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Teoria de Jogos e Leilões

Teoria de Jogos e Leilões. David Henriques 3º ano LMAC, IST. Jogos. Várias opções (jogadas possíveis) para cada jogador. Pagamento associado a um tuplo de jogadas (payoff). Independência e simultaneidade das jogadas. Objectivo de maximizar ganho próprio.

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Teoria de Jogos e Leilões

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Presentation Transcript

  1. Teoria de Jogos e Leilões David Henriques 3º ano LMAC, IST

  2. Jogos Várias opções (jogadas possíveis) para cada jogador Pagamento associado a um tuplo de jogadas (payoff) Independência e simultaneidade das jogadas Objectivo de maximizar ganho próprio

  3. Estratégias e Vectores de Estratégia Probabilidade de escolha de cada jogada Vector de Probabilidade: Entradas entre 0 e 1 Soma de todas as entradas igual a 1 Espaço compacto

  4. Jogadora  joga nas colunas Jogadora  joga nas colunas 0 0  vai ao futebol  vai ao futebol  vai à opera Jogador  joga nas linhas Jogador  joga nas linhas 0 1 0 4  vai à ópera  vai ao futebol  vai à ópera  vai ao futebol  vai à ópera (4,1) (0,0) (0,0) (1,4) Notação Matricial Payoffs para o jogador  Payoffs para a jogadora  4 1

  5. Valor esperado: ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Valor Esperado Com notação matricial: Jogadas independentes

  6. Uma estratégia p* para o jogador 1 diz-se melhor resposta a q* (estratégia para o jogador 2) sse para toda a outra estratégia p possível para jogador 1 se tem Um par de estratégias p*,q* (uma para cada jogador) diz-se um equilíbrio de Nash sse são melhores respostas mútuas, i.e: e Equilíbrio de Nash Melhor Resposta (a uma estratégia q*): Equilíbrio de Nash:

  7. Teorema de Nash (1951) Todo o Jogo com um número finito de estratégias puras tem pelo menos um equilíbrio de Nash Teorema do Ponto Fixo de Brouwer: Uma função contínua definida de um espaço compacto e convexo em si mesmo tem necessariamente um ponto fixo.

  8. Leilões Leilão Inglês: Incrementos finitos O jogador que licita mais alto recebe o lote e paga o preço que ofereceu. Leilão de segundo pagamento: O jogador que licita mais alto recebe o lote e paga o preço que o segundo jogador com licitação mais alta ofereceu. Leilão Holandês: Decréscimos finitos O primeiro jogador a licitar recebe o lote e paga o preço que ofereceu.

  9. Assumpções Cada jogador i valoriza o lote de forma publica em vi Cada jogador faz apenas uma licitação bi As licitações são secretas, independentes e simultâneas Sob estas condições, os 3 leilões anteriores são o mesmo jogo! (embora com payoffs diferentes)

  10. 0 0 ... 0 ... 0 ... 0 0 ... ... 0 0 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... Payoffs ...

  11. Onde as entradas não nulas corresp. a licitar v2 e v2+1 Onde yn corresponde a licitar v2-n e Onde as entradas não nulas correspondem a licitar v1-2 e v1-1 Onde as entradas não nulas corresp. a licitar v2 e v2+1 Onde as entradas não nulas corresp. a licitar v2-1 e v2 Onde as entradas não nulas corresp. a licitar v2 e v2+1 Onde yn corresponde a licitar v2-n e Onde as entradas não nulas corresp. a licitar v2 e v2+1 Equilíbrios em Leilões V1 = v2 V1 = v2+2 V1 > v2+2 V1 = v2+1

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