第三章分析力学基础

第三章分析力学基础

分析力学基础 §3-1自由度广义坐标一个自由质点在空间的位置：（x, y, z ) 3个由n个质点组成的自由质点系在空间的位置： ( xi, yi , zi ) (i=1,2……n) 3n 对一个非自由质点系，受s个完整约束独立坐标数 3n-s 自由度k=3n-s

自由度广义坐标 确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立参数的数目，称为该质点系的自由度的数目，简称为自由度。

自由度广义坐标 一般地，受到s个约束的、由n个质点组成的质点系，其自由度为通常，n 与 s 很大而k 很小。为了确定质点系的位置，用适当选择的k 个参数（相互独立），要比用3n个直角坐标和s个约束方程方便得多。用来确定质点系位置的独立参数，称为广义坐标。广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移（x, y, z, s等）也可以取角位移（如q, , ,  等）。在完整约束情况下，广义坐标的数目就等于自由度数目。

自由度广义坐标 例如：曲柄连杆机构中，可取曲柄OA的转角为广义坐标，广义坐标选定后，质点系中每一质点的直角坐标都可表示为广义坐标的函数。

自由度广义坐标 例如：双锤摆。设只在铅直平面内摆动。两个自由度取广义坐标j，y

自由度广义坐标 一般地，设有由n个质点组成的质点系，具有N个自由度，取q1、q2、……、qN为其广义坐标，质点系内各质点的坐标及矢径可表为广义坐标的函数。用广义坐标表示虚位移：广义虚位移

分析力学基础 §3-2 以广义坐标表示的质点系平衡条件虚功方程若令对应于广义坐标qk的广义力Qk

以广义坐标表示的质点系平衡条件 平衡条件为系统所有的广义力都等于零。以广义坐标表示的质点系平衡条件求广义力的方法 1. 几何法 2. 解析法

以广义坐标表示的质点系平衡条件 例题 1 杆OA和AB以铰链连接，O端悬挂于圆柱铰链上，如图所示。杆长OA=a，AB=b,杆重和铰链的摩擦都忽略不计。今在点A和B分别作用向下的铅垂力FA和FB，又在点B作用一水平力F。试求平衡时j1，j2与FA，FB ，F之间的关系。

x O j1 A j2 B F FA FB y 以广义坐标表示的质点系平衡条件例题 1 杆OA和AB的位置可由点A和B的四个坐标xA ，yA和xB ，yB完全确定，由于OA和AB杆的长度一定，可列出两个约束方程解：因此系统有两个自由度。现选择j1和j2为系统的两个广义坐标，计算其对应的广义力Q1和Q2。 1. 用解析法计算

x O j1 A j2 B F FA FB y 以广义坐标表示的质点系平衡条件例题 1 因故代入上式，系统平衡时应有解出

以广义坐标表示的质点系平衡条件 例题 1

以广义坐标表示的质点系平衡条件 例题 1 2. 用几何法计算。保持j2不变，只有dj1时，可得一组虚位移 x O dj1 j1 adj1 j1 A 则对应于j1的广义力为 adj1 B y

以广义坐标表示的质点系平衡条件 例题 1

以广义坐标表示的质点系平衡条件 例题 1 保持j1不变，只有dj2时，可得一组虚位移 x O j1 代入对应于j2的广义力表达式，得 A dj2 bdj2 j2 j2 B y 两种方法所得的广义力是相同的。

若质点系受有理想约束，将 作为主动力处理，则：分析力学基础 §3-3　动力学普遍方程设质点系有n个质点，第i个质点解析式：动力学普遍方程。

动力学普遍方程 在理想约束的条件下，质点系的各质点在任一瞬时受到的主动力与惯性力在任意虚位移上所作的虚功之和为零。例2 三棱柱B沿三棱柱A的光滑斜面滑动，三棱柱A置于光滑水平面上，A和B的质量分别为M和m，斜面倾角为 。试求三棱柱A的加速度。解：研究两三棱柱组成的系统。该系统受理想约束，具有两个自由度。

系统为二自由度，取互不相关的 为独立虚位移，且，所以动力学普遍方程由动力学普遍方程：解得：

质点。若取系统的一组广义坐标为，则称为广义速度。分析力学基础 §3-4　拉格朗日第二类方程下面推导以广义坐标表示的动力学普遍方程的形式。设质点系有n个质点，受s个完整约束且系统所受的约束是理想约束，自由度k=3n- s。

拉格朗日方程 代入质点系动力学普遍方程，得：

称为广义力 广义惯性力拉格朗日方程

下面来推导这两个关系式： 第一式只须将(b)式两边对求偏导数即可得到。拉格朗日方程广义惯性力可改变为用质点系的动能表示 , 因此为简化计算 , 需要用到以下两个关系式：

拉格朗日方程 第二式可比较(a)式先对ql求偏导数再对t求导数与(b)式对ql求偏导数的结论得出。拉格朗日第二类动力学方程，简称拉格朗日方程。

而拉氏方程为： 拉格朗日方程如果作用于质点系的力是有势力，则广义力可用质点系的势能来表达。引入拉格朗日函数：L=T-U则：保守系统的拉格朗日方程。

拉格朗日方程 应用拉氏方程解题的步骤： 1. 判定质点系的自由度k，选取适宜的广义坐标。必须注意：不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。 2. 计算质点系的动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。 3. 计算广义力，计算公式为：或若主动力为有势力，须将势能U表示为广义坐标的函数。 4. 建立拉氏方程并加以整理，得出k个二阶常微分方程。 5. 求出上述一组微分方程的积分。

拉格朗日方程 [例3]水平面内运动的行星齿轮机构。均质杆OA：重P，可绕O点转动；均质小齿轮：重Q，半径 r，沿半径为R的固定大齿轮滚动。系统初始静止，系杆OA位于图示OA0位置。系杆OA受大小不变力偶M作用后，求系杆OA的运动方程。

拉格朗日方程 [例3]水平面内运动的行星齿轮机构。均质杆OA：重P，可绕O点转动；均质小齿轮：重Q，半径 r，沿半径为R的固定大齿轮滚动。系统初始静止，系杆OA位于图示OA0位置。系杆OA受大小不变力偶M作用后，求系杆OA的运动方程。解：图示机构只有一个自由度所受约束皆为完整、理想、定常的，可取OA杆转角 为广义坐标。

拉格朗日方程

代入初始条件，t =0 时， 得故：拉格朗日方程代入拉氏方程：积分，得：

拉格朗日方程 [例4]与刚度为k 的弹簧相连的滑块A，质量为m1,可在光滑水平面上滑动。滑块A上又连一单摆，摆长l ，摆锤质量为m2 ，试列出该系统的运动微分方程。解：将弹簧力计入主动力，则系统成为具有完整、理想约束的二自由度系统。保守系统。取x , 为广义坐标，x 轴原点位于弹簧自然长度位置， 逆时针转向为正。

系统动能： 拉格朗日方程

拉格朗日方程 系统势能：（以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在平面为重力势能零点）拉格朗日函数：

代入： 并适当化简得：拉格朗日方程

若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时 <<1o, cos 1, sin，略去二阶以上无穷小量，则拉格朗日方程系统的运动微分方程。上式为系统在平衡位置(x =0,  =0)附近微幅运动的微分方程。

A x D W1 W2 A C B R r E y B  拉格朗日方程 [例 5] 一不可伸长的绳子跨过小滑轮D，绳的一端系于匀质圆轮A的轮心C处，另一端绕在匀质圆柱体B上。轮A重W1，半径是R。圆柱B 重W2，半径是r。轮A沿倾角为的斜面作纯滚动，绳子倾斜段与斜面平行。滑轮D和绳子的质量不计，试求轮心C 和圆柱B的中心E的加速度。

拉格朗日方程

拉格朗日方程 系统具有两个自由度。我们选取x1 = DC和y = yE 作为系统的广义坐标。于是系统的动能为解: 式中A 和B 分别是圆轮A 和圆柱体B 的角速度。根据运动学关系可知 A x x1 D yE A C B R E W1 将A 和B 代入动能表达式，并考虑到 r B  y W2

拉格朗日方程 则有圆轮A 作纯滚动，摩擦力不做功。系统的主动力只有重力W1和W2，因此，系统的势能为 A x x1 D yE A C B R E W1 r 写出系统的拉格朗日函数 B  y W2

拉格朗日方程 将L 代入拉氏方程即得系统的运动微分方程求解式(a) 和(b)，得它们分别是轮心C 和圆柱B 的中心E 的加速度。

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