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§2.4 行列式按一行（列）展开

第二章 行列式. §2.4 行列式按一行（列）展开. 上一节我们利用行列式的性质把一个行列式化为上三角或下三角行列式，然后根据定义算出行列式的值，或者把一个行列式化成其中含有尽量多个零的行列式，然后算出行列式的值。本节我们沿着另一条思路来计算行列式的值，即通过把高阶行列式转化为低阶行列式来计算行列式的值。. 例如. 如果我们能把 n 阶行列式转化为 n-1 阶行列式，把 n-1 阶行列式转化为 n-2 阶， … ，而行列式的阶数越小越容易计算，我们就可以化繁为简，化难为易，从而尽快算出行列式的值。. 为了这个目的，我们需引进如下概念：. 一、余子式和代数行列式.

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§2.4 行列式按一行（列）展开

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  1. 第二章 行列式 §2.4 行列式按一行（列）展开

  2. 上一节我们利用行列式的性质把一个行列式化为上三角或下三角行列式，然后根据定义算出行列式的值，或者把一个行列式化成其中含有尽量多个零的行列式，然后算出行列式的值。本节我们沿着另一条思路来计算行列式的值，即通过把高阶行列式转化为低阶行列式来计算行列式的值。上一节我们利用行列式的性质把一个行列式化为上三角或下三角行列式，然后根据定义算出行列式的值，或者把一个行列式化成其中含有尽量多个零的行列式，然后算出行列式的值。本节我们沿着另一条思路来计算行列式的值，即通过把高阶行列式转化为低阶行列式来计算行列式的值。 例如

  3. 如果我们能把n阶行列式转化为n-1阶行列式，把n-1阶行列式转化为n-2阶，…，而行列式的阶数越小越容易计算，我们就可以化繁为简，化难为易，从而尽快算出行列式的值。如果我们能把n阶行列式转化为n-1阶行列式，把n-1阶行列式转化为n-2阶，…，而行列式的阶数越小越容易计算，我们就可以化繁为简，化难为易，从而尽快算出行列式的值。 为了这个目的，我们需引进如下概念： 一、余子式和代数行列式 定义1（余子式）： 在一个n阶行列式 中，划去元素 所在的 行和列，余下的元素构成一个n-1阶子式，称为元素 的余子式，记为

  4. 定义2（代数余子式）： 的余子式 附以符号 后， 称为元素 的代数余子式，记为 。 例1 在行列式 中，求元素p和s的余子式 和代数余子式。 二、行列式依行（列）展开 先考虑比较特殊的情况，即一个n阶行列式中某一行（列）除一个元素外，其余元素都为零的情况，这时有以下引理。

  5. 引理： 如果行列式 中，第i行（或第j 列）中元素除了 外其余都是零，则 证明： 1、D中第一行元素除 外其余皆为零，这时

  6. 2、假设D中第i行除 外其余皆为零，这时

  7. 此时 把D中的第i行依次与第i-1行，第i-2行，…，第1行对换，再把第j列依次与第j-1列，第j-2列，…，第1列对换，这样共经过（i-1）+（j-1）次行与列的对换，则D转化为 注意到行列式中任两行（列）的对换改变行列式的符号，故

  8. 3、行列式依行（列）展开 定理1:行列式 等于它的任意一行（列）中所有元素与 其代数余子式乘积的和，即有 或 证：

  9. 定理2: 行列式 中，某一行（列）中元素 与另一行（列）中对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即有

  10. 考察行列式 然后按第j行展开即知。 例2 计算行列式

  11. 解：

  12. 例3 计算行列式 解： 计算行列式的一个基本方法是：先利用行列式的性质把某行（列）化成有尽可能多的零，然后把行列式按这行（列）展开，这样计算要简单。如果不分青红皂白把行列式降阶，由于要计算的行列式个数成倍增多，则计算量未必减少。

  13. 例4 计算范德蒙行列式 解：

  14. 这种计算行列式的方法称为递推法 证明范德蒙行列式 也可用归纳法证之

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