ISOMETRIE

1. ISOMETRIE A cura dei Docenti: Prof Salvatore MENNITI, Prof ssa Alessandra SIA

2. In geometria le figure si concepiscono come rigide, per cui è possibile “muoverle” nello spazio senza che subiscano alcuna deformazione. • La traduzione matematica dell’idea di movimento rigido di una figura è una isometria, cioè una corrispondenza biunivoca del piano in sé, che trasforma: • segmenti in segmenti • rette in rette • angoli in angoli • L’isometria preserva le misure, il parallelismo, la perpendicolarità; in tali trasformazioni varia invece la “posizione” della figura nello spazio.

3. Tra tutti i movimenti rigidi delle figure piane quelle che in studieremo sono: simmetrie traslazioni

4. Simmetrico rispetto asse y P(-4,3) cambia solo il segno della coordinata x P(4,3) Simmetrico rispetto asse x P(4,-3) cambia solo il segno della coordinata y Simmetrico rispetto all’origine P(-4,-3) cambia il segno della coordinata x ed y

5. Con l'utilizzo del foglio elettronico EXCEL vedrai come è semplice ottenere il simmetrico di una qualsiasi figura geometrica .... Fai attenzione perchè poi dovrai svolgere un esercizio

6. Le Traslazioni La traslazione è un movimento rigido che fa coincidere per sovrapposizione due figure. Come si vede dalla figura possiamo portare il triangolo ABC a coincidere per “sovrapposizione” con il triangolo A’B’C’, facendo “scivolare” la figura sul piano in modo che i vertici scorrano su linee parallele. I segmenti paralleli AA’; BB’ ; CC’ sono di uguale lunghezza y A C B A’ X C’ B’ Spostamento verticale Se analizziamo la traslazione vediamo che può essere scomposta in due spostamenti uno orizzontale ed uno verticale. Chiameremo questi due valori componente orizzontale e componente verticale della traslazione Spostamento orizzontale In generale una traslazione di componente orizzontale h e componente verticale k ha equazione: x’=x+h y’=y+k

7. Ogni traslazione è caratterizzata da tre elementi: ampiezza, direzione e verso AMPIEZZA: l’ampiezza di una traslazione è la distanza tra un punto qualsiasi e il suo trasformato ampiezza della traslazione tr(h,k)=  h2 + k2 l’ampiezza essendo una distanza ha sempre valore positivo. DIREZIONE: Per una traslazione di componenti h e k con h= 0 è data dal rapporto: k h VERSO: Ogni direzione individua due versi ( i due versi di percorrenza di una retta) Il verso di una traslazione e determinato dalle due componenti h,k.

8. Esercizio svolto Consideriamo il triangolo di vertici A(1,2) B(4,2) C(1,4) e il suo trasformato per traslazione A’(-4,-4) B’(-1,-4) C’(-4,-2). Determinare: equazione della traslazione, ampiezza direzione e verso. Per determinare l’equazione della traslazione dobbiamo tenere presente che la componente orizzontale h è data dalla differenza tra l’ascissa di un punto del triangolo trasformato e quello corrispondente sul triangolo dato: h=Ax’-Ax= - 4 -1= - 5 analogamente per trovare l’ordinata faremo la differenza tra le ordinate: K=By’-By= - 4 - 2 = - 6 Una volta trovata la componente orizzontale e quella verticale avremo che l’equazione della traslazione è: x’= x-5 y’= y - 6 l’ampiezza sarà (-5)2 + (-6) 2 = 7,8 la direzione è individuata dal rapporto 6/5

9. Le proprietà delle traslazioni 1. Una traslazione determina una corrispondenza biunivoca del piano su se stesso 2. Una traslazione conserva la distanza tra due punti (è un movimento rigido) 3. Una traslazione porta ogni retta in una retta ad essa parallela

10. Cliccando sul tasto EXCEL vedrai come utilizzando il foglio elettronico è semplice eseguire la traslazione di un triangolo note le sue coordinate e assegnata la traslazione tr(h,k) EXCEL

11. Relazione tra due insiemi: ad ogni elemento del primo insieme corrisponde uno ed uno solo elemento del secondo insieme