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Zu Kap I.8.3. Formale Lösung mit Greenscher Funktion

dann wird die Poisson-Gleichung. für beliebige gelöst durch. Zu Kap I.8.3. Formale Lösung mit Greenscher Funktion. Erinnerung: heißt eine Greensche Fktn. des Operators  , falls. Beispiel:. ist Greensche Funktion mit Dirichlet-Randbedingung.

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Zu Kap I.8.3. Formale Lösung mit Greenscher Funktion

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  1. dann wird die Poisson-Gleichung für beliebige gelöst durch Zu Kap I.8.3. Formale Lösung mit Greenscher Funktion • Erinnerung: • heißt eine Greensche Fktn. des Operators , falls

  2. Beispiel: • ist Greensche Funktion mit Dirichlet-Randbedingung • ist partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung ()

  3. G0 ist partikuläre Lösung der inhomogenen Gl. () • also: allgemeine Lösung zu () lautet mit F  allgemeine Lösg. der homogenen Gl. zu (), d.h. (F ist eine harmonischeFunktion) • F muss so gewählt werden, dass Randbedingungen erfüllt werden!

  4. ℝ • F (und somit G) sollen nur von Geometrie von abhängen • Lösung soll als Integral über und Randbedingungen formuliert werden Randwertproblem: Gebiete , z.B. Metallkörper Lösung gesucht auf , mit (Dirichlet) oder (von Neumann) vorgegeben (Randbedingungen).

  5. Setze nun voraus: F, G sind für das Gebiet bekannt Unsere Aufgabe: Konstruktion der Lösung  Bemerkung: • Bestimmung von F (für beliebige ) i.a. schwierig; nur in Spezialfällen ( Symmetrien) analytisch machbar (z.B. durch Spiegelladungsmethode, s.o.) • Falls überhaupt ein F existiert, ist es eindeutig (wegen Eindeutigkeitssatz, s.o.) • Konstruktion ist rein formal, aber für theoretische Untersuchungen von großer Bedeutung und Aussagekraft

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