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1. 先週のプリント訂正（１ページ真ん中、小テスト解説）先週のプリント訂正（１ページ真ん中、小テスト解説） 講義のホームページでダウンロードできるファイルは訂正してあります m1m2 r m1m2 r2 1 r2 dU dr d dr d dr （誤） F(r) =－ =－ (－G) = Gm1m2 ( ) = －G m1m2 r2 m1m2 r 1 r dU dr d dr d dr （正） F(r) =－ =－ (－G) = Gm1m2 ( ) = －G 小テスト解説 体重 50 kg のＢさんは、ダイエットをしようとエレベーターを使わずに、階段で１階から４階まで上った。 １階と４階の高低差を、12 m とすると、①Ｂさんの重力による位置エネルギーの増加はどれだけか？ 重力加速度gは、10 m/s2とせよ。②また、消費カロリーはどれだけか？消費したカロリーのうち、 20％が位置エネルギーになったと仮定せよ。1 cal は 4 J とせよ。③砂糖 1g が4 kcal とすると、 消費したカロリーは砂糖何グラムに相当するか？ U = mgh = 50×10×12 = 6000 [J] 7.5 4 = 1.875 [g] 6000 4 = 1500 [cal] 位置エネルギーになるのは 20%なので 消費カロリーはその5倍である。 1500×5 = 7500 [cal] = 7.5 [kcal] 答：① 6000J ② 7.5 kcal ③ 1.9 g ハイブリット車（質量 2 t = 2000 kg ）が、72 km/h （20 m/s）で走行していたが、信号が赤になったので 停止した。このとき運動エネルギーの 100 % を電気エネルギーに変換できたとする。①この１回ブレーキで 蓄積された電気エネルギーはどれだけか？②節約できたエネルギーはガソリンに換算するとどれだけか？ ただし、ガソリンのエネルギーは 1 g あたり 40000 Jとせよ。 1 2 400000 40000 運動エネルギー：mv2 = 10 [g] 1 2 2000×202 = 400000 [J] 答：① 400000 J ② 10 g 第1３回 （6/21） 1ページ

2. 要望： F(r) = －∇U(r)の例題をもう少しやってほしい 例題 東西方向を x軸（東が正）とし、南北方向を y軸（北が正）とし、上下方向を z軸（上が正）とする。 原点は吉田が立っている足元とする。そうすると、この教室内の位置 r = (x, y, z)にある質量 mの 物体の位置エネルギーは、U(r) = mgzとなる。教室内の位置 r = (x, y, z)に物体があるとき、 物体に働く力F(r)を求めよ。　 ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z ∇= ( , , ) 例題 何もない空間に地球と物体が存在している。地球の質量は M、物体の質量は mとする。 地球は原点( 0, 0, 0 ) に固定されているとすると、物体が位置 r = ( x, y, z )にあるとき、 物体の位置エネルギーは、 U(r) =－Gとなる。 物体が位置rにあるときに物体に働く万有引力 F(r)を求めよ。 物体が r = 6370 kmにあるとき、 F(r)の大きさを求めよ。ただし、G = 6.672×10－11、 M = 5.97×1024 kgとする。 Mm r 第1３回 （6/21） 2ページ

3. 第６章 p70質点の角運動量と回転運動の法則 シーソー ←　重い人は、支点に近いところに座るとつり合う シーソーを回転させる能力： Fl に比例する 力のモーメント（トルク）：　物体を支点（回転軸）の周りに回転させる能力 反時計回りを正 時計回りを負 N = Fl 単位：N・m回転の向きの違いは、　　　　　　　　　　　　として区別する。 例題 左上のシーソーの図で、シーソーの板に働いている点Oのまわりの力のモーメントを求めよ。 力の向きが、回転の向きと平行でない場合 力のモーメント 「力の大きさ F 」×「支点Oから力の作用線までの距離 l 」 例題 左の図で、棒（てこ）に働いている点Oのまわりの 力のモーメントを求めよ。 作用線 第1３回 （6/21） 3ページ

4. 力の向きが、回転の向きと平行でない場合の二つの考え方力の向きが、回転の向きと平行でない場合の二つの考え方 回転に寄与しない成分 F cos q F sin q （回転に寄与する成分） q F 力のモーメント ①「力の大きさ F」×「支点Oから力の作用線までの距離 l」 （教科書のやり方） ②「力の大きさ Fの回転に寄与する成分」×「支点Oから力の作用点までの距離 r」 （上の図参照） どちらでもよい。自分の理解しやすいほうでよい。①でも②でもN = Fr sinq 例題 上の図は、「てこ」の原理を示している。「てこ」とは、小さい力で大きな力を得るための道具である。 上の図で l2 = 10 cm、r1 = 2 m、q = 60°の時、100 kgの物体をゆっくり持ち上げるのに必要な 力 F の大きさを求めよ。重力加速度は g = 10 m/s2とせよ。 第1３回 （6/21） 4ページ

5. 「てこ」と「仕事」と「エネルギー保存則」 左の図のような状況において、100 kgの物体を ゆっくりと1 cm持ち上げた。このとき物体がされた仕事は、 W = F・s=mg×0.01 = 100×10×0.01 = 10 [J] 物体の位置エネルギーの増加は、 U = mgh = 100×10×0.01 = 10 [J] 棒に働く力のモーメントN は、 ゆっくりと持ち上げているので、N = 0 N = 0.2×mg－2×F = 0 2F = 0.2×100×10 2F = 200 F = 100 [N] 必要な力 Fは物体に働く重力の１０分の１になっている 物体を 1 cm持ち上げるためには、力 Fの作用点を 10 cm押し下げなければならない。 力Fのした仕事は、 W = F・s = 100×0.1 = 10 [J] 100 kg F 2 m 20 cm てこは、必要な力は小さくできるが、 その分、たくさん動かさなければ ならないので、物体を持ち上げるのに 必要な仕事は、同じである。 （エネルギー保存則） 例題 ４ページの例題の状況において、物体を1 cm持ち上げた。 ①物体がされた仕事を求めよ。②物体の位置エネルギーの増加分を求めよ。 ③力 Fがした仕事を求めよ。適当な近似を用いてもよい。 第1３回 （6/21） 5ページ

6. xy 平面に平行な力 Fが xy 平面上の点 ( x, y, 0 ) に作用している場合 Fy y F 力 Fは、Fxと Fyに分解できる。 分力 Fxの原点Oのまわりの力のモーメントは、 N =－yFx （反時計まわり：－、作用線までの距離：y、力の大きさ：Fx） 分力 Fyの原点Oのまわりの力のモーメントは、 N = xFy 合計すると、 N = xFy－yFx 作用線 Fx y x x O 物体 角運動量 （運動量のモーメント） py y 角運動量は、力のモーメントの力Fを 運動量 p = mvで置き換えたもの p N =Fl N = Fr sin q N = xFy－yFx L =pl = mvl L = pr sin q = mvr sin q L = xpy－ypx = m(xvy－yvx) v px y m r q x x O l 例題 質量m の物体が、点Oを中心とする半径r の円周上を、角速度w、速さv = rwで 等速円運動している場合、この物体の点Oのまわりの角運動量 Lはいくらか？ 第1３回 （6/21） 6ページ

7. 回転運動の法則 L = m(xvy－yvx) の両辺をt で微分すると、 dL dt d dt = m (xvy－yvx) = m(vxvy + xay－vyvx－yax) = m(xay－yax) = x(may)－y(max) = xFy－yFx = N dL dt = N 質点の角運動量の時間変化率は、その物体に働く力のモーメントに等しい 中心力 ある物体に作用する力の作用線がつねに一定の点Oを通る、 その強さが点Oと物体の距離 rだけで決まる場合、この力を中心力という。 例： 太陽が惑星に作用する万有引力 角運動量保存則 物体が中心力だけの作用を受けて運動する場合には、 力の中心のまわりの角運動量は一定である。 証明 ある物体が点Oを中心とする中心力だけの作用を受けて運動する場合は、 点Oのまわりの力のモーメント N =0。なぜなら、N = Flで l = 0（作用線が点Oを通る） dL dt = N = 0 なのでL = 一定 第1３回 （6/21） 7ページ

8. 面積速度 vDt d P 点Oと物体を結ぶ線分が単位時間に通過する面積を この物体の点Oに対する面積速度という。 F O 例題 左上の図において点Pにある質量m 速度vの質点の点Oに対する角運動量 L と面積速度はいくらか？ ヘリウム声の実験の補足 声帯で発生する様々な周波数の音の中で、 右図のような共鳴振動数の音が強調されて 声になっている。 ヘリウム中では、音の速度が大きくなるので 共鳴振動数も大きくなり、より大きな振動数の の音（高い声）が強調されることになる。 実験 ①　長さの違う筒の端を手のひらでたたいてみよう。 （共鳴振動数の音がする。） ②　それぞれの筒を耳にあててみよう。 （同じ振動数のノイズが聞こえる。） 第1３回 （6/21） 8ページ

9. 　　　　　　学科学生番号： 氏名： 　 左の図はペンチである。Ａ点には小さい物体が はさんであり支点より右側では、 Ａ点にすべての力がかかっているとすると、 その力の大きさはどれだけか？ A 100 N 4 cm 20 cm 支点 100 N 答： N 鉛直な細い管を通したひもの先端に質量 mの小石をつけ 水平面内で半径r0、速さ v0の等速円運動をさせる。 （１）小石の細い管のまわりの角運動量はいくらか？ （２）ひもをゆっくりと引っ張って回転半径を半分にしたら 小石の速さはいくらになるか？空気抵抗や摩擦は無視せよ。 答： 答： この講義に関して何か意見や要望、感想等があったら書いて下さい。（特になければ白紙でもよい。） 第13回　6月21日