Signali i sustavi

Signali i sustavi AUDITORNE VJEŽBE 9 LS&S FER-ZESOI

x(t) x(t) t t diskretizacija amplitude x(t) x(t) t t diskretizacija vremena (vrem. diskretni signal) diskretizacija vremena i amplitude (digitalni signal) Diskretni signali

u(t0) u(t2) u(t–2) u(t–3) u(t3) t–1 t1 u(t4) tk t0 t–3 t–2 t2 t3 t4 u(t–1) u(t1) Diskretni signali • Uobičajena interpretacija diskretnog signala: {u(tk) | kÎ Z}. • Ako govorimo o vremenskim signalima, nezavisnu varijablu možemo označiti sa tk. • Nezavisna varijabla poprima diskretne vrijednosti. • Primjer diskretnog signala:

Diskretni signali • Diskretni signal je definiran samo u diskretnim trenucima tk. • Korisno je interpretirati ga kao niz brojeva.... u(t–2), u(t–1), u(t0), u(t1), u(t2), poredanih kako to određuje nezavisna varijabla. • Često diskretni signali nastaju otipkavanjem kontinuiranih signala. • Trenutna vrijednost diskretnog signala u u(tk) naziva se uzorkom signala u trenutku tk. • U primjeru radilo se o diskretnom signalu čiji uzorci nisu ekvidistantno raspodijeljeni na osi tk.

Diskretni signali • Radi jednostavnosti, obično se koriste signali čiji su uzorci ekvidistantni. • Tada diskretni signal označavamo sa u(k) umjesto u(tk). • Varijablu k obično nazivamo diskretna vremenska varijabla. • Čest je naziv i varijabla koraka, pa se kaže da je u(k) vrijednost diskretnog signala u koraku k.

Diskretni signali • Primjer ekvidistantnog diskretnog signala: u(t0) u(t2) u(t–2) u(t–3) u(t3) t–1 t1 u(t4) tk t0 t–3 t–2 t2 t3 t4 u(t–1) u(t1)

Diskretni signali • Ovaj niz možemo prikazati i nizom brojeva: ... u(–3) = 1 u(–2) = 2 u(–1) = –0,5 u(0) = 2,5 u(1) = –1,5 u(2) = 2 u(3) = 1 u(4) = 0,5 ... • odnosno: • { u(k) } = { ..., 1, 2, –0.5, 2.5, –1.5, 2, 1, 0.5, ... } Uočimo konvenciju: uzorak k=0 potcrtamo!

d(k) 1 k –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 Elementarni diskretni signali Jedinični impuls • Diskretni niz Kroneckerov delta ili jedinični impuls definira se kao:

s(k) 1 k –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 Elementarni diskretni signali Jedinična stepenica • Ovaj diskretni signal definira se kao:

r(k) 4 3 2 1 k –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 Elementarni diskretni signali Jedinična kosina • Definira se kao:

Diskretna jedinična stepenica i kosina kao rezultat otipkavanja kontinuirane stepenice i kosine • Kontinuirana jedinična stepenica i kosina definirane su kao:

u(kT) u(t) Diskretni signali kao rezultat otipkavanja • Nezavisna varijabla t poprima vrijednosti iz R. • Diskretizaciju signala postižemo otipkavanjem tj. definiranjem signala u trenucima t = kT. • Pretpostavljeno je uniformno otipkavanje: • T je vremenski razmak između uzoraka, • k ÎZ. • Model postupka otipkavanja može se prikazati slikom:

Jedinična stepenica kao rezultat otipkavanja • Polazimo od kontinuirane jedinične stepenice s(t). • Otipkamo je - tj. promatramo vrijednosti s(t) samo u diskretnim trenucima t = kT.

s(t) 1 t –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 s(kT) T = 1s 1 kT –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 s(kT) T = 0,25s kT –8 –4 0 1 2 3 4 8 12 16 20 24 28 32 Jedinična stepenica kao rezultat otipkavanja • Slijedeće slike prikazuju otipkavanje kontinuirane stepenice za različite vrijednosti perioda T:

Jedinična stepenica kao rezultat otipkavanja mjerna jedinica: sekunde s(t) 1 t –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 s(kT) T = 1s 1 kT –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 s(kT) T = 0,25s kT –8 –4 0 1 2 3 4 8 12 16 20 24 28 32

nisu više sekunde! s(k) 1 k –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Jedinična stepenica kao rezultat otipkavanja • Radi jednostavnijeg opisivanja diskretnih signala, izostavljamo T, te se umjesto u(kT) pišemo samo u(k). • Diskretne nizove crtamo prikazujući u(k) kao funkciju uzoraka k, a ne kao u(kT).

Jedinična stepenica kao rezultat otipkavanja • Bez obzira na odabrani T niz s(k) možemo prikazati i na slijedeće načine: • {s(k)} = { ..., 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, ... }, ili: • Naravno, želimo li ove signale prikazati u stvarnoj vremenskoj skali, treba uzeti u obzir vrijednost T(period otipkavanja).

tj. r(t) 4 3 2 1 t –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 Jedinična kosina kao rezultat otipkavanja • Slično se može razmatrati i otipkavanje jedinične kosine, za t = kT slijedi:

r(k) 4 3 T=1 2 Ista kosina r(t) otipkana različitim periodom rezultira različitim nizom brojeva! 1 k –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 r(k) 4 T=2 2 k –2 –1 0 1 2 Jedinična kosina kao rezultat otipkavanja

z Diskretna kompleksna eksponencijala • Moguće ju je definirati kao diskretni signal dobiven otipkavanjem kontinuirane eksponencijale • Neka je zadana kontinuirana kompleksna eksponencijala: • gdje je s kompleksna frekvencija: s = s + jw. • Otipkamo x(t) u trenucima t = kT:

Diskretna kompleksna eksponencijala • Moguće ju je definirati kao diskretni signal dobiven otipkavanjem kontinuirane eksponencijale • Neka je zadana kontinuirana kompleksna eksponencijala: • gdje je s kompleksna frekvencija: s = s + jw. • Otipkamo x(t) u trenucima t = kT: z

Diskretna kompleksna eksponencijala • Dobiveni niz brojeva x(k)=zk je diskretna kompleksna eksponencijala. • Uočimo da je x(kT) zamijenjeno s x(k), vodeći računa da je razmak među uzorcima jednak T sekundi. • Radi lakšeg i preglednijeg pisanja esTzamijenjeno je sa z. • Oblik diskretne eksponencijale određen je položajem kompleksne frekvencije z u Z ravnini. Ovo ćemo kasnije ilustrirati primjerima.

Diskretna kompleksna eksponencijala • Prikažemo li kompleksnu varijablu z u polarnom obliku dobit ćemo slijedeće odnose:

Diskretna kompleksna eksponencijala • Prikažemo li kompleksnu varijablu z u polarnom obliku dobit ćemo slijedeće odnose: s = s + jw

Ovi izrazi definiraju vezu svakog s i svakog z - tj. preslikavanje S ravnineu Z ravninu Diskretna kompleksna eksponencijala • Prikažemo li kompleksnu varijablu z u polarnom obliku dobit ćemo slijedeće odnose:

jw Z S s Diskretna kompleksna eksponencijala Nacrtajmo S i Z ravninu.

Diskretna kompleksna eksponencijala • Kontinuirana eksponencijala ejwT periodična je sa 2p/T - ucrtajmo pojaseve širine 2p/T u ravnini S. • Svaki od pojasa preslikava se na cijelu ravninu Z (q = wt napravi “puni krug”) ! jw 3p/T Z S p/T s -p/T 2p/T -3p/T

Diskretna kompleksna eksponencijala • Lijeva poluravnina preslikava se unutar jedinične kružnice u ravnini z, a desna poluravnina izvan. jw 3p/T Z S p/T s 1 -p/T 2p/T -3p/T

Diskretna kompleksna eksponencijala • Točke x i y u S ravnini preslikavaju se u istu točku u Z ravnini. • Znači da postoji više različitih kontinuiranih eksponencijala koje otipkavanjem daju isti diskretni niz! jw 3p/T Z S y r x p/T q s x 1 -p/T 2p/T -3p/T

Z z1 = r1e jq = 0,7 z1 Diskretna kompleksna eksponencijala • Primjeri kompleksne diskretne eksponencijale: (napomena: u svim primjerima pretpostavlja se da je T=1). 1. Primjer

x1(k) 1 k –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Diskretna kompleksna eksponencijala • Za zadani z1 diskretna eksponencijala je oblika: x1(k) = z1k = r1k = 0,7k. • Ovu eksponencijalu moguće je prikazati kao niz brojeva: • {x1(k)} = {..., 0, 1, 0.7, 0.49, 0.343, 0.24, 0.168, 0.118, 0.082, ...} • Grafički:

Þ Diskretna kompleksna eksponencijala • Odredimo kontinuiranu eksponencijalu čijim bi se otipkavanjem dobila naša diskretna.

Diskretna kompleksna eksponencijala • Odredimo kontinuiranu eksponencijalu čijim bi se otipkavanjem dobila naša diskretna. Þ

jw S s -0,35667 i konačno: Diskretna kompleksna eksponencijala • Odredimo kontinuiranu eksponencijalu čijim bi se otipkavanjem dobila naša diskretna. Þ

Z z2 Diskretna kompleksna eksponencijala • Odgovarajuća diskretnaeksponencijala je oblika: • x2(k) = z2k • = (0,7ejp)k = 0,7kejpk • x2(k) = 0,7k cos pk • = 0,7k (–1)k = (–0,7)k z2 = 0,7ejp 2. Primjer

x2(k) 1 1 3 5 7 k 0 2 4 6 8 Diskretna kompleksna eksponencijala • odnosno: • {x2(k)} = {1, –0.7, 0.49, –0.343, 0.24, -0.168, ...}

Diskretna kompleksna eksponencijala 3. Primjer • z3 = e±jp/6 • U ovom je slučajudiskretna eksponencijalaoblika: Z p/6 z3 z3*

x3(k) 1 k 0 Diskretna kompleksna eksponencijala • Ista eksponencijala kao niz brojeva: • {x3(k)} = {1, 0.866, 0.5, 0, –0.5, –0.866, –1, –0.866, –0.5, 0, 0.5, ...} • Radi se o diskretnoj kosinusoidi koja je nastala otipkavanjem kontinuirane svakih p/6 radijana.

x4(k) 1 7 5 3 k 1 0 2 4 6 8 –1 Diskretna kompleksna eksponencijala 4. Primjer • x4(k) = z4k = ejpk = = cos pk = (–1)k • Iovdje se radi o diskretnojkosinusoidi, a periodotipkavanja je p radijana • x4(k) = {1, –1, 1, –1, 1, –1, 1, –1, ...} z4 = ejp Z z4

x5(k) 1 k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Diskretna kompleksna eksponencijala 5. Primjer • x5(k) = z5k = 1k = cos 2pk • Diskretna eksponencijalaprelazi u jediničnustepenicu nastaluotipkavanjem kosinusnefunkcije s periodomotipkavanja 2p radijana. • x5(k) = {1, 1, 1, ...} z5 = 1 Z z5

Diskretna kompleksna eksponencijala 6. Primjer • z6 = 0,8e±jp/6 Z p/6 z6 z6*

Diskretna kompleksna eksponencijala 6. Primjer • z6 = 0,8e±jp/6 Z p/6 z6 z6* x6(k) = {1, 0.6928, 0.32, 0, –0.2048, –0.284, –0.262, –0.18, 0.083, ...}

Diskretna kompleksna eksponencijala • Grafički: x3(k) 1 k 0

u(k) + y(k) v(k) Osnovne operacije na nizovima i elementi diskretnog sustava • Zbroj nizova: • {y(k)} = {u(k)} + {v(k)} • Opći član: y(k) = u(k) + v(k) • Element koji obavlja ovu operaciju zove se zbrajalo. Shematski prikaz:

Signali i sustavi