DANE INFORMACYJNE :

2. DANE INFORMACYJNE : • Nazwa szkoły: ZESPÓŁ SZKÓŁ W BACZYNIE, GIMNAZJUM NR 5 W POZNANIU • ID grupy: 98/9_MF_G2; 98/30_MF_G2 • Kompetencja: MATEMATYKA I FIZYKA. • Temat projektowy: POTĘGI W SŁUŻBIE POZYCYJNYCH SYSTEMÓW LICZBOWYCH • Semestr/rok szkolny: III / 2010/2011.

3. ZESPÓŁ SZKÓŁ w BACZYNIE ul. Szkolna 1 66-432 Baczyna GIMNAZJUM NR 5 w ZESPOLE SZKÓŁ z ODDZIAŁAMI SPORTOWYMI nr 1 Poznań ul. Oś. Pod Lipami 106

4. „POTĘGI W SŁUŻBIE POZYCYJNYCH SYSTEMÓW LICZBOWYCH”

5. Systemy liczbowe możemy podzielić na: • pozycyjne • niepozycyjne(addytywne). Przykładami systemów pozycyjnych są m.in. systemy: dziesiętny, jedynkowy, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy. Przykładami systemów niepozycyjnychsą m.in. system arabski, system rzymski.

6. POZYCYJNY SYSTEM LICZBOWY System pozycyjny to metoda zapisywania liczb w taki sposób, że w zależności od pozycji danej cyfry w ciągu, oznacza ona wielokrotność potęgi pewnej liczby uznawanej za bazę danego systemu. Liczby zapisujemy przy pomocy cyfr od strony lewej do prawej. W takiej konwencji zapisu, każda pozycja ma ściśle określoną i niezmienną wagę liczbową. System pozycyjny umożliwia zapisywanie ułamków, przy czym liczby wymierne składają się albo ze skończonej liczby znaków, albo są od pewnego miejsca okresowe.

7. Systemy pozycyjne posiadają pojedyncze symbole dla kilku pierwszych liczb. Cyfry te są kolejno umieszczane w ściśle określonych pozycjach i oznaczają mnożnik potęgi liczby n + 1, gdzie n jest najwyższą liczbą reprezentowaną pojedynczą cyfrą. W momencie gdy dana potęga nie jest potrzebna do zapisu danej liczby, zostawia się w zapisie puste miejsce, lub częściej specjalny symbol oznaczający zbiór pusty. Obecnie jest to cyfra zero.

8. Każdą liczbę przedstawiamy w postaci wyrażenia Ci-1·pi-1+ci-2·pi-2+...+c2·p2+ c1·p1+c0·p0 gdzie p jest podstawą systemu liczenia, zaś liczby oznaczone literą c z indeksami, nazywamy cyframi. Cyfry wyrażają liczbę użytych jednostek rzędu, przy której występują.

9. Liczbę daną powyższym wyrażeniem zapisujemy w postaci: ( ci-1ci-2 ... c2 c1 c0 )g Jeżeli g = 10, to piszemy ci-1ci-2 ...c2 c1 c0

10. Zaletą systemów pozycyjnych jest ich klarowność, łatwość dokonywania nawet złożonych operacji arytmetycznych oraz możliwość zapisu dowolnie dużej liczby, jednak do zapisu bardzo dużych liczb jest potrzebna duża liczba cyfr.

11. OLBRZYMY –CZYLI BARDZO DUŻE LICZBY

12. Duże liczby często używane są do opisywania obiektów znajdujących się we wszechświecie: • Masa Księżyca 73 480 000 000000000000000 kg • Masa Ziemi 5 974 000 000000000000000000 kg • Masa Słońca 1 998 910 000 000000000000000000000 kg

13. LILIPUTY–CZYLI BARDZO MAŁE LICZBY

14. BARDZO MAŁE LICZBY • Masa cząsteczki wody - 0,000 000 000 000 000 000000 00003 kg • Masa protonu - 0,000 000 000000000000000000 001 672 6 kg • Masa elekronu - 0,000 000 000000000000000000000 000 910 95 kg

15. Przebyte odległości w czasie 0,001 sekundy • Głos przebywa w tym czasie 33 centymetry • Ziemia przebiega 30 metrów • Samolot pokonuje 10 centymetrów • Pociąg przejeżdża 1 centymetr torów

16. CZY WIESZ, ŻE ? • Włos ludzki powiększony na grubość milion razy będzie miał średnicę 70 metrów ! • A jaką wielkość osiągnie komar powiększony milion razy? Będzie miał 5 kilometrów długości!!!

17. ZAPIS WYKŁADNICZY LICZB Postać wykładnicza to zapis liczby bezpośrednio w formie iloczynu postaci: gdzie: - M jest mantysą znormalizowaną do przedziału [1,10) - E jest wykładnikiem całkowitym. Notacja wykładnicza , to uproszczony zapis bardzo dużych liczb i bardzo małych liczb.

18. ZASTOSOWANIE NOTACJI WYKŁADNICZEJ DO ZAPISU BARDZO MAŁYCH LICZB: Za pomocą potęg o wykładniku całkowitym ujemnym określamy bardzo małe liczby, np: • masa najmniejszego ptaka - kolibra wynosi 2•10-3 kg • masa atomu wodoru 1,67•10-27 kg

19. PRZYKŁADY: • 0,000 000 000 1=10-10 • 0,000 000 000 3=3* 0,000 000 000 1= =3*10-10 • Masa protonu w kilogramach: 16 726*10-31=1672,6*10-30 = =16,726*1028=1,6726*10-27

20. NAZWY BARDZO MAŁYCH LICZB

21. LILIPUTY MAJĄ SWOJE ZASTOSOWANIE W NANOTECHNOLOGII Nanotechnologia – to ogólna nazwa całego zestawu technik i sposobów tworzenia rozmaitych struktur o rozmiarach nanometrycznych (od 0,1 do 100 nanometrów), czyli na poziomie pojedynczych atomów i cząsteczek.

22. ZASTOSOWANIE NOTACJI WYKŁADNICZEJ DO ZAPISU BARDZO DUŻYCH LICZB: Za pomocą potęg o wykładnikach naturalnych zapisuje się bardzo duże liczby, np: - masa Ziemi wynosi 5,976•1024 kg, - największa ryba świata - płetwal błękitny waży 1,2•105 kg,

23. Zapis wykładniczy bardzo dużych liczb

24. 1. SYSTEM DZIESIETNY Jest to podstawowy system prezentacji liczb prawie we wszystkich krajach na świecie. Do zapisu licz w tym systemie wykorzystuje się 10 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.  Podstawą pozycji zaś są kolejne potęgi liczby 10. W praktyce wygląda to tak :  - o wartości cyfry stanowi pozycja na której ona stoi więc cyfrę stojącą na pierwszej pozycji  mnożymy  razy 100 , - cyfrę na 2 pozycji  mnożymy razy 101, - cyfrę na 3 pozycji razy 102 , itd.

25. Przykład: 4123 = 3*100+ 2*101+ 1*102 + 4*103 = 3 + 20 + 100 + 4000 = =4123

26. 2. SYSTEM JEDYNKOWY Jest to najprostszy system zapisu liczb, gdyż wykorzystuje tylko jedna cyfrę 1. Podstawą pozycji też jest liczba 1. W praktyce wygląda to tak :  - jak w każdym systemie pozycyjnym o wartości cyfry stanowi pozycja na której ona stoi więc cyfrę stojącą na pierwszej pozycji  mnożymy  razy 10 . - cyfrę na 2 pozycji  mnożymy razy 11,  - cyfrę na 3 pozycji razy 12 itd. Jednakże jak wiadomo liczba 1 podniesiona do dowolnej potęgi daje jeden. Wynika z tego że w tym systemie na każdej pozycji cyfra 1 ma wartość 1.

27. Przykład:   111 = 1*10 + 1*11+ 1*12 = 1 + 1 + 1 = 3 Liczba 111 w systemie jedynkowym równa jest liczbie 3 w systemie dziesiętnym.

28. NIEPRAKTYCZNOŚĆ SYSTEMU System ten jest wiec bardzo niewygodny w praktyce: • Zapis liczby 10 wygląda tak:     1111111111 - Na zapisanie większych liczb np. 1 000 000 mogło by nie starczyć nam chęci i miejsca na kartce

29. 3. SYSTEM DWÓJKOWY (BINARNY) Do zapisu liczb w tym systemie wykorzystuje się zaledwie 2 cyfr: 0 i1. Podstawą pozycji zaś są kolejne potęgi liczby 2. W praktyce wygląda to tak :jak w każdym systemie pozycyjnym o wartości cyfry stanowi pozycja na której ona stoi więccyfrę stojącą na pierwszej pozycji  mnożymy  razy 20 , a cyfrę na 2 pozycji  mnożymy razy 21 , cyfrę na 3 pozycji  mnożymy razy 22 , itd.

30. Przykład:   1100101 = 1*20 + 0*21 + 1*22 + 0*23 + 0*24 + 1*25 + 1*26 = 1+ 0+ 4+ 0+ 0+ 32+ 64 = 101  Tak wiec liczba 1100101 w systemie dwójkowym jest równa liczbie 101 w systemie dziesiętnym.

31. ZAMIANA Z SYSTEMU DZIESIETNEGO NA DWÓJKOWY: Liczby można również zamieniać w odwrotny sposób czyli z systemu dziesiętnego na dwójkowy. Aby to zrobić wystarczy dzielić liczbę w systemie dziesiętnym przez 2 tak długo aż zostanie nam liczba jeden (jedynkę też dzielimy)  i przy każdym dzieleniu zapisywać resztę z tego dzielenia ( 1 albo 0 ). Potem zapisujemy reszty w odwrotnej kolejności jako ciąg cyfr.Przykład:  41/2 = 20    reszta1  20/2 = 10    reszta0  10/2 = 5      reszta0  5/2 = 2        reszta1  2/2 = 1        reszta0  1/2 = 0        reszta1Czytając reszty od tyłu wychodzi nam liczba 101001 tak wiec liczba 41 w systemie dziesiętnym jest równa liczbie 101001 w systemie dwójkowym.

32. 4. SYSTEM ÓSEMKOWY Do zapisu liczb w tym systemie wykorzystuje się  8 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  Podstawą pozycji zaś są kolejne potęgi liczby 8. W praktyce wygląda to tak :jak w każdym systemie pozycyjnym o wartości cyfry stanowi pozycja na której ona stoi więc cyfrę stojącą na pierwszej pozycji  mnożymy  razy 80 ,  cyfrę na 2 pozycji  mnożymy razy 81,cyfrę na 3 pozycji  mnożymy razy 82  itd.Przykład:   174 = 4*80 + 7*81 + 1*82  = 4+ 56+ 64 = 124Tak wiec liczba 174 w systemie ósemkowym jest równa liczbie 124 w systemie dziesiętnym.

33. ZAMIANA Z SYSTEMU DZIESIETNEGO NA ÓSEMKOWY: Liczby można również zamieniać w odwrotny sposób czyli z systemu dziesiętnego na ósemkowy. Aby to zrobić wystarczy dzielić liczbę w systemie dziesiętnym przez 8 tak długo aż zostanie nam liczba mniejsza niż 8 (tą liczbę też dzielimy tez dzielimy)  i przy każdym dzieleniu zapisywać resztę z tego dzielenia ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 albo 7 ). Potem zapisujemy reszty w odwrotnej kolejności jako ciąg cyfr.Przykład:  167/8 = 20    r.7  20/8 = 2        r.4  2/8 = 0          r.2Czytając reszty od tyłu wychodzi nam liczba 247 tak wiec liczba 167 w systemie dziesiętnym jest równa liczbie 247 w systemie ósemkowym

34. 5. SYSTEM SZESNASTKOWY Do zapisu liczb w tym systemie wykorzystuje się 16 znaków ( 10 cyfr i 6 liter ): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Podstawą  pozycji zaś są kolejne potęgi liczby 16. W praktyce wygląda to tak :jak w każdym systemie pozycyjnym o wartości cyfry stanowi pozycja na której ona stoi więc znak stojący na pierwszej pozycji  mnożymy  razy 160 ,  znak  na 2 pozycji  mnożymy razy 161,znak na 3 pozycji  mnożymy razy 162   itd.  UWAGA ! Litery w tym systemie traktowane są jako następujące liczby:                   A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15Przykład:   D3A = 10*160 + 3*161 + 13*162  = 10 + 48 + 3328 = 3386Tak wiec liczba D3A w systemie dwójkowym jest równa liczbie 3386 w systemie dziesiętnym.

35. ZAMIANA Z SYSTEMU DZIESIETNEGO NA SZESNASTKOWY: Liczby można również zamieniać w odwrotny sposób czyli z systemu dziesiętnego na szesnastkowy. Aby to zrobić wystarczy dzielić liczbę w systemie dziesiętnym przez 16 tak długo aż zostanie nam liczba mniejsza niż 16 (tą liczbę też dzielimy )  i przy każdym dzieleniu zapisywać resztę z tego dzielenia ( w przypadku liczby większej niż 9 stosujemy litery ). Potem zapisujemy reszty w odwrotnej kolejności jako ciąg cyfr.Przykład:  3738/16 = 233    reszta A  233/16 = 14        reszta 9  14/16 = 0            reszta E Czytając reszty od tyłu wychodzi nam liczba E9A tak wiec liczba 3738 w systemie dziesiętnym jest równa liczbie E9A w systemie szesnastkowym.

36. POTĘGI W INFORMATYCE Z racji reprezentacji liczb w pamięci komputerów za pomocą BITÓW, najbardziej naturalnym systemem w informatyce jest dwójkowy system liczbowy. Komputer zna tylko zera i jedynki. Bity przyjmują tylko jedną z tych dwóch wartości. Osiem bitów to jeden bajt. Ustawienie ośmiu bitów decyduje o numerze, który może przyjąć maksymalnie 256. Numer decyduje o znaku, jaki komputer ma wykorzystać.

37. JEDNOSTKI PAMIĘCI: • Bajt 23 bitów = 8 bitów • Kilobajt 210 bajtów = 1 024 bajty • Megabajt 220 bajtów = 1 048 576 bajty • Gigabajt 230 bajtów = 1 073 741 824 bajty • Terabajt 240 bajtów = 1 099 511 627 776 bajty

38. ZARYS HISTORYCZNY: W okresie pionierskich czasów komputeryzacji ważną rolę odgrywał system ósemkowy, który spotyka się niekiedy do dziś. Natomiast naturalny dla ludzi systemdziesiętnyzostał wprowadzony dopiero wraz z powstaniem języków programowania wyższego poziomu, których celem było jak największe ułatwienie w korzystaniu z komputerów.

39. Ze względu na specyfikę architektury komputerów, gdzie często najszybszy dostęp jest do adresów parzystych, albo podzielnych przez 4, 8 czy 16, często używany jest szesnastkowy system liczbowy. Sprawdza się on szczególnie przy zapisie dużych liczb takich jak adresy pamięci, zakresy parametrów itp.

40. Przykład: 216 = 6553610 = 1000016 232 = 429496729610 = 10000000016 1000016 i 10000000016 są znacznie łatwiejsze do zapamiętania. System szesnastkowy często spotykany jest też na stronach WWW (HTML), gdzie stosowany jest do zapisu kolorów.

41. NIEPOZYCYJNE SYSTEMY LICZBOWE (ADDYTYWNE)

42. Systemy niepozycyjne (addytywne)to takie w których wartość danej liczby jest suma wartości znaków cyfrowych z których się ona składa. Najpopularniejszym systemem addytywnym jest system arabski którego używamy na codzień i wykorzystuje on symbole 1,2,3,4,5,...Innym popularnym systemem jest system rzymski .

43. WADY I ZALETY Zaletą systemów addycyjnych jest możliwość zapisu nawet dużych liczb (pod warunkiem, że są "okrągłe") za pomocą jednego znaku, a wadą złożoność i kłopoty interpretacyjne przy "mało okrągłych" liczbach i bardzo skomplikowany sposób dokonywania za ich pomocą prostych operacji arytmetycznych, wymagający zapamiętywania długich tabel.

44. LICZBY RZYMSKIE I ICH ZASTOSOWANIE

45. Historia liczb rzymskich… System rzymski zapisywania liczb wykorzystuje cyfry pochodzenia etruskiego, które Rzymianie przejęli i zmodyfikowali ok. 500 p.n.e. Nadaje się on, co prawda, do wygodnego zapisywania liczb, jest jednak niewygodny w prowadzeniu nawet prostych działań arytmetycznych, oraz nie pozwala na zapis ułamków. Te niewygody nie występują w systemie pozycyjnym.

46. Jakich znaków używa się do zapisywania liczb systemem rzymskim? I = 1 L= 50 C = 100 V = 5 D = 500 X = 10 M = 1000

47. C pochodzi od słowa centum= 100 M pochodzi od słowa mille = 1000

48. Liczby powstają z dodawania znaków. 6 = (V + I) = VI 11 = (X + I) = XI 60 = (L + X) = LX 110 = (C + X) = CX 600 = (D + C) = DC 1100 = (M + C) = MC

49. Liczby powstają również z odejmowania znaków. 4 = (V – 1) = IV 9 = (X – I) = IX 40 = (L – X) = XL 90 = (C – X) = XC 400 = (D – C) = CD 900 = (M – C) = CM

50. Jakie są inne zasady obowiązujące przy tworzeniu liczb systemem rzymskim? Obok siebie można zapisać tylko trzy jednakowe znaki I, X, C, M. Nie wolno powtarzać obok siebie znaków V, L, D.