Caratteristiche, potenziali e limiti di un’interpretazione dinamica della tangente

1. Caratteristiche, potenziali e limiti di un’interpretazione dinamica della tangente Progetto di ricerca di Pietro Milici

2. La tangente in geometria • Retta passante per un punto di una curva con determinate proprietà (data una curva e un punto si trova la tangente) • Utilizzo costruttivo: tangenti per definire curve tramite inviluppo (senza continuità, processo di limite) • Movimento trazionale: utilizzo dinamico e continuo delle proprietà della tangente per costruire in modo continuo la curva che soddisfi tali proprietà (la curva e la tangente nascono dalla rispettiva correlazione)

3. Assunto di base (da verificare) L’interpretazione dinamico/concreta della tangente può facilitare lo studente

4. Questioni didattiche • Utilizzo di artefatti per l’analisi? • Costruzione assiomatica della teoria sottostante la geometria trazionale? • Il cambiamento epistemologico può portare a una rilettura dell’analisi?

5. Questioni fondazionali Che limiti ha l’interpretazione della derivata come “ruota”? Fino a che livello dell’analisi va bene? Confronto la “concreta” ruota con l’attuale più potente mezzo concreto: Macchina di Turing

6. Confronto con la computabilità

7. Interpretazione concreta e costruttiva della tangente Strumenti storici: • Peso tirato con fune • Ruota che rotola senza strisciare

8. La Trattrice di Perrault Un grave in posizione iniziale B0 è trascinato tramite una fune di lunghezza fissa a la cui estremità si muove lungo r (seconda metà 17° secolo)

9. Huygens e il movimento trazionale Problema: legittimazione curve trascendenti con puro movimento geometrico (1693)

10. Esempi di movimento trazionale Perks (inizi del 18° secolo)

11. Integrafi Coradi (1889)

12. Differentialanalyzer Vannevar Bush, M.I.T. (1931)

13. Rivoluzione digitale Paradigma di calcolo da analogico a digitale (maggiore controllo sugli errori) • Turing 1936: introduzione della Macchina Universale (tesi Church-Turing) • Nascita e sviluppo delle scienze informatiche

14. Cosa fatto storicamente sul Movimento Trazionale • Singole macchinette per risolvere graficamente singoli problemi • Generalizzazione del metodo: come passare da classi di equazioni differenziali alle relative macchine trazionali (Riccati, 1752) • Non si ha né una giustificazione del perché fisico del movimento né una assiomatizzazione geometrica

15. Base del movimento trazionale • Piano di base • Strumenti: • Assi – corpi rigidi rettilinei (3 gradi di libertà) • Carrelli – usa un asse come binario (1 grado di libertà) • Vincoli: • Perno – vincola due strumenti a ruotare attorno al loro punto in comune • Ruota – obbliga un punto di un asse a non muoversi perpendicolarmente all’asse cui appartiene (modello NON minimale!)

16. Confronto con modelli noti GeneralPurposeAnalog Computer (GPAC), Shannon (1941) per DifferenzialAnalyzer (calcola tutte e sole le funzioni soluzioni di sistemi di eq. differenziali polinomiali) Componenti: • Addizionatori • Integratori • Costanti

17. Risultati ottenuti Movimento trazionale: • Estende curve algebriche • Costruisce tutte le funzioni del GPAC • Risolve equazioni differenziali in C (ad esempio costruzione cicloide e^ix) • Permette la proiezione di funzioni complesse sui reali, estendendo GPAC con funzioni non analitiche

18. Limiti del movimento trazionale • Impossibili funzioni discontinue (confronto con computabilità di funzioni reali) • Basta per creare un collegamento con gli algoritmi? Estendibilità in più dimensioni? • Possibile estendere modello per derivate non intere? (la funzione Gamma di Eulero è computabile ma non DAE)

19. Sbocchi didattici • Interpretazione epistemologica della tangente • Macchine matematiche e artefatti (Bartolini Bussi, Rabardel) • Vedere risolvere con mezzi meccanici equazioni differenziali in R e C (e possibilità di vedere differenze tra i campi) • Creare un sistema assiomatico ad hoc

20. Esempio: studio di funzione Funzione radice quadrata:

21. Esempio: studio di funzione

22. Bibliografia 1/2 BartoliniBussi, M. G. & Mariotti, M. A.: Semiotic mediation: from history to the mathematics classroom, For the learning of Mathematics, vol. 19 (2), 27-36 (1999). BartoliniBussi, M. G. & Maschietto, M.: Working with artefacts: the potential of gestures as generalization devices. Research Forum: Gesture and the Construction of Mathematical Meaning, in Proceedings of th 29th Conf. of the Int. Group for the Psychology of Mathematics Education, Melbourne, Australia, vol. 1, 131-134 (2005). Bartolini Bussi, M. G. & Maschietto, M.: Macchine matematiche: dalla storia alla scuola. Springer-Verlag, collana Convergenze (2006). BartoliniBussi, M. G. & Pergola, M.: History in the Mathematics Classroom: Linkages and Kinematic Geometry, in Jahnke H. N., Knoche N. & Otte M. (hrsg.), Geschichte derMathematik in derLehre, Goettingen: Vandenhoeck & Ruprecht, 39-67 (1996). Blum, L.: Computing over the Reals: Where Turing Meets Newtons, Notices of the AMS (Oct. 2004). Blum, L., Cucker, F., Shub M & Smale S.: Complexity and Real Computation, Springer-Verlag (1998). Bos, H. J. M.: Tractional motion and the legitimation of transcendental curves, Centaurus, 31, 9-62 (1988). Bos, H. J. M.: Recognition and wonder : Huygens, trational motion and some thoughts on the history of mathematics, Tractrix, Yearbook for the history of science, medicine, technology and mathematics, 1, pp. 3-20 (1989). Reprint in Lectures in the History of Mathematics, Providence (Rhode Island): American Mathematical Society, 1993, pp. 1-21; 2nd edition 1997. Bos, H. J. M.: Redefining Geometrical Exactness, Descartes’ Trasformation of the Early Modern Concept of Construction, Springer-Verlag, New York (2001). Descartes R.: La géométrie, appendix of Discours de la méthode (1637). Reprint: New York: Dover, 1954. Huygens, C.: Letter to H. Basnage de Beauval, February 1693, Œuvres, vol. 10, pp. 407-422. Printed in Histoire des ouvrages des sçavants (or Journal de Rotteredam), pp. 244-257 (Feb. 1693). Kempe, A. B.: On a general method of describing plane curves of the nth degree by linkwork. Proceedings of the London Mathematical Society,  VII, 213-216 (1876). Kuhn, T. S.: The Structure of Scientific Revolutions. Chicago: University of Chicago Press (1962).

23. Bibliografia 2/2 Leibniz, G. W.: Supplementumgeometriædimensoriæseugeneralissima omnium tetragonismorumeffectio per motum : similiterque multiplex constructiolineæ ex data tangentiumconditione, Actaeruditorum; Math. Schriften, vol. 5, 294-301 (Sept. 1693). Lipshitz, L. & Rubel, L. A.: A differentially algebraic replacement theorem, and analog computability, Proceedings of the American Mathematical Society 99, no. 2, 367–372 (1987). Pascal, E.: I miei integrafi per equazioni differenziali. Libreria scientifica ed industriale di Benedetto Pellerano, Napoli (1914). Perks, J.: The construction and properties of a new quadratrix to the hyperbola, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 25, 2253-2262 (1706). Perks, J.: An easy mechanical way to divide the nautical meridian line in Mercator’s projection, with an account of the relation of the same meridian line to the curvacatenaria, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 29, 331-339 (1714-1716). Podlubny I.: Fractional Differential Equations.An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, Some Methods of Their Solution and Some of Their Applications. Academic Press, San Diego-Boston-New York-London-Tokyo-Toronto (1999). Pour-El, M. B.: Abstract computability and its relations to the general purpose analog computer. Transactions of the American Mathematical Society 199, 1–28 (1974). Riccati, V.: De usumotustractorii in constructioneæquationumdifferentialiumcommentarius, Bononiæ : Ex typographiaLælii a Vulpe (1752). Shannon, C. E.: Mathematical theory of the differential analyzer, J. Math. Phys. MIT 20, 337–354 (1941). Tournès, D.: VincenzoRiccati's treatise on integration of differential equations by tractional motion, Oberwoalfach Reports, 1, 2738-2741 (2004). Tournès, D.:La construction tractionnelle des équationsdifférentiellesdans la première moitié du XVIIIe siècle, in Histoires de géométriesTextesduséminaire de l’année 2007, Dominique Flament (éd.), Paris: FondationMaison des Sciences de l’Homme, 14p. (2007). Tournès, D.: La construction tractionnelle des équationsdifférentielles. Paris : Blanchard,  (2009). Turing, A.M.: On Computable Numbers with an Application to the Entsheidungsproblem. Proc. London Math. Soc., 42, 230-256 (1936).. Weihrauch, W.: Computable Analysis. Springer-Verlag, Berlino (2000).