Liczby Ramseya

1. Liczby Ramseya Klaudia Sandach

2. Plan prezentacji: • Teoria Ramseya • Wartości liczb Ramseya • O czym mówi teoria Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

3. Teoria Ramseya Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

4. Frank Ramsey (1903 -1930) Wniósł trwały wkład do logiki, matematyki i ekonomii oraz do filozofii tych dyscyplin nauki. Nurtującymi go kwestiami w ekonomii był problem optymalnego systemu podatkowego (Problem Ramseya) oraz kwestia optymalnego wydawania i oszczędzania przez konsumentów (Model Ramseya). Na początku roku 1930 Ramsey udowodnił twierdzenie z teorii grafów, nazywane dziś twierdzeniem Ramseya i opracował teorię Ramseya dotyczącą podobnych zagadnień. Zdecydowanie sprzeciwiał się formalizmowi Hilberta w matematyce, był też przekonany, że matematyka daje się sprowadzić do logiki. Zmarł po operacji w wieku niecałych 27 lat. Jego przedwczesna śmierć jest uważana za jedną z największych strat dwudziestowiecznej filozofii. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

5. Twierdzenie Ramseya (dwukolorowe) Niech c będzie dodatnią liczbą całkowitą i niech k będzie dodatnią liczbą całkowitą mniejszą od c. Wówczas istnieje dodatnia liczba całkowita R taka, że jeżeli wszystkie k-elementowe podzbiory zbioru {1,…, R} zostaną pokolorowane na czerwono lub zielono, to będzie istniał c-elementowy podzbiór zbioru {1,…, R}, którego wszystkie k-elementowe podzbiory będą tego samego koloru. Taka najmniejsza możliwa liczba R nazywa się „liczbą Ramseya”. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

6. Przypadek k=1 • Jeżeli każdy jednoelementowy podzbiór zbioru {1,2,…,7} zostanie pokolorowany na czerwono lub zielono, to niezależnie od kolorowania będzie istniał czteroelementowypodzbiór zbioru {1,2,…,7}, którego wszystkie jednoelementowe podzbiory będą miały ten sam kolor. • Tu: c=4, R=7 Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

7. Przypadek k=1 • Ten przypadek jest prostym uogólnieniem zasady szufladkowej. • Np.: jeżeli umieścimy liczby ze zbioru {1,2,…,7} w dwóch szufladkach (czerwonej i zielonej), to jedna z tych szufladek musi zawierać co najmniej cztery liczby. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

8. Przypadek k=2 • Jeżeli każdy dwuelementowy podzbiór zbioru {1,2,…,18} zostanie pokolorowany na czerwono lub zielono, to niezależnie od kolorowania będzie istniał czteroelementowy podzbiór zbioru {1,2,…,18}, którego wszystkie dwuelementowe podzbiory będą miały ten sam kolor. • Tu: c=4, R=18 Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

9. Przypadek k=2 • Ten przypadek dotyczy kolorowania dwuelementowych podzbiorów i może być interpretowany jako kolorowanie krawędzi grafu. Dlatego przy k=2 twierdzenie Ramseya można traktować jako kombinatoryczny aspekt teorii grafów. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

10. Przykład Wśród dowolnych sześciu osób zawsze znajdziemy: • Albo trzy osoby, które znają się wzajemnie (każda z każdą) • Albo trzy osoby, które nie znają się wcale (żadna z żadną) Innymi słowy kolorując krawędzie grafu K6 na czerwono lub zielono, zawsze otrzymamy podgraf K3o wszystkich krawędziach tego samego koloru. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

11. Dowód • Każda osoba to inny wierzchołek grafu • Każdą parę osób (wierzchołków) łączymy krawędzią • Otrzymujemy graf pełny K6 • Każdej krawędzi nadajemy kolor zielony (osoby znają się) lub czerwony (osoby nie znają się) • Ustalamy dowolny wierzchołek v • Z v wychodzi pięć krawędzi, więc co najmniej trzy są w tym samym kolorze (np. zielonym) Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

12. Dowód • Oznaczmy wierzchołki na drugich końcach tych krawędzi jako w, x, y • vw, vx i vy są zielone: • Jeśli wx, xy lub yw będą zielone, to pojawi się zielony trójkąt vwx, vxy lub vwy • Jeśli wx, xyi yw będą czerwone, to otrzymamy czerwony trójkąt wxy Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

13. Rozważmy mniejszy graf Gdybyśmy zamiast grafu K6 rozważyli K5, to bardzo łatwo pokazać, że można pokolorować jego krawędzie na czerwono lub zielono, nie otrzymując jednokolorowego podgrafu K3. Zatem n=6 jest najmniejszą liczbą taką, że jeżeli krawędzie grafu Kn pokolorowane są na zielono lub czerwono, to istnieje podgraf K3 czerwony lub zielony. Uogólnijmy ten fakt na większe liczby. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

14. Twierdzenie: Niech będą liczbami całkowitymi i niech . Wówczas, jeżeli krawędzie grafu Kn są pokolorowane na czerwono lub zielono, to istnieje czerwony podgraf Kr albo zielony podgraf Kg. Korzystając z twierdzenia można zdefiniować liczbę Ramseya R(r,g) jako najmniejszą liczbę całkowitą n mającą wyżej opisaną własność. Nazwy kolorów są bez znaczenia, więc R(r,g) = R(g,r). Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

15. Oszacowanie dla liczb Ramseya Twierdzenie: Dla liczba Ramseya spełnia nierówności Nierówność z prawej strony wynika z poprzedniego twierdzenia. Na podstawie definicji jest najmniejszą liczbą całkowitą n o przedstawionej własności kolorowania i na mocy twierdzenia ma tę własność. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

16. Twierdzenie Ramseya (2)* Dla każdej liczby naturalnej k istnieje taka liczba naturalna n, że wśród dowolnych n osób zawsze znajdziemy: • Albo k osób, które znają się wzajemnie (każda z każdą) • Albo k osób, które nie znają się wcale (żadna z żadną) Najmniejsze takie n, którego istnienie gwarantuje powyższe twierdzenie, oznaczamy przez R(k) i nazywamy k-tą liczbą Ramseya. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

17. Wartości liczb Ramseya Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

18. źródło: "Optymalizacja dyskretna, modele i metody kolorowania grafów." pod redakcją Marka Kubale, WNT 2002.

19. R(5,5) • Wiadomo tylko, że • Graf K43 ma krawędzie. Analizując ich wszystkie możliwe dwukolorowania, należy rozpatrzeć przepadków. Przekracza to możliwości najszybszych komputerów. • Dla kolejnych liczb Ramseya obliczenie ich wartości jest jeszcze trudniejsze. • Nie istnieje dla nich także żaden jawny wzór. • Prawdopodobnie nigdy nie dowiemy się ile wynosi 6 i 7 liczba Ramseya. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

20. Co wynika z teorii Ramseya? Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

21. Wnioski • Jeżeli pokolorujemy elementy pewnego, dostatecznie dużego zbioru, to musi zajść w ramach tego kolorowania pewna prawidłowość. • Niemożliwy jest nieskończony nieporządek. • Nieuchronność pojawienia się pewnych regularności w dużych strukturach. • Dla każdego małego obiektu matematycznego możemy zawsze znaleźć odpowiednio dużą strukturę, w której obiekt ten musi się pojawić. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

22. Twierdzenie typu ramseyowskiego Niechbędą liczbami całkowitymi i załóżmy, że dane jest konkretne drzewo T na wierzchołkach. Wówczas, jeżeli każda krawędź grafu pełnego K(r-1)(g-1)+1 jest pokolorowana na czerwono lub zielono, to istnieje graf pełny Kr o barwie czerwonej lub drzewo T o barwie zielonej. Ponadto (r-1)(g-1)+1 jest najmniejszą liczbą o tej własności. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

23. Przykład Pokazać, że jeżeli każda z liczb {1,2,3,4,5} jest pokolorowana na czerwono lub zielono, to będą istniały liczby (niekoniecznie różne) o tej samej barwie takie, że . Rozwiązanie: … Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

24. Twierdzenie Ramseya, a wielokąty wypukłe • Zbiór na płaszczyźnie jest wypukły, jeżeli odcinek łączący dowolne dwa punkty należące do zbioru również do niego należy. • Wypukła otoczka (dla dowolnego określonego zbioru na płaszczyźnie) jest to najmniejszy zbiór wypukły zawierający zadany zbiór. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

25. Własności • Pokazać, że jeżeli wyznaczymy na płaszczyźnie pięć punktów, z których żadne trzy nie leża na jednej prostej, to cztery spośród tych punktów utworzą wierzchołki wypukłego czworokąta. • Pokazać, że jeżeli punktów na płaszczyźnie nie tworzy wierzchołków wypukłego wielokąta, to pewne cztery punkty spośród nich nie utworzą wierzchołków wypukłego czworokąta. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

26. Twierdzenie typu ramseyowskiego (2) Niech r będzie dodatnią liczbą całkowitą. Wówczas istnieje liczba całkowita R taka, że dowolnych R punktów na płaszczyźnie, z których żadne trzy nie leżą na prostej, musi zawierać r punktów, które tworzą wierzchołki wypukłego wielokąta. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

27. Stanisław Radziszowski Jest autorytetem w dziedzinie liczb Ramseya, jego artykuł „Small Ramsey Numbers” publikowany w ElectronicJournal of Combinatorics jest podstawowym tekstem tej teorii. W 1995 r. wraz z Brendanem McKay wyznaczył liczbę R(4,5), co jest uważane za jego najbardziej spektakularny sukces. Profesor Radziszowski urodził się w Gdańsku 7 czerwca 1953 r, tytuł doktora uzyskał na Uniwersytecie Warszawskim. Od 1985 roku jest profesorem informatyki na Politechnice w Rochester (stan Nowy Jork). Pracował również w UniversidadNacionalAutónoma de México. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

28. Bibliografia • Aspekty kombinatoryki, Victor Bryant • Największa liczba na świecie, Tomasz Bartnicki • http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_Ramseya • http://pl.wikipedia.org/wiki/Stanis%C5%82aw_Radziszowski Klaudia Sandach, Liczby Ramseya

29. Dziękuję za uwagę. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya