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Lernen und Klassifizieren AS2-2

Lernen und Klassifizieren AS2-2. Stochast . Klassifikation. Lernen linearer Klassifikation. Lernen und Zielfunktion. Lernen in Multilayer -Netzen. Backpropagation-Lernen. Das Perzeptron. Idee: Reize wiedererkennen Rosenblatt 1958. Künstliche Retina Assoziations-Schicht

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Lernen und Klassifizieren AS2-2

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Presentation Transcript

  1. Lernen und Klassifizieren AS2-2 Rüdiger Brause: Adaptive Systeme AS-2 WS 2011

  2. Stochast. Klassifikation Lernen linearer Klassifikation Lernen und Zielfunktion Lernen in Multilayer-Netzen Backpropagation-Lernen Rüdiger Brause: Adaptive Systeme AS-2 WS 2011

  3. Das Perzeptron Idee: Reize wiedererkennen Rosenblatt 1958 • Künstliche Retina • Assoziations-Schicht • Response-Schicht j X · · · y · · · R A S • Verbindungen zu A fix (zufällig): x = (x1,...,xn)T = (1(S),...,n(S))T • Stärke der Verbindungen zu R veränderbar: w = (w1,...,wn)T Rüdiger Brause: Adaptive Systeme AS-2 WS 2011

  4. Das Perzeptron Entscheiden • := {x} alle Muster,= 1 + 2 1 : Menge aller x aus Klasse 1 2 : Menge aller x aus Klasse 2 Schwelle DEF Log. Prädikat Mit den Erweiterungen x = (x1,...,xn,1)T w = (w1,...,wn,s)T wird Rüdiger Brause: Adaptive Systeme AS-2 WS 2011

  5. Das Perzeptron: Pseudo-code 3 DEF numerische Werte PERCEPT3: Wähle zufällige Gewichte w zum Zeitpunkt t:=0. REPEAT t:= t+1; w(t) = w(t–1) +(L(x) – y(x))x(t)Fehler-Lernregel UNTIL (alle x richtig klassifiziert) Sogar ohne Umdefinition der Muster aus 2! Rüdiger Brause: Adaptive Systeme AS-1, WS 2011

  6. Das Perzeptron: Konvergenz Perzeptron - Konvergenztheorem(MinskyPapert 1988) Wenn die Mustermenge ilinear separierbarist, so konvergiert der Algorithmus bei t   Problem: Wenn Klassen sich überlappen, so wird die Grenzlinie bei g = 1 immer hin und her geschoben

  7. Das Perzeptron: Zielfunktion Ziel: Verallgemeinerung der Lernregel Hier: Minimierung aller Fehlentscheidungen DEF Perzeptron-Zielfunktion „Energie“ Neuformulierung erwartetes Lernen: Gradient d.h. Stochast. Lernen

  8. Lernen durch Iteration Gradientenabstieg einer Zielfunktion R(w) w * w ) R ( w ) - ¶ R ( w ) ¶ W ( t w ( t - 1 ) w w := (w(t-1) – w(t)) ~ – wR(w(t–1)) w(t) = w(t–1) – (t) wR(w(t–1)) - 8 - Rüdiger Brause: Adaptive Systeme AS-1, WS 2009 Rüdiger Brause: Adaptive Systeme AS-2 WS 2011

  9. Was kann ein Perzeptron ? Erwartung: „Intelligente Leistungen“ durch Wahl von (S) Abbildung der Merkmale auf linear separierbare Mustermengen Perzeptronarten • diameter-limited perceptrons nur Bildpunkte aus einem begrenzten Radius • order-restricted perceptrons von maximal n (beliebigen) Bildpunkten abhängig • random perceptrons eine zufällige Auswahl aller Bildpunkte

  10. Was kann ein Perzeptron ? Topologische Prädikate, z.B. • „X ist ein Kreis“ ? • „X ist eine konvexe Figur“ ? • „X ist eine zusammenhängende Figur“ ? • ... Tatsache: keine korrekte Klassifizierung von Punktmengen X (Bildpixeln) dieser Arten Tatsache: keine korrekte Klassifizierung von Punktmengen X (Bildpixeln) dieser Arten Nur „X hat Eulerzahl E“ E(X) : = K(X) – Anzahl der Löcher Nur „X hat Eulerzahl E“ E(X) : = K(X) – Anzahl der Löcher

  11. Was kann ein Perzeptron ? Eulerzahl E E(X) : = K(X) – Anzahl der Löcher K(X) : = zusammenhängende Komponenten Loch := zusamm. Komponente der komplementären Menge K(x) = 2, Löcher = 1  E(x) = 1

  12. Was kann ein Perzeptron ? Beispiel: keine korrekte Klassifizierung von Punktmengen X (Bildpixeln) für Prädikat „X ist Typ A“ möglich mit „diameter-limited“ Perzeptron Typ A Muster 2 Muster 1 Nicht Typ A Muster 4 Muster 3

  13. Was kann ein Perzeptron ? Beweis: offen: Typ A Nicht Typ A

  14. Adaline: Aktivität Schwellwert - regler w 0 Quantisierer S(z) Ausgabe y d Summierer Regler Fehleranzeige Schalterfeld für Eingabemuster Lehrer - Schalter für gewünschte Ausgabe Rüdiger Brause: Adaptive Systeme AS-1, WS 2011

  15. Adaline: Aktivität Verlauf des Klassifizierungsfehlers für „Klasse T liegt vor“ bei Präsentationen von T,G,F und sofortiger Nachregelung Rüdiger Brause: Adaptive Systeme AS-1, WS 2011

  16. Adaline: Lernalgorithmus Minimierung des erwartetenquadratischen Fehlers R(w,L) := (z(x) – L(x))2x= (wTx – L(x))2x durch Anpassung der Parameter w(t) = w(t–1) – (t)R(w(t–1)) w(t) = w(t-1) –(t)(wTx–L(x))xstochastische Approximation w(t) = w(t–1) –(t)(wTx–L(x)) Widrow-Hoff Lernregel

  17. Übersicht: Lernen Assoziativspeicher 1. Muster xk eingespeichert wi(1) = Likxk(Hebb‘sche Regel) Perzeptron wi(t) = wi(t-1) + (Li(x)-yi)x (Fehler-Lernregel) wi(1) = (Li(xk)-yi)xk = Likxk bei wi(0) = 0  yik(0) = 0. Adaline wi(t) = wi(t-1) + (t)(L(x)-zi)x(Gradientenabstieg) wi(1) = (Li(xk)-zi)xk = Likxk bei wi(0) = 0  zik(0) = 0. Assoziativspeicher = Grundfunktion von Netzen

  18. Lernen und Zielfunktionen Lernen linearer Klassifikation Stochast. Klassifikation Lernen in Multilayer-Netzen Backpropagation-Lernen Rüdiger Brause: Adaptive Systeme AS-2 WS 2011

  19. Übersicht Lernarten • Beispiel-basiertes Lernen (example based learning, feedback learning) Gegeben: ( Eingabex, gewünschte AusgabeL) Ziel: Differenz zwischen y und L im Laufe des Lernens klein machen. • Erklärungs-basiertes Lernen (explanation based learning EBL) Gegeben: Beispielpaare,Ziel sowie Regeln, es zu erreichen. Lernen: Generalisierung der Beispiele. (regelbasierte Systeme, nicht bei neuronalen Netzen) • Score-basiertes Lernen (reinforcement learning) Gegeben: skalares Gütemaß ("gut", "schlecht", mit Abstufungen dazwischen) für Lernleistung. Lernen: ??Der Lernende muss daraus selbst sehen, was an der Ausgabe zu ändern ist. • Unüberwachtes Lernen (observation based learning, emotion based learning, similarity learning) Gegeben: keineexplizite Rückmeldung über die Güte seines Lernens Lernen: Vergleich gewünschte Auswirkungen mit beobachteten Auswirkungen. Folgerung für geeignete Verhaltensänderung.

  20. Lernen durch Iteration Modifikationen Gradientenabstieg • Taylorentwicklung f(x+Dx)= f(x) + Dx+(Dx)2 + ... R(w+w)– R(w) = wR(w)Tw + ½wTRw + ... mit R = Hesse-Matrix • Conjugate gradient R(w+w)– R(w) = (wR(w)T+ ½wTR) w = 0 löse n-dim Gleichungssystem für w

  21. t w t Lernen durch Iteration Newton-Iteration F(w) f(w) f’(w ) t f’(wt) = f(w ) = w* w w t+1 wt+1 = wt – Newton-Verfahren wt+1 = wt –

  22. (w(t)) = wR(w) < 0 Lernen durch Iteration Konvergenz des Gradientenverfahrens Es ist R(t) =Ljapunov-Funktionmit Konvergenz, wenn • R(t+1) <R(t) bzw. < 0 monoton fallend • Ex. endliches R0<R(t) für jedes t Ljapunov-Bedingung Also: Wenn dann Konvergenz Hinreichend dafür:= – wR(w) mit  > 0 weil = – (wR(w))2< 0 Mit  und t = 1ist w(t) – w(t-1) = – wR(w) Gradientenabstieg

  23. F ( w ) a | w - w * | + b w * w f ( x , w ) Stochastische Approximation Gesucht: Nullstelle einer stochast. Funktion f(x,w) = R‘(x,w) Methode 1: Alle Ereignisse x abwarten und dann F(w) = f(x,w)xbilden w(t) = w(t-1) – (t) F(w(t-1)) Methode 2: Einfach f(x,w) verwenden Robbins, Monro 1951 w(t) = w(t-1) – (t) f(w(t-1),x(t))stochastische Approximation

  24. Stochastisches Lernen Lernen mit Zielfunktion R(w) =r(w,x)x w(t) = w(t-1) - (t) w R(w(t-1)) wird ersetzt durch Lernen mit stochast. Zielfunktion r(w,x) w(t) = w(t-1) - (t) w r(w(t-1),x(t))stochastisches Lernen

  25. Stochastische Approximation Voraussetzungen das klein Gedruckte... • die Funktion F(w) := f(x,w)x ist zentriert, d.h. F(w*) = 0 • F(w) ist ansteigend, d.h. F(w<w*) < 0, F(w>w*) > 0 . • F(w) ist beschränkt mit |F(w)| < a|w-w*|+b < a,b > 0 • f(x,w) hat endliche Varianz, d.h. 2(w) = (F(w) - f(x,w))2x< • (t)verschwindet, (t)  0 • (t)wird nicht zu schnell klein= • (t) wird nicht zu groß 2 <  Dann ex. (w(t) – w*)2 = 0mittl. quadr. Konv. Robbins-Monro P( w(t) = w*) = 1Blum

  26. Stochastische Iteration: Konvergenz Beispiel Sei die Zufallsvariable x gegeben, geschätzt durch w. Abweichung bei der Schätzung ist R(w) = r(w,x)x = (w-x)2x mean squared error w(t) = w(t-1) - (t) wr(w(t-1),x(t)) stoch. Gradient w(t) = w(t-1) - (t)(w(t-1)-x(t)) Zeitabhängigkeit R(w)  R(w*) bei w  w* stoch. und erwarteter Verlauf?

  27. Stochastische Iteration: Konvergenz Stochastische Iteration wi(t) = wi(t-1) - (t)(wi(t-1)-x(t)) Behauptung Bei(t) := 1/ t ist immer w(t) = xx Beweis durch vollständige Induktion w(0)  0 Kap.2.3.2 • w(t=1) = 0 - (t)(0-x) = x = xxInduktionsverankerung Mit w(t-1) = xt-1= Induktionsvoraussetzung • giltw(t)= ... = xtInduktionsschritt q.e.d.

  28. Konvergenzverlauf x = 1

  29. Erwarteter Konvergenzverlauf RechnungAnhang D.4 • mittl. quadrat. Abweichung • ErwartungswertallerVerläufe • AbweichungdurchStandardabweichungbeschreibbar  |w* - w(t)|  = t = x / t

  30. Konvergenzverlauf Abweichung w*(t) w* = 1, x= 0,288

  31. Stochastisches Lernen Beispiel Klassentrennung wi(t) = wi(t-1) - (t)(wi(t-1)-x(t)) Behauptung Bei(t) := 1/ t ist immer w(t) = xxKlassenprototyp Beweis durch vollständige Induktion w(0)  0 Problem: xx ist abhängig von der Klassenentscheidung für x

  32. Lernen und Zielfunktionen Lernen linearer Klassifikation Stochast. Klassifikation Lernen in Multilayer-Netzen Backpropagation-Lernen Rüdiger Brause: Adaptive Systeme AS-2 WS 2011

  33. Stochastische Musterklassifikation Grundsituation der Erkennung w w Muster x 1 1 w w w w w P ( ) P ( | ) P ( | ) X X 2 i i i 2 mit P(x) . . . . . . w w empfangen M M Quelle, Sender Empfänger a priori a posteriori Notation: Mustermenge  = {x}, unterteilt in Klassen i k = "Klasse k liegt vor " Klassifikation k: P(k|x) = maxj P(j|x) Bayes-Klassifikation Wie erhaltenwirP(j|x) ? - 33 - Rüdiger Brause: Adaptive Systeme AS-2 WS 2011

  34. Stochastische Klassifikation P(j|x) = ? Bekannte Quellen Seia-priori P(j), P(x|j), P(x) bekannt und P(x, j) = P(j|x)P(x) = P(x|j)P(j) so ist P(j|x) = P(x|j)P(j) / P(x) mit P(x) = jP(x|j)P(j) Aufgabe ! UnbekannteQuellen A-posteriori P(j|x) lernen ! Zielfunktion: Messung der Klassifikationsleistung? - 34 - Rüdiger Brause: Adaptive Systeme AS-2 WS 2011

  35. Klassifikationsleistung Diagnose-Situation (Diagnose, Realität)NameWahrscheinlichkeit (D(x) =  | ) SensitivitätTP PK= P(D(x) = | ) (D(x) = | ) IgnoranzFP PI = P(D(x) = | ) (D(x) = | ) Fehlalarm FN PA= P(D(x) = | ) (D(x) = | )Spezifität FPPL= P(D(x) = | ) PK + PI = 1 FP = FRR falserejection rate PA + PL= 1 FN = FAR falseacceptance rate

  36. Klassifikationsleistung Diagnose-Situation („confusion matrix“)

  37. ROC -Kurven von Diagnosesystemen Wechselseit. Abhängigkeit Sensitivität / Spezifität Beispiel med. DiagnoseLeistung eines Diagnosesystems Receiver Operating Characteristic(ROC) Spezifität PL= f(PK) EER Sensitivität • Area UnderCurve (AUC)

  38. ROC -Kurven von Diagnosesystemen Aufgabe: Ex. einDiagnosesystemmit D(x) > c Klasse A liegtvor D(x) < c Klasse A liegtnichtvor Frage: Wiewird ROC und AUC davongemessen? Antwort: • Fürfestes c überalle x die Leistung (Pk ,PL ) messen, einenPunkt der Grafikeinzeichnen • c variieren, und jeweilsPunktzeichnen • ROC in die Punkteeinpassen, AUC davonberechnen

  39. Lernen und Zielfunktionen Lernen linearer Klassifikation Stochast. Klassifizierung Lernen in Multilayer-Netzen Backpropagation-Lernen Rüdiger Brause: Adaptive Systeme AS-2 WS 2011

  40. Das XOR-Problem Aufgabe Trennung zweier Klassen durch eine Gerade – wie ? x 0 ={ } = {(0,0), (1,1)} 2 1 1 ={ } = {(1,0), (0,1)} Klassen nicht linear separierbar! 0 0 x 1 1 Rüdiger Brause: Adaptive Systeme AS-1, WS 2011

  41. _ x y := x OR 1 1 2 _ x 1 y := OR x 2 2 y := y ANDy XOR 1 2 Þ w = w = w = w = 1/3 1 4 5 6 w = - =w 1/3 2 3 s1=s2=0, s = 1/2 Das XOR-Problem Lösung Trennung durch zweiSchichten x y= (x1 x2) negiertes XOR = (x1ORx2) AND (x1OR x2) 2 1 0 0 x 1 1 z.B. formalebinäreNeuronen • S(z>s) = 1, S(z<s) = 0 Rüdiger Brause: Adaptive Systeme AS-1, WS 2011

  42. Multilayer-Klassifikation Separierung von Klassen 1.Neuron 2.Neuron 3.Neuron

  43. Sigma-Funktion F: Fähigkeiten der Multilayer-Netzwerke Approximationsnetze Interpolation anhand von Beispielen (Stützstellen) Typ. Netz Linearkombinationen von Basisfunktionen S(.) wobei { z | z(x) = w(1)Tx+b } affine Funktionenn Sist Quetschfunktion

  44. Fähigkeiten der Multilayer-Netzwerke Satz Hornik, Stinchkombe, White 1989 Für die Funktionswerte jeder beliebigen Funktion f(x) : n von N Mustern x1.. xN ex. eine Sigma-Funktion F, so dass für alle Muster xi mit i = 1..N gilt F(xi) = f(xi) Gilt auch für Schicht {Fi} Assoziativspeicher Satz Jede beliebige, stetige Funktion f(x) in einem kompakten Intervall ("kompakte Teilmenge des n ") kann beliebig dicht(uniform dicht im Sinne der Ls-Norm in der Menge Cn aller stetigen Funktionen und p-dicht in der Menge der Borel meßbaren Funktionen) durch eine Sigma-Funktion F(x) approximiert werden Anmerkung: Gilt auch für S = stetig, begrenzt, nicht-konstant (RBF)

  45. Fähigkeiten der Multilayer-Netzwerke Frage: Wieviel Schichten muss ein Netzwerk mindestens haben, um eine beliebige Funktion beliebig gut zu approximieren? ? Antworten: • eine • zwei • drei • unendlich viele

  46. x y 1 f 1 1 x 2 y 2 f 2 y x n n Mehrschichten-Netze Fähigkeiten von Mehrschicht-Netzen nicht-linear linear Eingabe z.B. DNA, Patienten-daten, Roboter-sensoren Ausgabe z.B. Struktur, Diagnose, Roboter-bewegung • Ein 2-Schichtennetzwerk mit nicht-linearer Ausgabefunktion S(z) kann JEDE beliebige Funktion so genau wie gewünscht approximieren, wenn genügend Neuronen ex. Neuronenzahl gegeben. Lernalgorithmus=?

  47. Lernen und Zielfunktionen Lernen linearer Klassifikation Stochast. Klassifizierung Lernen in Multilayer-Netzen Backpropagation-Lernen Rüdiger Brause: Adaptive Systeme AS-2 WS 2011

  48. Backpropagation Netzarchitektur und Aktivität Eingabe hidden units Ausgabe x Gesamtaktivität

  49. (2) y (1) (2) y x = (2) (2) d L y (1) - d Backpropagation-Grundidee Netzarchitektur und Lernen Schichtweise Verbesserung durch Rückführung des Fehlers Eingabe 1.Schicht 2.Schicht Ausgabe (1) x Ausgabe hidden units units

  50. Backpropagation-Lernregel letzte Schicht wi (t+1)=wi (t) -gGradienten-Lernregel wij (t+1)=wij (t) - g (yi(wij)-L(x))stoch. Approximation mit = Lernziel: R(w*) = min E(y(w) - L(x))2min.mittl. quadr. Fehler Mit i := - (yi(wij)-L(x)) S‘(zi) ist wij(x) = i xjDelta-Regel

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