向量。 其中是平面的法向量。其中分别是二面角的两个半平面的法向量。（六）、课堂小结 ⑴求异面直线所成角的公式：求线面角大小的公式：或求二面角大小的公式： ⑵用向量法求空间角回避了在空间图形中寻找线线角、线面角、二面角的平面角这一难点。体现了向量思想在立体几何中的重要地位，更体现了“借数言形”的数学思想。（七）、布置作业《金牌学子》P61考点训练1~9

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