Welkom

1. Klik linksonder op de xx knop om te beginnen. Welkom Enkelvoudige interest Klik op de groene knop om verder te gaan.

2. Oefenen met enkelvoudige interest Oefenen met interest over “restdagen” (365 of 360 dagen) Oefenen met sporadisch aflossen. Woord vooraf. Deze presentatie gaat over enkelvoudige interest. Er wordt slechts enige basiskennis verondersteld van het rekenen met procenten, het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze presentatie zijn de volgende oefenbestanden met open vragen gekoppeld: Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.

3. Inhoudsopgave • Interestvormen (enkelvoudige en samengestelde) 1 • Berekening interestbedrag 4 • Leningen met periodieke interestbetaling 7 • Lening met aflossing ineens 8 • Lening met periodiek gelijke aflossingsbedragen 13 • Aflossingsplan 14 • Extra onderwerpen: 21 • Interest over “restdagen” 22 • Interestberekening bij sporadisch aflossen 34 Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.

4. 1 Interest (ook wel geschreven als intrest) of rente is de vergoeding voor het beschikbaar stellen van geld, net als huur de vergoeding is voor het beschikbaar stellen van woonruimte. Voor de ontvanger is het een opbrengst, voor de betaler een kostenpost. De hoogte van het interestbedrag is afhankelijk van vier factoren: • het bedrag dat ter beschikking wordt gesteld (= het kapitaal) • het interestpercentage (of “interestvoet”) • de tijdsduur dat het kapitaal ter beschikking wordt gesteld • de interestvorm Er zijn twee interestvormen: • enkelvoudige interest • samengestelde interest Klik op de gele homeknop als je naar de inhouds- opgave wilt gaan.

5. 2 Eens even kijken of je al weet tot welk verschil in interestbedrag het gebruik van enkelvoudige en samengestelde interest leidt. Je leent voor drie jaar € 2.000 tegen 4% per jaar. Hoeveel interest moet je in deze drie jaar in totaal betalen bij enkelvoudige interest en hoeveel bij samengestelde interest? A. Bij enkelvoudige interest € 80 en bij samengestelde B.interest € 86,53. B. Bij enkelvoudige interest € 80 en bij samengestelde B.interest € 240 C. Bij enkelvoudige interest € 240 en bij samengestelde C.interest € 249,73 D. Ik wil eerst meer uitleg. Klik op het goede antwoord.

6. Je leent voor drie jaar € 2.000 tegen 4% per jaar. Hoeveel interest moet je in deze drie jaar in totaal betalen bij enkelvoudige interest en hoeveel bij samengestelde interest? A. Bij enkelvoudige interest € 80 en bij samengestelde B.interest € 86,53. B. Bij enkelvoudige interest € 80 en bij samengestelde B.interest € 240 C. Bij enkelvoudige interest € 240 en bij samengestelde C.interest € 249,73 D. Nog eens de uitleg.

7. Fout! Het is toch beter dat je eerst eens naar de uitleg kijkt. Klik op de knop.

8. De vraag is hoeveel interest je moet betalen bij enkelvoudige en bij samengestelde interest als je € 2.000 voor drie jaar leent tegen 4% per jaar. Bij enkelvoudige interest wordt alleen over het oorspronkelijke kapitaal interest berekend. Bij samengestelde interest wordt het interestbedrag telkens vanzelf aan het oorspronkelijke kapitaal toegevoegd en moet je dus ook “rente over rente” betalen. Daarom is het interestbedrag bij samengestelde interest telkens weer wat groter dan in de periode ervoor. Door dit verschil in berekening van het interestbedrag loopt het totale bedrag (of eindwaarde) bij samengestelde interest sneller op dan bij enkelvoudige interest. We laten dit zien aan de hand van een kapitaal van € 100.000, dat drie jaar lang wordt uitgeleend en waarbij het interestbedrag op het eind van elk jaar wordt berekend op basis van 5% interest per jaar.

9. ENKELVOUDIGE INTEREST kapitaal interest 1e jaar eindwaarde na 1 jaar interest 2e jaar eindwaarde na 2 jaar interest 3e jaar eindwaarde na 3 jaar SAMENGESTELDE INTEREST kapitaal interest 1e jaar eindwaarde na 1 jaar interest 2e jaar eindwaarde na 2 jaar interest 3e jaar eindwaarde na 3 jaar € 100.000 € 100.000 € 105.000 € 110.000 € 115.000 5% x € 100.000 = € 5.000 5% x € 100.000 = € 5.000 5% x € 100.000 = € 5.000 € 105.000 € 110.250 € 115.762,50 5% x € 100.000 = € 5.000 5% x € 105.000 = € 5.250 5% x € 110.250 = € 5.512,50

10. Bij het berekenen van de interest kun je het percentage het beste omzetten in een perunage. Een percentage van bijvoorbeeld 5% komt overeen met een perunage van 0,05. Dat scheelt weer een handeling bij het intypen van de som op de rekenmachine en het vermindert de kans op fouten bij wat ingewikkeldere berekeningen. Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.

11. 3 Goed Bij enkelvoudige interest hoef je alleen interest over het oorspronkelijke kapitaal te betalen, terwijl je bij samengestelde interest ook “rente over rente” moet betalen. Klik op de groene knop om door te gaan.

12. 4 Bij enkelvoudige interest kun je het interestbedrag altijd berekenen met behulp van de formule: interestbedrag = K x P x T K = kapitaal (of bedrag) waarover interest betaald moet worden P = (interest)percentage (maar je mag er ook interestperunage P = voor lezen; bijvoorbeeld 0,05 in plaats van 5%) T = tijd waarover interest berekend moet worden Het interestpercentage geldt altijd per jaar, tenzij uitdrukkelijk een andere periode wordt vermeld. Geldt het bijvoorbeeld per maand, dan kun je dat overigens gemakkelijk omzetten in een interest-percentage per jaar door het te vermenigvuldigen met twaalf. De tijd moet bij de berekening in dezelfde tijdseenheid worden uitgedrukt als het interestpercentage.

13. 5 Luidt het interestpercentage inderdaad per jaar en wijkt de tijd waarover interest moet worden berekend daarvan af, dan geldt bij het uitdrukken van die tijd in delen van een jaar dat: één kwartaal = jaar, één maand = jaar en één week = jaar 1 1 1 4 12 52 Eens kijken of je weet waaraan een kwartaal volgens deze regel nog meer gelijk is. A. aan twaalf weken en aan drie maanden B. aan twaalf weken en aan vier maanden C. aan dertien weken en aan drie maanden D. aan dertien weken en aan vier maanden

14. 1 1 1 4 12 52 Waaraan is een kwartaal volgens de regel één kwartaal = jaar, één maand = jaar en één week = jaar nog meer gelijk? A. aan twaalf weken en aan drie maanden B. aan twaalf weken en aan vier maanden C. aan dertien weken en aan drie maanden D. aan dertien weken en aan vier maanden

15. Fout! Volgens dit antwoord zou een jaar maar uit 4 x 12 = 48 weken bestaan. Klik op de knop om het opnieuw te proberen.

16. Fout! Volgens dit antwoord zou een jaar uit 4 x 12 = 48 weken bestaan en uit 4 x 4 = 16 maanden. Klik op de knop om het opnieuw te proberen.

17. Fout! Volgens dit antwoord zou een jaar uit 4 x 4 = 16 maanden bestaan. Klik op de knop om het opnieuw te proberen.

18. 6 Goed Klik op de groene knop om door te gaan.

19. 7 In de praktijk is bij leningen waarover periodiek interest berekend wordt, alleen sprake van enkelvoudige interest als het periodieke interestbedrag ook daadwerkelijk aan de geldverschaffer wordt uitbetaald. Gebeurt dat niet, dan is het de gewoonte het interestbedrag als extra lening te zien, waarover ook weer interest moet worden betaald. We zullen nu gaan bekijken hoe je met behulp van de formule K x P x T bij twee soorten leningen met periodieke interest-betaling zowel het periodieke als het totale interestbedrag kunt berekenen. Bij deze leningen is de looptijd van tevoren afgesproken. Daarbij zijn ook het interestpercentage en de lengte van de interestperioden vastgelegd.

20. 8 De eerste lening met periodieke interestbetaling die we bekijken is een lening met aflossing ineens. Bij zo’n lening verandert het kapitaal (K) tussendoor niet. Pas aan het eind van de looptijd wordt de hele lening in één keer terugbetaald, tesamen met het laatste periodieke interestbedrag. Omdat het kapitaal niet verandert en het interestpercentage en de lengte van de interestperioden zijn vastgelegd, blijft ook het periodieke interestbedrag gedurende de gehele looptijd gelijk. Dat periodieke interestbedrag vind je door voor “T” de tijd in te vullen waarover je iedere keer interest moet betalen. Vul je voor “T” de gehele looptijd van de lening in, dan vind je het totale interestbedrag. Je kunt dit totale interestbedrag natuurlijk ook berekenen door alle periodieke interestbedragen bij elkaar op te tellen.

21. 9 Eens kijken of het lukt. Je leent gedurende vijf kwartalen € 2.000 tegen 9%. Daarbij spreek je af aan het eind van elke maand interest te betalen en aan het einde van de looptijd alles in één keer af te lossen. Hoeveel bedraagt het periodieke interestbedrag en hoeveel het totale interestbedrag? A. periodiek € 15 en in totaal € 240 B. periodiek € 15 en in totaal € 225 C. periodiek € 12 en in totaal € 180 D. periodiek € 9 en in totaal € 180

22. Je leent gedurende vijf kwartalen € 2.000 tegen 9%. Daarbij spreek je af aan het eind van elke maand interest te betalen en aan het einde van de looptijd alles in één keer af te lossen. Hoeveel bedraagt het periodieke interestbedrag en hoeveel het totale interestbedrag? A. periodiek € 15 en in totaal € 240 B. periodiek € 15 en in totaal € 225 C. periodiek € 12 en in totaal € 180 D. periodiek € 9 en in totaal € 180

23. Fout! Het interestpercentage geldt per jaar en niet per vijf kwartalen en een kwartaal telt drie maanden en geen vier maanden. Klik op de knop om het opnieuw te proberen.

24. Fout! Het interestpercentage geldt per jaar en niet per vijf kwartalen. Klik op de knop om het opnieuw te proberen.

25. Fout! Je hebt voor het vijfde kwartaal vier maanden geteld in plaats van drie. Klik op de knop om het opnieuw te proberen.

26. 10 Goed Klik op de groene knop om door te gaan.

27. 11 Juist omdat bij een lening met aflossing ineens, de “K” tussendoor niet verandert, kun je met behulp van de formule K x P x T ook vrij eenvoudig het bedrag van de lening “K” berekenen als je alleen het interestpercentage gegeven krijgt en het bedrag dat je aan het eind in één keer moet betalen aan aflossing en periodieke interest. Eens kijken of dat lukt. Aan het eind van een 18%-lening moet je € 14.160 betalen. Dat bedrag bestaat uit de hele aflossing en de interest over de laatste maand. Hoeveel bedraagt afgerond op hele euro’s de oorspronkelijke lening? A. € 13.951 C. € 12.000 B. € 13.948 D. Ik wil eerst meer uitleg.

28. Aan het eind van een 18%-lening moet je € 14.160 betalen. Dat bedrag bestaat uit de hele aflossing en de interest over de laatste maand. Hoeveel bedraagt afgerond op hele euro’s de oorspronkelijke lening? A. € 13.951 B. € 13.948 C. € 12.000 D. Nog eens de uitleg.

29. Fout! Je hebt de interest berekend over het kapitaal plus de interest. Dat mag niet. Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het wel moet.

30. Fout! Je hebt niet gezien dat in het bedrag maar één maand interest zit. Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het wel moet.

31. 1 € 8.610 = K + K x 10% x 4 De vraag is hoeveel de oorspronkelijke lening bedraagt als je aan het eind van een 18%-lening aan aflossing en periodieke maandelijkse interest een bedrag van € 14.160 moet betalen. Laten we er eens van uitgaan dat je een 10%-lening hebt afgesloten, je elk kwartaal interest moet betalen en je de laatste keer inclusief aflossing € 8.610 moet betalen. Het bedrag dat je aan het eind in één keer moet betalen aan aflossing en periodieke interest bestaat uit K + K x P x T. Vul je alle gegevens in, dan krijg je dit: Van K + .. kun je K + K × 0,1 × 0,25 maken en dus K + K × 0,025. Als je K buiten haakjes haalt, krijg je K (1 + 1 × 0,025). Dat is gelijk aan K (1 + 0,025) en dus aan K × 1,025. Nu kun je K uitrekenen via K = € 8.610 / 1,025. K blijkt dus € 8.400 te zijn.

32. Omdat geldt dat 8.610 x 100 = … x 102,5 geldt K = dus K = 8.400. Ter controle kun je ook nog K x P x T uitrekenen. 8.610 x 100 102,5 Je kunt voor deze berekening ook de volgende opstelling maken: Om K uit te rekenen, moet je dus weten wat 100% is. Daar kom je achter door “kruislings te vermenigvuldigen”. Wil je meer weten over kruislings vermenigvuldigen, klik dan op het plaatje.

33. 12 Goed Klik op de groene knop om door te gaan.

34. 13 De tweede lening met periodieke interestbetaling die we bekijken is een lening met periodiek gelijke aflossingsbedragen. Bij deze lening wordt de “K” telkens een stukje kleiner. Daardoor wordt ook het periodieke interestbedrag iedere keer een stukje kleiner. Het bedrag van de periodieke aflossing kun je vrij eenvoudig berekenen door het (begin)kapitaal te delen door het totale aantal aflossingen. De K die je moet gebruiken om het periodieke interestbedrag te berekenen, is wat moeilijker te vinden. Je moet daarvoor de schuldrest aan het begin van de betreffende periode berekenen door van het (begin)kapitaal de som van de aflossingen die al geschied zijn, af te trekken.

35. 14 Om de berekening van de schuldrest aan het begin van de betreffende interestperiode en het betreffende periodieke interestbedrag overzichtelijk te laten verlopen, kun je gebruik maken van een aflossingsplan. In zo’n aflossingplan zet je overzichtelijk bij elkaar om welke periode het gaat, wat de schuldrest aan het begin van die periode is (de “K”), hoeveel de interest over deze periode bedraagt (= K x P x T), hoeveel de periodieke aflossing is en hoeveel de schuldrest aan het eind van die periode is. Bij de interest en de aflossing kun je bovendien een totaaltelling toevoegen.

36. 15 Eens kijken of je al weet hoe dat eruit moet zien. Welk aflossingsplan hoort bij een lening met een looptijd van drie jaar, waarbij aan het eind van elk jaar naast de interest € 100 wordt afgelost en de interest 8% is? A. C. B. D. Ik wil eerst meer uitleg.

37. Welk aflossingsplan hoort bij een lening met een looptijd van drie jaar, waarbij aan het eind van elk jaar naast de interest € 100 wordt afgelost en de interest 8% is? A. C. B. D. Nog eens de uitleg.

38. Fout! Omdat de aflossing in één keer aan het eind van het jaar gebeurt, mag je de interest niet berekenen over het gemiddelde van de schuldrest aan het begin en het eind van het jaar. Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het wel moet.

39. Fout! Je hebt geen rekening gehouden met de aflossing. Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het wel moet.

40. De vraag is welk aflossingsplan hoort bij een lening met een looptijd van drie jaar, waarbij aan het eind van elk jaar naast de interest € 100 wordt afgelost en de interest 8% is. Stel dat je voor de duur van vier maanden € 600 leent tegen 8% en dat je afspreekt op het eind van elke maand € 150 af te lossen. Daarnaast betaal je op het eind van elke maand de interest. Je kunt dan het volgende aflossingsplan opstellen: Klik hier om de bedragen te zien.

41. De vraag is welk aflossingsplan hoort bij een lening met een looptijd van drie jaar, waarbij aan het eind van elk jaar naast de interest € 100 wordt afgelost en de interest 8% is. Stel dat je voor de duur van vier maanden € 600 leent tegen 8% en dat je afspreekt op het eind van elke maand € 150 af te lossen. Daarnaast betaal je op het eind van elke maand de interest. Je kunt dan het volgende aflossingsplan opstellen: 600 4 150 450 600 x 8% x 1/12 = 600 - 150 = 450 3 150 300 450 x 8% x 1/12 = 450 - 150 = 300 2 150 150 300 x 8% x 1/12 = 300 - 150 = 150 1 150 0 150 x 8% x 1/12 = 150 - 150 = 10 600 Zoals je ziet wordt de interest altijd over de beginschuldrest van de betreffende periode berekend en is deze beginschuld- rest gelijk aan de eindschuldrest van de periode daarvoor.

42. 16 Goed Klik op de groene knop om door te gaan.

43. 17 Als je zo’n aflossingsplan handmatig moet opstellen kost dat nogal wat tijd. Omdat de onderlinge verbanden vaststaan is het in Excel zo gebeurd. Klik op het uiltje als je dat eens wilt doen. Om het totale interestbedrag te berekenen moet je bij een lening met periodiek gelijke aflossingsbedragen, net als bij een lening met aflossing ineens, voor “T “de totale looptijd invullen. Voor “K” zul je nu echter de gemiddelde beginschuldrest moeten invullen.

44. 18 € 600 + € 75 × 11% × 8/12 2 € 600 + € 0 × 11% × 8/12 2 Eens kijken of je weet hoe dat gaat. Wat is de juiste berekening van het totale interestbedrag als je een bedrag van € 600 leent tegen 11% en dit bedrag in acht maanden aflost door aan het eind van elke maand naast de interest over die maand € 75 af te lossen? A. B. C. € 600 × 11% × 8/12 D. Ik wil eerst meer uitleg.

45. € 600 + € 75 × 11% × 8/12 2 € 600 + € 0 × 11% × 8/12 2 Wat is de juiste berekening van het totale interestbedrag als je een bedrag van € 600 leent tegen 11% en dit bedrag in acht maanden aflost door aan het eind van elke maand naast de interest over die maand € 75 af te lossen? A. B. C. € 600 × 11% × 8/12 D. Nog eens de uitleg.

46. Fout! Je hebt er geen rekening mee gehouden dat je altijd interest over de schuldrest aan het begin van de periode moet betalen. Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het wel moet.

47. Fout! Je houdt er geen rekening mee dat wordt afgelost. Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het wel moet.

48. maand 1 maand 2 maand 3 maand 4 maand 5 De vraag is wat de juiste berekening is van het totale interest-bedrag als je een bedrag van € 600 leent tegen 11% en dit bedrag in acht maanden aflost door aan het eind van elke maand naast de interest over die maand € 75 af te lossen. Hieronder is het verloop weergegeven van een lening van € 300 die in vijf maanden wordt terugbetaald, door aan het eind van elke maand naast het bedrag van de interest € 60 af te lossen. De interest bedraagt 12%. Alleen het bedrag waarover in de betreffende maand interest betaald moet worden is aangegeven. Dat is gebeurd in de vorm van blokjes. Elk blokje stelt € 60 voor.

49. maand 1 maand 2 maand 3 maand 4 maand 5 Bij enkelvoudige interest wordt over elk blokje evenveel interest berekend. In dit geval is dat € 60 x 12% x 1/12 = € 0,60. Door twee blokjes van maand 1 over te hevelen naar maand 5 en één blokje van maand 2 naar maand 4 zie je dat je in totaal evenveel interest moet betalen als wanneer je € 180 voor vijf maanden leent zonder tussentijds af te lossen. Klik hierop om dit te zien.

50. maand 1 maand 2 maand 3 maand 4 maand 5 Die € 180 kun je berekenen als het gemiddelde van de beginschuldrest in de eerste maand (€ 300) en de beginschuldrest in de laatste maand (€ 60), dus: beginsch. eerste periode + beginsch. laatste periode gemiddelde beginschuldrest = 2 Bij enkelvoudige interest wordt over elk blokje evenveel interest berekend. In dit geval is dat € 60 x 12% x 1/12 = € 0,60. Door twee blokjes van maand 1 over te hevelen naar maand 5 en één blokje van maand 2 naar maand 4 zie je dat je in totaal evenveel interest moet betalen als wanneer je € 180 voor vijf maanden leent zonder tussentijds af te lossen.