2.hét

1. 2.hét Üzleti tervezés statisztikai alapjai

2. Idősorok elemzése Az idősorok elemzésének egyszerűbb eszközei: • Számtani átlag • Kronologikus átlag • Dinamikus viszonyszám • Átlagos abszolút eltérés • Átlagos relatív eltérés

3. Idősorok grafikus ábrázolása Grafikus ábrázolás: Az idősorok alaptendenciáinak tömör, áttekintő jellemzése. Fő típusai: • Állapotidősorok: az időbeli ismérv értékei egy-egy időponthoz tartoznak ezért célszerű ábrázolásuk egy-egy pont. Az állapotidősor javasolt ábrája a pontdiagram. • Tartamidősorok: a vízszintes tengelyen elvben intervallumok szerepelnek, a jelenséget pedig célszerű ezen intervallumok fölé rajzolt oszlopokkal (téglalapokkal) bemutatni.

4. Az idősorok komponenseinek elkülönítése A jelenségek fejlődése, alakulása, és így az azoknak megfelelő idősor számos tényező együttes hatásának az eredménye. Az egy-egy jelenség változását befolyásoló sok-sok tényezőről mélyebb, részletesebb információnk általában nincs. Az idősorelemzés megközelítési módjai: • determinisztikus • sztochasztikus idősorelemzés. A valószínűség-számítás szemszögéből nézve az idősorok adatai az időben véletlenszerűen lejátszódó, vagyis sztochasztikus folyamatok empirikus adatai.

5. Az idősorok összetevői A statisztikai elemzés szempontjából négy komponenst különböztetünk meg:: • alapirányzat vagy trend, • periodikus ingadozás, • ciklus, • véletlen ingadozás.

6. Alapirányzat vagy trend Jele: Jellemzői: • az idősorban tartósan érvényesülő tendencia • a fejlődés legfontosabb komponense. • több tényező együttes hatásának a következménye, • alapvetően társadalmi-gazdasági törvényszerűségek határozzák meg.

7. Periodikus ingadozás Jele: sj Jellemzői: • Az idősorokban rendszeresen ismétlődő hullámzás. • Leggyakoribb típusai: az idényszerű vagy szezonális ingadozások • Az idényhatás állandó periódushosszúságú hullámzás, ritmikus ingadozás; • általában olyan idősorokban állapíthatjuk meg jelenlétét, amelynek adatai egy évnél rövidebb időszakra (hónap, negyedév) vonatkoznak. • Vannak olyan periodikus hullámzások is, amelyeknél a periódus rövidebb, mint egy év.

8. Ciklus Jele: c Jellemzői: • Olyan periodikus ingadozás az idősorban, amely kevésbé szabályos, jelenlétét csak hosszabb idősorok alapján lehet felfedni és tanulmányozni. • Az ingadozások periódusának hosszúságát egyrészt természeti okok is befolyásolhatják • Fő típusai az ún. gazdasági (konjunktúra) ciklusok.

9. Véletlen ingadozás Jele: vij Jellemzői: • Ezt az összetevőt valószínűségi változónak tekintjük. • Véletlennek igen sok, egyenként nem jelentős, egymás hatását elősegítő vagy keresztező végső eredményét tekintjük. • A véletlen hatás eredménye, hogy az idősorok adatai a trendből, illetve a periodikus komponensből adódó görbe körül sztochasztikusan ingadoznak.

10. Idősorok elemzésének feladatai • A fejlődés alapirányzatát megismerése, miközben eltekintünk a többi összetevőitől. Az idősort tehát mintegy ki akarjuk simítani: a szezonális, a ciklikus és a véletlen ingadozást "el akarjuk tüntetni", hogy a trendvonalat tisztán lássuk. • A mozgó átlagolás és a regressziós módszerekből származtatható analitikus kiegyenlítéssel számszerűsíteni az idősorban rejlő tendenciákat. • Az idényszerű hullámzás jellemzőinek mérése, amelynek során természetesen ki kell küszöbölni az idősorban érvényesülő trendhatást és a véletlen ingadozást, valamint - amennyiben a vizsgált idősorban előfordul - a gazdasági ciklus hatását. • A konjunktúrahullám (gazdasági ciklus) kimutatása (a többi hatás kiszűrésével). • A véletlen hatások kezelése.

11. Additív és multiplikatív komponensek A gyakorlati idősorok esetében nem mindig jelenik meg minden komponens egyszerre. A komponensek közötti összefüggés lehet: • Additív • Multiplikatív Ha az idősor periodicitására is tekintettel vagyunk, akkor az idősor komponenseinek additív kapcsolódását tükröző alapképlet: ahol yij, az i-edik periódus (pl. év) j-edik szakaszának (pl. hónap) empirikus adata; az alapirányzat; sj, a szezonális ingadozást (bármely i-edik periódus j-edik szakaszában) fejezi ki; c, a szabálytalan hosszabb távú ingadozásokat leíró ciklikus komponens (konjunktúraciklus; vij, a véletlen komponensnek egy megvalósult értéke, amelyekről többnyire csak azt feltételezik, hogy 0, illetve 1 körül ingadoznak, azaz a várható értékük 0, illetve 1.

12. Additív és multiplikatív komponensek A jelenségek széles körében feltételezhetjük az összetevők kapcsolódásának multiplikatív módját, amely esetében a komponensadatok szorzata egyenlő a tapasztalati adattal: ahol yij, az i-edik periódus (pl. év) j-edik szakaszának (pl. hónap) empirikus adata; az alapirányzat; sj, a szezonális ingadozást (bármely i-edik periódus j-edik szakaszában) fejezi ki; c, a szabálytalan hosszabb távú ingadozásokat leíró ciklikus komponens (konjunktúraciklus; vij, a véletlen komponensnek egy megvalósult értéke, amelyekről többnyire csak azt feltételezik, hogy 0, illetve 1 körül ingadoznak, azaz a várható értékük 0, illetve 1.

13. Az idősorok elemzésének bonyolultabb eszközei

14. Trendszámítás Idősoron egymást követő, azonos tartalmú megfigyelések sorozatát értjük, és y1, y2, …, yt, …,ynmódon jelöljük. A trendszámítás feladata az idősor fő komponensének, az alapirányzatnak a kimutatása. Az idősor kiegyenlítése, kisimítása a célunk úgy, hogy a periodikus ingadozás és a véletlen ingadozás hatását kiküszöböljük. Az idősorok kiegyenlítése többféle módszerrel történhet, közülük a mozgóátlagolással és az analitikus trendszámítás módszerét ismertetjük.

15. Trendszámítás mozgó átlagolással A mozgó átlagolás alapgondolata az, hogy a trendet az eredeti sor dinamikus átlagaként állítjuk elő. A számítás menete a következő: • Kiszámítjuk az idősor első „k” adatának egyszerű számtani átlagát. Ez az első trendérték, amelyet az érintett időszak közepéhez - vagyis a (k+1) 1/2-edik időszakhoz - rendelünk. Ezután elhagyjuk az első adatot, és ehelyett vesszük a következő (k+1)-ediket. • Ismét átlagot számítva nyerjük a következő mozgó átlagot, vagyis trendértéket, amelyet a megfelelő időszakhoz rendelünk. • Így haladunk, amíg az utolsó adatot is felhasználjuk. • Az eredményül kapott trendértékek sorozata a kiegyenlített idősor.

16. Háromtagú mozgó átlagok számítása

17. Háromtagú mozgó átlagok számítása Páratlan k tagszám esetén az yt (t = 1, 2, ..., n) idősorból számított k tagú mozgó átlagok sorozata a t = j+1-edik időszaktól a t = n-j-edik időszakig tart, ahol j = (k-1)/2. A t-edik időszakhoz rendelt mozgó átlag:

18. Páros tagszámú mozgóátlag számítása • Páros tagszám esetén az az időszak, amelyet a mozgó átlag jellemez, mindig két, eredetileg megadott időszak közé esik, így pl 12 tagú átlagnál a 6. és 7. időszak közé. Ezen a helyzeten egy újabb művelet, az ún. középre igazítás, vagy centírozás beiktatásával segítünk. • A középre igazítás úgy történik, hogy a kiszámított mozgó átlagokat páronként rendre átlagoljuk, vagyis újabb, ezúttal kéttagú mozgó átlagok sorozatát számítjuk ki. Ezek a trendértékek már a megadott időszakra vonatkoznak.

19. Mintapélda páratlan tagszámú mozgó átlag alkalmazásához Valutaországba érkező turisták számának alakulása, ezer fő (2004-2007)

20. Mintapélda megoldása Valutaországba érkező turisták jellemzés mozgóátlagolás felhasználásával, ezer fő (2004-2007)

21. Mintapélda páratlan tagszámú mozgó átlag alkalmazásához A Hold Kft. által értékesített gázolaj mennyisége 2004 és 2006 között negyedéves bontásban. (ezer liter)

22. Mintapélda megoldása A Hold Kft. által értékesített gázolaj mennyiségének vizsgálata mozgóátlagolás felhasználásával 2004 és 2006 között negyedéves bontásban. (ezer liter)

23. Mozgó átlagolás jellemzői • A kapott mozgóátlag, mint trend megmutatja az idősor alapirányzatát, miközben eltekintünk a többi komponenstől. • A véletlen hatás kiküszöbölését (pontosabban: csökkentését) az átlagolás művelete révén érjük el. • A véletlen kikapcsolása annál tökéletesebb, minél nagyobb tagszámú mozgó átlagokat számítunk. • A periodikus ingadozás hatását a mozgó átlag tagszámának megfelelő kijelölésével küszöbölhetjük ki. • Szezonális ingadozásnál ügyeljünk arra, hogy minden egyes mozgó átlag átfogjon egy (vagy több) teljes idényciklust. • A mozgó átlag tagszámát úgy választhatjuk meg, hogy egy-egy ciklushoz tartozó adatok számával egyenlő vagy annak egész számú többszöröse legyen.

24. Analitikus trendszámítás • Ha a vizsgált jelenség tartós irányzatát az idő függvényében valamilyen regressziós függvénnyel határozzuk meg, analitikus trendszámításról beszélünk. Az analitikus trendszámítás a leggyakrabban alkalmazott szűrő és simító eljárás. Az analitikus trendszámítás esetén mindenekelőtt két kérdést kell tisztázni: • Milyen típusú függvénnyel akarjuk leírni az idősort? • Hogyan mérjük az illeszkedést, és mikor tekintünk egy illeszkedést jónak?

25. Lineáris trend Ha olyan jelenség időbeni változását vizsgáljuk, amelynél azt tapasztaljuk, hogy az időegységenként bekövetkezett változás, növekedés vagy csökkenés abszolút értelemben közel állandó, a változás egyenletes, az alapirányzat értékeit lineáris trenddel határozzuk meg. Lineáris trendfüggvény:

26. A paraméterek meghatározása Ha az idősor trendje lineáris, akkor az abszolút "növekmények" 1illetve b1 körül ingadoznak, így egy adott idősorra nézve a lineáris trend számítását akkor tekinthetjük indokoltnak, ha a tapasztalati idősor dt különbözetei véletlenszerűen ingadoznak egy átlagos érték körül, időben sem növekvő, sem csökkenő tendenciát nem mutatnak. normálegyenletek segítségével történik.

27. A paraméterek meghatározása Ha a t értékeket a t=0 követelménynek eleget tevő módon választjuk meg, akkor amiből mindkét paraméter becslésére közvetlen képlet adódik:

28. A paraméterek értelmezése A b0 paraméter az alapirányzat értéke a t=0-val jelölt időpontban. • Ha t=1, 2, …, n, akkor a vizsgálatba bevont időpontot megelőző időpont trend szerinti értéke. • Ha ∑t=0 és páratlan az időpontok száma: a középső időpont alapirányzata, és egyben a vizsgált idősor adatainak számtani átlaga. • Ha ∑t=0 és páros az időpontok száma, nincs 0-val jelölt időpont, a b0 paraméter az idősor adatainak számtani átlaga. A b1 paraméter az időegységenkénti átlagos abszolút változás mértéke, előjelétől függően növekedést vagy csökkenést jelez a vizsgálatba bevont időtartam alatt. Ha ∑t=0 és az időpontok száma páros, akkor 2b1 az időegységenkénti átlagos abszolút változás mértéke. Jelentését tekintve a lineáris trendfüggvény b1 paraméter megegyezik az időbeli változás átlagos mértékével, azaz a mutatószámmal.

29. Mintafeladat Kis Kft. által előállított izzó mennyisége 2005-2007 között negyedéves bontásban, ezer db

30. Mintafeladat megoldása

31. Mintafeladat megoldása Normálegyenletek a t=1, 2,…, n számítással: 154=12b0+78b1 1234=78b0+650b1 Az egyenletrendszer megoldásával kapott paraméterek: b0=2,245 b1=1,629 Trendegyenlet: ŷ=2,245+1,629*t

32. Relatív reziduális szórás • Megmutatja, hogy a lineáris trenddel becsült érték a valós értéktől átlagosan mennyivel tér el. • A mutató által eldönthető, hogy a vizsgált idősor milyen trendfüggvénnyel írható le a legjobban. • Jele: Ve

33. Relatív reziduális szórás kiszámítása a mintapélda alapján Reziduális szórásnégyzet meghatározása Az a függvény illeszkedik jobban, ahol ez a szórásnégyzet kisebb. Relatív szórás mutatószáma: Tehát a Kis Kft. által előállított izzó mennyiségének lineáris trenddel becsült értéke a valós értéktől átlagosan 5,5%-kal tér el.

34. Exponenciális trend • Ha a vizsgált jelenség egyik időszakról a másik időszakra megközelítőleg mindig ugyanannyiszorosára, azonos százalékkal nő vagy csökken, azaz az időegységenkénti relatív változás ingadozik egy állandó körül, a tartós irányzatot exponenciális trenddel fejezzük ki. • Az exponenciális trendfüggvény általános alakja:

35. Exponenciális trend Az exponenciális függvény pozitív β0 esetén logaritmikus transzformációval lineáris alakra hozható, a paraméterek meghatározása visszavezethető a lineáris függvényre (a logaritmus alapja tetszőleges lehet): A t=1,2,…, n időpontban mért y1,…,yn adatokból a legkisebb négyzetek módszerével meghatározhatjuk (új jelölések bevezetésével) az exponenciális trendfüggvényt. Itt az „a” β0, a „b” pedig a β1 értékének egy realizálódott idősor alapján történt becslése

36. Exponenciális trend Ha a időszakokat folyamatosan sorszámozzuk, akkor a paraméterek kiszámítását lehetővé tevő normálegyenletek:

37. Paraméterek meghatározása Ha t=0, akkor a következő közvetlen képletek adódnak.

38. Paraméterek értelmezése • A b0 paraméter a jelenség alapirányzat szerinti értéke a t=0-val jelölt időpontban. Ha ∑t=0, és nincs 0-val jelölt időpont, a b0 paraméter az idősor adatainak mértani átlaga. • A b1 paraméter az időegységenkénti átlagos relatív változás mutatószáma. Jelzi, hogy a vizsgált időszak alatt a jelenség értéke időegységenként átlagosan hányszorosára, hány %-ra (100b1) vagy hány %-kal (100b1-100, ha növekedés, 100-100b1, ha csökkenés) változott.

39. Mintafeladat Nagy Bank Nyrt.-től hitelt felvevők száma 2005-2007 között negyedéves bontásban, ezer fő

40. Mintafeladat megoldásaMunkatábla

41. Eredmények értelmezése Normálegyenletek a t=1, 2,…, n számítással: 28,931=12b0+78b1 201,553=78b0+650b1 Az egyenletrendszer megoldásával kapott paraméterek: Trendegyenlet: ŷ=62,747*1,2427t „a” paraméter: 2004. IV. negyedévében az alapirányzat szerinti létszám 62,747 ezer fő volt. A „b” paraméter értéke 1,2427, azaz a Nagy Bank Nyrt.-től hitelt felvevők létszáma 2005-2007 között negyedévenként átlagosan 1,2427-szeresére, azaz 24,27%-kal növekedett.

42. Köszönöm a figyelmet