Peubah acak dan distribusi Peluang Diskret

1. Peubah acak dan distribusi Peluang Diskret

2. Peubah Acak Probasbility/Peluang = kemungkinan terjadinya suatu kejadian Ruang sample = jumlah kejadian yg mungkin dalam percobaan statistik Ruang sampel diskret Contoh 1: Dua bola diambil satu demi satu tanpa dikembalikan dari suatu kantung berisi 4 bola merah dan 4 bola hitam. Bila Y menyatakan jumlah bola merah yg diambil maka nilai y yang mungkin dari peubah acak Y adalah T = {MM, MH, HM, HH}

3. Contoh 2 Tiga orang petani : Pak Ali, Badu dan cokro menitipkan pecinya pada seorang anakl. Sore harinya si anak mengembalikan peci tersebut secara acak/sembarang pada ketiga petani tersebut. Bila Ali, Badu dan Cokro dalam urutan seperti itu menerima peci dari si anak, maka tuliskan dan titik sampel untuk semua urutan yg mungkin mendapatkan peci tersebut dan kemudian cari nilai C dari peubak acak C ug menyatakan jumlah urutan yg cocok. Jawab Bila A,B dan C menyatakan masing-masing peci Pak Ali, Badu dan Cokro dalam urutan yg betul, maka susunan pengembalian peci yg mungkin sesuai ( c )adalah

4. Contoh 3 Percobaan yg dilakukan terhadap suatu merek mobil, tentang kemungkinan kemampuan jarak tempuh dengan 5 liter bensin. Contoh 4 Kemungkinan lama waktu bagi percobaan suatu reaksi kimia Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang berhingga banyaknya atau sederetan anggota yang banyaknya sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel diskret (contoh 1,2) Bila ruang sampel mengandung titik sampel yang tak berhingga banyaknya dan banyaknya sebanyak titik pada sepotong garis, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel kontinu (contoh 3,4)

5. Distribusi Peluang Diskret Bila kejadian sederhana pada contoh 2 diberi bobot sama maka peluang bahwa tidak ada petani yg menerima kembali topinya yg benar, yaitu peluang C yg mendapat nilai 0 adalah 1/3. Kemungkinan nilai c dari C dan peluangnya, diberikan oleh c 0 1 3 P(C=c) 1/3 ½ 1/6 Peluang semua kejadian = 1 P(C=c) = f ( c )

6. Jadi f (x) = P (X = x); yaitu f(3) = P(X=3) Himpunan pasangan terurut (x, f(x)) disebut fungsi peluang atau distribusi peluang peubah acak diskret X. Disebut distribusi peluang peubah acak diskret X bila untuk setiap kemungkinan hasil x 1. f (x) > 0 2. ∑ f (x) = 1 3. P(X =x) = f (x)

7. Distribusi Binomial Suatupercobaanseringterjadiatasbeberapausaha, tiapusahadenganduakemungkinahasil : suksesataugagal. misalnyapengujianhasilproduksi: cacatdantidakcacat Proses Bernoulli 1. Percobaanterdiriatas n usahaygberulang 2. Tiapusahamemberihasilygdapatdikelompokkanmenjadisuksesataugagal 3. Peluangsukses, dinyatakandengan p, tidakberubahdariusaha yang satuke yang satuberikutnya. 4. Tiapusahabebasdenganusahalainnya

8. Contoh Pandang suatu kelompok usaha Bernoulli yg berupa pengambilan tiga bahan secara acak dari suatu hasil pabrik, diperiksa, dan kemudian yg cacat dipisahkan dari yg tidak cacat. Bahan yg cacat akan disebut C dan yang tidak cacat disebut T. Banyaknya sukses merupakan suatu peubah acak X dengan nilai bilangan bulat dari nol sampai 3. Kedelapan hasil yg mungkin (C = cacat, T = tak cacat) dan nilai x adalah seperti di atas. Karena bahan tersebut dipilih secara bebas dari hasil proses yg dianggap menghasilkan 25% bahan yang cacat, maka P(TCT) = P(T) P( C ) P (T) = (3/4) (1/4) (3/4) = 9/64

9. Peluang untuk kemungkinan hasil yg lain dihitung dg jalan yg sama. Jadi distribusi peluang X adalah x 0 1 2 3 f (x) 27/64 27/64 9/64 1/64 Banyaknya x yg sukses dalam n usaha bernoullidisebut peubah acak binomial. Distribusi peluang peubah acak diskret ini disebut distribusi binomial dan akan dinyatakan dengan b(x;n,p), karena nilainya tergantung pada banyaknya usaha (n) dan peluang sukses dalam suatu usaha (p) Jadi untuk distribusi peluang X, bila X banyaknya cacat dalam contoh di atas, P(X=2) = f(2) = b(2;3,1/4) = 9/64

10. Distribusi binomial Suatuusaha Bernoulli dapatmenghasilkansukses dg peluang p dangagal dg peluang q = 1-p, makadistribusipeluangpeubahacak binomial X, yaitubanyaknyasuksesdalam n usahabebas, ialah b (x;n,p) = ( ) p q x = 1,2,….., n n x n-x x Perhatikan bahwa bila n = 3 dan p = ¼, distribusi peluang X, yaitu banyaknya yg cacat, dapat ditulis sebagai x 3-x ( ) ( ) ( ) 3 1 3 b (x;3,1/4) = x 4 X = 1,2,3 4 Teorema Chebyshev : μ = np σ2 = npq

11. Contoh binomial Suatusukucadangdapatmenahanujigoncangantertentudenganpeluang ¾. Hitunglahpeluangbahwatepat 2 dari 4 sukucadang yang diujitidakakanrusak. Jawab: Misalkantiappengujianbebas, jadipengujian yang satudengan yang lain tidakmempengaruhiataudipengaruhi yang berikutnya. Jadi p = ¾ untuktiapkeempatpengujian, sehingga b (2;4, ¾) = ( )(3/4 )2 ( 1/4 )4-2 = 4! 32 2! 2! 44 = 27 128 4 2

12. Biasanya, soalygdihadapimengharuskankitamenghitung P (X<r) atau P(a< X < b). Dalamhalinipenyelesaianakandibantuolehtabel L.1 Contohsoal Peluanguntuksembuhseorangpenderitapenyakitdarahygjarangadalah 0,4. Biladiketahuiada 15 orang yang telahmengidappenyakittersebut, berapakahpeluang 1. paling sedikit 10 akansembuh, 2. antara 3 sd 8 yang sembuh 3. tepat 5 yang sembuh Jawab Misal X penderitaygsembuh P(X > 10 ) = 1- P(X<10) = 1 - ∑ b(x;15, 0,4) = 1 – 0,9662 = 0.0338 9 X=0

13. 2. P (3< X < 8) = ∑ b (x;15,0,4) = ∑ b (x;15,0,4) - ∑ b (x;15,0,4) = 0,9050 – 0,0271 = 0,8779 3. (P(X=5) = b (5;15,0,4) = ∑ b (x;15,0,4) - ∑ b (x;15,0,4) = 0,4032 – 0,2173 = 0,1859 8 X=3 2 8 X=0 X=0 5 X=4 X=0 x=0

14. Hitung rataan dan variansi peubah acak binomial untuk contoh di atas dengan terorema chebyshev untuk menafsir selang μ+ 2 σ μ = np = 15 ( 0,4) = 6 σ2 = npq = (15) (0,4) (0,6) = 3,6 σ = 1,897 selang yg ditanya adalah 6 + (2 x 1,897) = 2,206 – 9,794

15. Distribusi Hipergeometrik Perbedaan antara distribusi binomial dengan distribusi hipergeometrik terletak dari cara pengambilan sampelnya. Pada binomial pengambilan sampel dilakukan dengan pengembalian (diperlukan kebebasan antar usaha ), seperti pada sekotak kartu, sejumlah barang produksi. Sedangkan pada hipergeometrik dilakukan pengambilan sampel tanpa pengembalian, misal pengujian elektronik, pengendalian mutu. Suatu percobaan geometrik memiliki sifat berikut: 1. Sampel acak ukuran n diambil tanpa pengembalian dari N benda; 2. Sebanyak k benda dapat diberi nama sukses sedangkan N-k diberi nama gagal.

16. Distribusihipergeometrik; distribusipeluangpeubahacakhipergeometrik X, yaitubanyaknyasuksesdalamsampelacakukuran n ygdiambildari N bendaygmengandung k bernamasuksesdan N-k bernamagagal, ialahh (x;N,n,k) = ( ) ( ) ( ) Rataan = μ = nk Variansi = σ = N-n (n) k (1- k ) N-k n-x k X X = 0,1,2,….,n N n N N-1 N N

17. Contoh Pada pengambilan terhadap kota yang berisi 52 kartu bridge. Pengambilan dilakukan tanpa pengembalian. Bila 5 kartu diambil secara acak, berapa peluang terambilnya 3 kartu merah dari 26 kartu merah dan peluang terambilnya 2 kartu hitam dari 26 kartu hitam yang ada di dalam kotak. Banyaknya cara untuk pengambilan 3 kartu merah dan 2 kartu hitam adalah ( ) ( ) banyaknya cara pengambilan 5 kartu tanpa pengembalian adalah ( ) Peluang untuk mengambil 5 kartu tanpa pengembalian dengan 3 merah dan 2 hitam adalah: Jawab: ( ) ( )( 26!/ 3 ! 23! ) (26! / 2! 24!) = 0,3251 ( ) (52! / 5! 47!) 26 2 26 3 52 5 26 26 3 2 = 52 5

18. Distribusi Poisson Suatupercobaan Poisson mendapatnamadariproses Poisson danmemilikisifatberikut: Banyaknyahasilygterjadidalamsuatuselangwaktuataudaerahtertentutidakterpengaruholeh (bebasdari ) apa yang terjadipadaselangwaktuataudaerah lain yang terpisah. Dalamhubunganiniprosespoissondisebuttakpunyaingatan. Peluangterjadinyasuatuhasil (tunggal) dalamselangwaktuygamatpendekataudalamdaerah yang kecilsebandingdenganpanjangselangwaktuataubesarnyadaerahdantidaktergantungpadabanyaknyahasil yang terjadidiluarselangwaktuataudaerahtersebut. Peluangterjadinyalebihdari 1 hasildalamselangwaktuygpendekataudaerah yang sempitdapatdiabaikan.

19. Distribusi Poisson; distribusipeluangpeubahacak Poisson X, yang menyatakanbanyaknyasuksesygterjadidalamsuatuselangwaktuataudaerahtertentudinyatakandengan t, diberikanoleh e-λt (λt )x λt menyatakan rata2 banyaknyasuksesygterjadi per satuanwaktuataudaerahtersebutdan e = 2,71828….. Rataandanvariansidistribusi Poisson p (x; λt) keduanyasamadenganλt p (x; λt ) = X!

20. Contoh Rata-rata banyaknya partikel yg melewati suatu penghitung selama 1 milidetik dalam suatu percobaan di laboratorium adalah 4. Berapakah peluang 6 partikel melewati penghitung itu dalam 1 milidetik tertentu? Jawab Dengan menggunakan distribusi poisson untuk x = 6 dan λt = 4, dari tabel L.2 diperoleh p (6;4 ) = e-4 (6 )6 = ∑ p (x;4) - ∑ p (x;4) 6! = 0,8893 – 0,7851 = 0,1042 X=6 X=5 X=0 X=0

21. Latihan Distribusi Binomial Seorangdipilihdari 10 karyawanuntukmengawasisuatuproyekdengancaramemilihsatugulungankertasdarisebuahkantungberisi 10 gulunganbernomor 1 sampai 10. Bila X adalahpeubahacakygmenyatakanbilanganygtertulisdalamgulungankertasygdiambilsecaraacak, carilahrumusdistribusipeluang X. Berapakahpeluangmengambilbilanganlebihkecildari 4? Dalampengujiansejenis ban trukmelaluijalanygkasarditemukanbahwa 25% trukmengalamikegagalankarena ban pecah. Dari 15 trukygdiujiselanjutnya, carilahpeluangnyabahwa a. dari 3 sd 6 mengalami ban pecah b. kurangdari 4 ygmengalami ban pecah c. lebihdari 5 ygmengalami ban pecah

22. DistribusiHipergeometrik Dari sebuahkotakberisi 10 peluru, diambil 4 secaraacakdankemudianditembakkan. Bilakotak itumengandung 3 peluru yang cacat yang tidakakanmeledak, berapakahpeluang a. keempatnyameledak b. paling banyak 2 ygmeledak 2. Sebuahperusahaaninginmenilaicarapemeriksaanygsekarangdalampengiriman 50 barangygsama. Cara inidenganmengambilsampelsebesar 5 danlolospemeriksaaanbilaberisitidaklebihdari 2 ygcacat. Berapaproporsipengirimanygmengandung 20 % cacatakanlolospemeriksaan?

23. Distribusi Poisson Peluangpembeliansuatutelevisiberwarnadisuatutokotelevisiadalah 0,3. Hitunglahpeluangbahwapembeliantelevisiygkesepuluhditokotersebutakanmerupakanpembeliantelevisisberwarnaygke 5. Misalkanpeluang 0.8 bahwasetiaporangakanpercayatentangdesasdesusmengenaihubungangelapseorangbintangterkenal. Berapakahpeluangnya a. orang ke-6 ygmendengarberitatsbmerupakanorang ke-4 ygmempercayainya? b. orang k-3 ygmendenganberitatsbmerupakanorangpertamaygmempercayainya?

24. Distribusi Normal Dsitribusi peluang kontinu yg paling terpenting dalam seluruh bidang statistika adalah distribusi normal.