气体分子运动论

气体分子运动论

一摩尔的任何物质的分子数都相同 4-1 物质的微观结构及统计规律的基本概念一、物质的微观结构 1、宏观物质是由大量不连续的微观粒子---分子（或原子）组成的多粒子体系。 2、分子都在永不停息地作杂乱无规则的热运动 3、分子间存在相互作用力（分子力）

v12 v12=0 r 分子有效直径 Å d 分子间既有引力作用又有斥力作用平衡位置斥力起主要作用引力起主要作用 R—分子有效作用半径 102Å

分子本身的大小比起它们之间的平均距离可忽略不计。 （分子可看作质点）  除碰撞外，分子之间的作用力可忽略不计。   分子间的碰撞是完全弹性的。二、理想气体的微观模型理想气体的分子可视为弹性的、自由运动的质点。三、统计规律的基本概念什么是统计规律性(statistical regularity) 大量偶然性从整体上所体现出来的必然性。例. 扔硬币

统计规律有以下特点: （1）只对大量偶然的事件才有意义. （2）它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变). 统计平均值对某一物理量M 进行测量算术平均值为

算术平均值 统计平均值出现Mi的几率(概率) M的统计平均值等于一切可能的状态的几率W与相应的M值乘积的总和。归一化条件

“涨落”现象 ------测量值与统计值之间总有偏离处在平衡态的系统的宏观量，如压强P，不随时间改变，但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样，分子数越多，涨落就越小。布朗运动是可观测的涨落现象之一。

槽内单位宽度的小球数 狭槽位置统计分布图以伽尔顿板实验为例有阴影的矩形面积为表明落入位置在x~x的狭槽内小球的个数。

单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比 速率表示速率在v~v区间内的分子数占总分子数的百分比 4-2 麦克斯韦速率分布定律平衡态下的气体系统中以分子速率为随机变量的气体分子速度分布函数。麦克斯韦速率分布一、气体分子的速率分布曲线

dN 面积= N 出现在v~v+dv区间内的分子数占总分子数的百分比 v1 v2 v v+dv v 气体分子的速率分布曲线分子出现在v1~v2区间内的分子数与总分子数的百分比 v0，取dv为分子速率区间元，相应的分子数为dN 分子速率分布函数

f(v)的物理意义 某一分子在速率v附近的单位速率区间内的几率最可几速率对于相同速率区间而言，速率在包含vp的那个区间内的分子数占总分子数的百分比最大。就相同速率区间而言，某一分子的速率取包含vp的那个区间内的几率最大。

二、麦克斯韦速率分布规律 1860年，麦克斯韦导出f(v)的表达式 T----温度 m----气体分子质量 k----玻尔兹曼常数由此，得麦克斯韦速率分布定律

与分布函数F(v)的极大值相对应的速率 极值条件大量分子速率的统计平均值三、分子速率的三个统计值 1、最可几速率 2、平均速率

大量分子速率的平方平均值的平方根 对于连续分布 3、方均根速率

分子量 试计算下列气体在大气中的逃逸速度与方均根速度之比：H2(2), He(4), H2O(18), N2(28), O2(32), Ar(40), CO2(44), 括弧内的数字是分子量。设大气的温度为290K，已知地球质量M=5.981024kg，地球半径R=6378km. 逃逸速度可由分子动能等于相对于无穷远的引力势能解：

气体 H2 HeH2ON2O2ArCO2 K 5.88 8.32 17.65 22.0 23.53 26.31 27.59 当代宇宙学告诉我们，宇宙中原初的化学成分绝大部分是氢（约占3/4）和氦（约占1/4）。任何行星形成之初，原始大气中都应有相当大量的氢和氦。但是现在地球的大气里几乎没有H2和 He，而其主要成分却是N2和O2。为什么？大气分子的热运动促使它们逸散，万有引力阻止它们逃脱。方均根速度标志着前者动能的大小，逃逸速度标志着后者势能的大小，例题中的比值K标志着二者抗衡中谁占先的问题。

K值愈大，表示引力势能愈大，分子不易逃脱。K值刚刚大于1显然不足以有效地阻止气体分子的散失，因为这时仅仅具有平均热运动动能的分子被引力拉住，但是按麦克斯韦分布律，气体中有大量的分子速率大过、甚至远大过方均根速度，它们仍然可以逃脱。对于某种气体需要多大的K值才能将它保住？例题的结果表明，K6~8是不够大的，这未能把地球大气里的H2和He保住。K大到22~24肯定是够了，因为这数值没有让N2和O2散失。

都与成正比， 与（或）成反比 f(v) v

f(v) f(vp1) T1 T2 f(vp2) T3 f(vp3) vp v 温度越高，速率大的分子数越多温度越高，分布曲线中的最概然速率vp增大，但归一化条件要求曲线下总面积不变，因此分布曲线宽度增大，高度降低。

设想有N个气体分子，其速率分布函数为 试求: (1)常数A；(2)最可几速率，平均速率和方均根；(3)速率介于0~v0/3之间的分子数；(4)速率介于0~v0/3之间的气体分子的平均速率。由归一化条件例解： (1)气体分子的分布曲线如图

决定，即 (2)最可几速率由平均速率方均速率方均根速率为

(3)速率介于0~v0/3之间的分子数 (4)速率介于0~v0/3之间的气体分子平均速率为

讨论速率介于v1~v2之间的气体分子的平均速率的计算对于v的某个函数g(v)，一般地，其平均值可以表示为

气体分子在空间位置不再呈均匀分布 气体分子分布规律如何 4-3 玻尔兹曼分布律若气体分子处于恒定的外力场（如重力场）中在麦克斯韦速度分布律中，

dN气体处在空间任意小体积元dxdydz中的分子数dN气体处在空间任意小体积元dxdydz中的分子数 n0势能等于零处的分子数密度分子势能玻尔兹曼对麦克斯韦分布律的推广： (1)分子在外力场中 (2)粒子的分布不仅按速率区间v~v+dv分布，还应按位置空间x~x+dx,y~y+dy,z~z+dz分布。气体分子按势能分布的特点

粒子能量取分立值的情况下玻尔兹曼分布 能级处于Ei状态的粒子数对于任意两个能级，有在正常状态下，能级越低，粒子数越多。粒子总是优先占据低能级状态。

由玻尔兹曼分布律证明恒温气压公式 式中P0为n=0处的大气压强，P为h处的大气压强，m是大气分子质量。由气体状态方程大气密度和压强随高度增加按指数规律减小（高空空气稀薄，气压低）例4-2 证：

两边取对数 实际应用测知地面和高空处的压强与温度，可估算所在高空离地面的高度。

氢原子基态能级E1=-13.6eV，第一激发态能级E2=-3.4eV，求出在室温T=270C时原子处于第一激发态与基态的数目比。氢原子基态能级E1=-13.6eV，第一激发态能级E2=-3.4eV，求出在室温T=270C时原子处于第一激发态与基态的数目比。例4-3 解：在室温下，氢原子几乎都处于基态。

4-4 理想气体的压强公式、 温度公式和内能一．理想气体的压强公式气体对器壁的压强应该是大量分子对容器不断碰撞的统计平均结果。一定质量的处于平衡态的某种理想气体。(V,N,m) 考虑一个分子A，以速度vi奔向一面元，与面元碰撞后返回动量改变量为

共有Ni个 i 设第组分子的速度为其分子数密度为在t时间内 s x 沿X方向平移的距离为vixt vi t 把所有分子按速度分为若干组，在每一组内的分子速度大小，方向都差不多。设s 法向为 x轴体积为vixts的柱体内所有分子都与s相碰

因为速度为的分子中， 各占一半 t时间内，与面元s相碰的速度为的分子数为其动量改变量速度不同的各组分子与面元相碰后总的动量改变量为

分子的平均平动动能 作用在面元上的作用力压强

温度是气体分子平均平动动能大小的量度 二、理想气体的温度公式

（1）在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体。如果压缩气体并对它加热，使它的温度从270C升到1770C，体积减少一半，求气体压强变化多少？ （2）这时气体分子的平均平动动能变化多少？例4-4 解：

双原子分子 单原子分子平动自由度t=3 转动自由度r=2 平动自由度t=3 4-5 能量均分定理理想气体的内能一、自由度 i（Degree of reedom）确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。以刚性分子（分子内原子间距离保持不变）为例

三原子分子 平动自由度t=3 转动自由度r=3 二、能量按自由度均分定理

气体分子沿X,Y,Z三个方向运动的平均平动动能完全相等，可以认为分子的平均平动动能 均匀分配在每个平动自由度上。推广平衡态下，不论何种运动，相应于每一个可能自由度的平均动能都是能量按自由度均分定理

分子间相互作用的势能=0 如果气体分子有i个自由度，则分子的平均动能为三、理想气体的内能分子间相互作用可以忽略不计理想气体的内能=所有分子的热运动动能之总和 1mol理想气体的内能为

一定质量理想气体的内能为 内能仅与温度有关，与压强和体积无关温度改变，内能改变量为

N2质量 摩尔数 O2质量摩尔数就质量而言，空气是由76%的N2，23%的O2和1%的Ar三种气体组成，它们的分子量分别为28、32、40。空气的摩尔质量为28.910-3kg，试计算1mol空气在标准状态下的内能。例题解：在空气中

Ar质量 摩尔数 1mol空气在标准状态下的内能

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