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PROGRAMAÇÃO LINEAR

PROGRAMAÇÃO LINEAR. 14 de setembro de 2014. SUMÁRIO. 1. Definição 2. Aplicações 3. Problema Ilustrativo 3.1 Enunciado 3.2 Dados Físicos e Econômicos 3.3 Modelo Matemático 3.4 Balanço de Informação e Variáveis de Projeto 3.5 Critério e Função Objetivo

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Presentation Transcript

  1. PROGRAMAÇÃO LINEAR 14 de setembro de 2014

  2. SUMÁRIO

  3. 1. Definição 2. Aplicações 3. Problema Ilustrativo 3.1 Enunciado 3.2 Dados Físicos e Econômicos 3.3 Modelo Matemático 3.4 Balanço de Informação e Variáveis de Projeto 3.5 Critério e Função Objetivo 3.6 Restrições 3.7 Região Viável 3.8 Resolução. Algoritmo SIMPLEX

  4. OBSERVAÇÃO PRELIMINAR

  5. OTIMIZAÇÃO: 1 EXTRATOR Modelo Matemático Restrições 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 (k = 4) Avaliação Econômica Função Objetivo R = pAB W y C = pB W L = R – C = pAB W y - pB W L = a - b x - c/x OTIMIZAÇÃO: 2 EXTRATORES Modelo Matemático Restrições 1. Q(xo - x1) - W1 y1 = 0 2. y1 - k x1 = 0 3. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 0 4. y2 - k x2 = 0 Avaliação Econômica Função Objetivo R = pAB (W1 y1 + W2 y2 ) C = pB (W1 + W2) L = pAB (W1 y1 + W2 y2 ) - pB (W1 + W2) L = a – b /x1– cx2 – d x1/x2 Observação: Restrições e Função Objetivo Não-Lineares

  6. OTIMIZAÇÃO: TROCADOR DE CALOR Modelo Matemático Restrições Avaliação Econômica Função Objetivo CT = Ccap + Cutil Cutil = (8.500)(5x10-5)W3 Observação: Restrições e Função Objetivo Não-Lineares

  7. OTIMIZAÇÃO: PROCESSO ILUSTRATIVO Modelo Restrições 01. f11 - f12 - f13 = 002. W15 - f23 = 003. f31 - f32 = 004. k – (3 + 0,04 Td) = 005. k – x13 / x12 = 006. (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 007. Vd -  (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = 008. r - f13/f11 = 009. T2 – Td = 010. T3 – Td = 0 20. W8 - W9 = 0 21. W5 - W10 = 0 22. Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 0 23. W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 0 24. Qc - Uc Acc = 0 25. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0 26. W11 - W12 = 0 27. W10 - W13 = 0 28. Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 0 29. Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 0 30. Qr - Ur Arr = 0 31. r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 0 11. f13 - f14 = 0 12. f23 - f24 - W5 = 0 13. W6 - W7 = 0 14. W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 0 15. Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W52] = 0 16. Qe - Ue Aee = 0 17. e - (T6- Te) = 018. T4 – Te = 019. T5 – Te = 0 32. W13 + W14 - W15 = 0 33. W13 (T15 - T13) + W14 (T15 - T14) = 0 34. f11 + f31 - W1 = 0 35. x11 - f11 / W1 = 0 36. f12 + f22 – W2 = 0 37. x12 - f12/ W2 = 0 38. f13 + f23 – W3 = 0 39. x13 - f13 / W3 = 0 40. f14 + f24 - W4 = 0 41. x14 - f14/ W4 = 0

  8. PROCESSO ILUSTRATIVO R = pAB f14 Fop $/a Avaliação Econômica Função Objetivo Investimento:Ib = Ibb (20/Pbb) Mb $Id = Idb (Vd/Vdb) Md $Ie = Ieb (Ae/Aeb) Me $Ic = Icb (Ac/Acb) Mc $ Ir = Irb (Ar/Arb) Mr $ISBL = fT fD fL (Ib + Id + Ie + Ic + Ir) $ LE = 0,7 R – 0,8 C – 0,4 ISBL $/a Custos:Cagua = pa (W8 + W11) $/hCvapor = pv W6 $/hCsolvente = ps W14 $/hCbomba = 0,15 $/hC = Fop (Cagua + Cvapor + Csolvente + Cbomba) $/a Observação: Restrições e Função Objetivo Não-Lineares

  9. 1. DEFINIÇÃO

  10. PROGRAMAÇÃO LINEAR É uma área da Otimização que trata exclusivamente deum tipo especial de problema: Min f(x) = a1x1+a2x2+ ...+anxn x s.a.: g(x) = b1x1+b2x2+ ...+bnxn 0 O que se observa ??? A Função Objetivo e todas as Restrições são lineares Problema de Programação Linear

  11. 2. APLICAÇÕES

  12. Por ser muito peculiar parece não encontrar aplicações... Pelo contrário: ele aparece no planejamento nas áreas de transportes:rodoviário, ferroviário, fluvial, marítimo, aéreo. comércio:distribuição de mercadorias por entrepostos; estoques. energia:produção e distribuição militar:logística produção industrial  nosso interesse Outros...

  13. 3. PROBLEMA ILUSTRATIVO Planejamento da Produção de uma Refinaria(adaptado de Edgar & Himmelblau, “Optimization of Chemical Processes”, 1988)

  14. 3.1 ENUNCIADO

  15. Uma refinaria pode receber dois tipos de óleo cru: O1 e O2. A partir de cada um deles, ela pode produzir:- gasolina (G)- querosene (Q)- óleo combustível (C)- óleo residual (R) Determinar - quantos barris/dia a refinaria deve adquirir de cada óleo cru (x1, x2)(b/d) [disponibilidade ilimitada] - quanto a refinaria deve produzir, a partir de cada óleo, de - gasolina (x31, x32)(b/d) - querosene (x41, x42)(b/d) - óleo combustível (x51, x52)(b/d) - óleo residual (x61, x62)(b/d)

  16. Fluxograma com Informações Necessárias PRODUTOS p3 = ($/b); x3max= (b/d) p4 = ($/b); x4max= (b/d) p5 = ($/b); x5max= (b/d) p6=10 ($/b) C1 = $/b x31 b3/b1 O1 x41 b4/b1 p1 = ($/b) x51 x1 (b/d) b5/b1 x61 b6/b1 CRÚS C2 = $/b G x32 x3(b/d) O2 b3/b2 Q x42 x4(b/d) p2 = ($/b) b4/b2 C x52 x5(b/d) b5/b2 x2 (b/d) R x62 x6(b/d) b6/b2

  17. 3.2 DADOS FÍSICOS E ECONÔMICOS

  18. Processamento do Óleo O1:- preço do óleo : p1 = 24 $/b- custo de processamento: c1 = 0,50 $/b- perfil de produção : gasolina 80%, querosene 5%, óleo combustível 10% e óleo residual 5%. Processamento do Óleo O2:- preço do óleo : p2 = 15 $/b- custo de processamento: c2 = 1,0 $/b- perfil de produção : gasolina 44%, querosene 10%, óleo combustível 35% e óleo residual 10%. Preços de venda gasolina : p3 = 36 $/bquerosene : p4 = 24 $/bóleo comb. : p5 = 21 $/bóleo resid. : p6 = 10 $/b Produção máxima de cada produtox3max = 24.000 b/d (x3 = x31 + x32) (G) x4max = 2.000 b/d (x4 = x41 + x42) (Q)x5max = 6.000 b/d (x5 = x51 + x52) (C) Dados resumidos no Fluxograma seguinte.

  19. Fluxograma PRODUTOS p3 = 36 ($/b); x3max= 24.000(b/d) p4 = 24 ($/b); x4max= 2.000(b/d) p5 = 21 ($/b); x5max= 6.000(b/d) p6=10 ($/b) C1 = 0,50 $/b x31 0,80 b3/b1 O1 x41 0,05 b4/b1 p1 = 24 ($/b) x51 x1 (b/d) 0,10 b5/b1 x61 0,05 b6/b1 CRÚS C2 = 1 $/b G x32 x3(b/d) O2 0,44 b3/b2 Q x42 x4(b/d) p2 = 15 ($/b) 0,10 b4/b2 C x52 x5(b/d) 0,36 b5/b2 x2 (b/d) R x62 x6(b/d) 0,10 b6/b2

  20. No enfoque da Engenharia de Processos trata-se de um problema de Análise de Processos. Dimensionar uma dada estrutura Trata-se de um problema de otimização

  21. 5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO Todo problema de otimização exibe os seguintes elementos, qualquer que seja a sua área de aplicação. O conhecimento esses elementos e das suas características é de fundamental importância para a solução do problema 5.2.1 Variáveis de Decisão 5.2.2Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável

  22. 3.3 MODELO

  23. C1 = 0,50 $/b x31 0,80 b3 / b1 O1 x41 0,05 b4 / b1 p1 = 24 ($/b) x51 x1 (b/d) 0,10 b5 / b1 x61 0,05 b6 / b1 CRÚS C2 = 1 $/b G x32 x3(b/d) O2 0,44 b3 / b2 Q x42 x4(b/d) p2 = 15 ($/b) 0,10 b4 / b2 C x52 x5(b/d) 0,36 b5 / b2 x2 (b/d) R x62 x6(b/d) 0,10 b6 / b2 Modelo: Balanços Materiais Gasolina : 0,80 x1 + 0,44 x2 = x3Querosene : 0,05 x1 + 0,10 x2 = x4Óleo : 0,10 x1 + 0,36 x2 = x5Residual : 0,05 x1 + 0,10 x2 = x6 PRODUTOS p3 = 36 ($/b); x3max= 24.000(b/d) p4 = 24 ($/b); x4max= 2.000(b/d) p5 = 21 ($/b); x5max= 6.000(b/d) p6 = 10 ($/b)

  24. 3.4 BALANÇO DE INFORMAÇÃO E VARIÁVEIS DE PROJETO

  25. C1 = 0,50 $/b x31 0,80 b3/b1 O1 x41 0,05 b4/b1 p1 = 24 ($/b) x51 x1 (b/d) 0,10 b5/b1 x61 0,05 b6/b1 CRÚS C2 = 1 $/b G x32 x3(b/d) O2 0,44 b3/b2 Q x42 x4(b/d) p2 = 15 ($/b) 0,10 b4/b2 C x52 x5(b/d) 0,36 b5/b2 x2 (b/d) R x62 x6(b/d) 0,10 b6/b2 Modelo Gasolina : 0,80 x1 + 0,44 x2 = x3Querosene : 0,05 x1 + 0,10 x2 = x4Óleo : 0,10 x1 + 0,36 x2 = x5Residual : 0,05 x1 + 0,10 x2 = x6 Balanço de InformaçãoG = V – N = 6 – 4  G = 2

  26. Ordenação das Equações Gasolina : 0,80 x1 + 0,44 x2 = x3Querosene : 0,05 x1 + 0,10 x2 = x4Óleo : 0,10 x1 + 0,36 x2 = x5Residual : 0,05 x1 + 0,10 x2 = x6 Variáveis de Projeto: x1 e x2

  27. 3.5 CRITÉRIO E FUNÇÃO OBJETIVO

  28. C1 = 0,50 $/b x31 0,80 b3/b1 O1 x41 0,05 b4/b1 p1 = 24 ($/b) x51 x1 (b/d) 0,10 b5/b1 x61 0,05 b6/b1 CRÚS C2 = 1 $/b G x32 x3(b/d) p3 = 36 ($/b) O2 0,44 b3/b2 Q x42 x4(b/d) p4 = 24 ($/b) p2 = 15 ($/b) 0,10 b4/b2 C x52 x5(b/d) p5 = 21 ($/b) 0,36 b5/b2 x2 (b/d) R x62 x6(b/d) p6 = 10 ($/b) 0,10 b6/b2 Função Objetivo L = R – CMP - CP Receita (R): 36 x3 + 24 x4 + 21 x5 + 10 x6Custos de MatPrim (CMP) : 24 x1 + 15 x2Custos Processamento (CP).: 0,50 x1 + x2 L = 36 x3 + 24 x4 + 21 x5 + 10 x6 - 24x1 - 15 x2-0,50 x1 - x2

  29. 3.6 RESTRIÇÕES

  30. Relembrando ...

  31. 5.2.3 Restrições São os limites impostos pelas leis naturais às variáveis do processo. Há dois tipos de restrições: (a) restrições deigualdade : h(x) = 0 São as equações do próprio modelo matemático. (b) restrições de desigualdade: g (x)  0 São os limites impostos às Variáveis de Projeto A presença de restrições pode alterar a solução de um problema

  32. C1 = 0,50 $/b x31 0,80 b3/b1 O1 x41 0,05 b4/b1 p1 = 24 ($/b) x51 x1 (b/d) 0,10 b5/b1 x61 0,05 b6/b1 PRODUTOS CRÚS C2 = 1 $/b G x32 x3(b/d) p3 = 36($/b); x3max= 24.000(b/d) O2 0,44 b3/b2 Q x42 x4(b/d) p4 = 24($/b); x4max= 2.000(b/d) p2 = 15 ($/b) 0,10 b4/b2 C x52 x5(b/d) p5 = 21($/b); x5max= 6.000(b/d) 0,36 b5/b2 x2 (b/d) R x62 x6(b/d) p6 = 10($/b) 0,10 b6/b2 Restrições de DesigualdadeGasolina : x3 24.000Querosene : x4 2.000 Combustível : x5 6.000Óleos crus : x1  0 e x2  0 Restrições de IgualdadeGasolina : 0,80 x1 + 0,44 x2 = x3Querosene : 0,05 x1 + 0,10 x2 = x4Óleo : 0,10 x1 + 0,36 x2 = x5Residual : 0,05 x1 + 0,10 x2 = x6

  33. Incorporando as Restrições à Função Objetivo

  34. Exemplo: dimensionamento de um extrator W kg B/h Q = 10.000 kgA/h x kgB/kgA xo= 0,02 kg AB/kg A rafinado y kg AB/kg B extrato Modelo Matemático: 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 (k = 4) Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C= 2, M = 0 G= 1(otimização) Avaliação Econômica: L = R - C R = pAB W y C = pB W pAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB

  35. L x Função Objetivo: L = R - C = pAB W y - pB W Incorporando as Restrições de Igualdade ordenadas à Função Objetivo (viável em problemas simples) y, W x L 2. y = k x 1. W = Q (xo - x)/y L = pAB W y - pB W L = a - b x - c/x

  36. Resulta L(x) = 8,1 x1 + 10,8 x2 De modo semelhante, no problema ilustrativo... Incorporando as Restrições Gasolina : 0,80 x1 + 0,44 x2 = x3Querosene : 0,05 x1 + 0,10 x2 = x4Óleo : 0,10 x1 + 0,36 x2 = x5Residual : 0,05 x1 + 0,10 x2 = x6 ao Lucro L = 36 x3 + 24 x4 + 21 x5 + 10 x6 - 24 x1 - 15 x2-0,50 x1 - x2

  37. Enunciado Formal do Problema Max L(x) = 8,1 x1 + 10,8 x2{x1, x2}s.a.: 0,80 x1 + 0,44 x2 24.0000,05 x1 + 0,10 x2 2.0000,10 x1 + 0,36 x2 6.000x1  0 x2 0

  38. Examinando a Função Objetivo L(x) = 8,1 x1 + 10,8 x2 (linear) 20 x2 10 (1.000 b/d) 0 0 10 20 30 40 x1 (1.000 b/d) x2= L / 10,8 – (8,1 / 10,8) x1 (família de retas) 648.000 324.000 243.000 162.000 81.000

  39. 3.7 REGIÃO VIÁVEL

  40. É a região do espaço delimitada pelas restrições 0,80 x1 + 0,44 x2 24.000 (gasolina)0,05 x1 + 0,10 x2 2.000 (querosene) 0,10 x1 + 0,36 x2 6.000 (óleo)x1  0x2 0 Forma geral:a x1 + bx2 c Re-escrevendo:x2 - (a/b) x1 + (c/b) São retas de inclinação negativa (a/b) com interseção no eixo x1 = 0: x2 = (c/b) interseção no eixo x2 = 0: x1 = (c/a)

  41. Colocando as restrições 0,80 x1 + 0,44 x2 24.000 (gasolina)0,05 x1 + 0,10 x2 2.000 (querosene) 0,10 x1 + 0,36 x2 6.000 (óleo)x1  0x2 0 Na formax2 - (a/b) x1 + (c/b) resultam x2 - 1,818 x1 + 54.545 (gasolina) (c/a) = 30.000)x2 - 0,50 x1 + 20.000 (querosene) (c/a) = 40.000)x2  - 0,28x1+ 16.667 (óleo) (c/a) = 60.000)

  42. Os pontos A, B, C, D e E são vértices da Região Viável 20 c/b B C óleo x2 10 querosene região viável convexa ! D (1.000 b/d) gasolina 0 E A 0 10 20 30 40 c/a x1 (1.000 b/d) Desempenham um papel fundamental na resolução do problema.

  43. x2 - (a/b) x1 + (c/b) 20 B C óleo x2 10 querosene D (1.000 b/d) gasolina 0 E A 0 10 20 30 40 x1 (1.000 b/d) c/b x2 - 1,818 x1 + 54.545 (gasolina) (c/a) = 30.000)x2 - 0,50 x1 + 20.000 (querosene) (c/a) = 40.000)x2  - 0,28x1+ 16.667 (óleo) (c/a) = 60.000) O menor c/b é vértice ! c/b região viável convexa ! c/a

  44. 3.8 RESOLUÇÃO

  45. Solução Ótima 20 B 243.000 324.000 C 162.000 óleo x2 10 querosene D 26.207 81.000 (1.000 b/d) gasolina 0 E A 6.897 0 10 20 30 40 x1 (1.000 b/d) É a solução viável com o Lucro máximo Em duas dimensões, a identificação visual da Solução Ótima é imediata. Solução (D):(26.207, 6.897)(L=286.764)

  46. Com outros valores dos parâmetros físicos e econômicos, a inclinação da Função Objetivo seria outra e a solução seria outra. 20 B C óleo x2 10 querosene D (1.000 b/d) gasolina 0 E A 0 10 20 30 40 x1 (1.000 b/d) Solução (C):(14.000, 13.000)(L = 637.000)

  47. Pode-se provar que 20 B C óleo x2 10 querosene D (1.000 b/d) gasolina 0 E A 0 10 20 30 40 x1 (1.000 b/d) A Solução Ótima se localiza sempre num dos Vértices da Região Viável Solução (C):(14.000, 13.000)(L = 637.000)

  48. Como localizar a solução em problemas complexos sem o recurso visual? 20 B C óleo x2 10 querosene D (1.000 b/d) gasolina 0 E A 0 10 20 30 40 x1 (1.000 b/d) Criando um procedimento numérico quesimule o exame dos vértices No exemplo, apenas 5 pontos 243.000 324.000 Solução:(26.207, 6.897)(L=286.764) 162.000 81.000 0 Origem: solução trivial (como???)

  49. Primeiro, há que se caracterizar numericamente os vértices 20 B C óleo x2 10 querosene D (1.000 b/d) gasolina 0 E A 0 10 20 30 40 x1 (1.000 b/d) Se encontram na fronteira da região viável São interseções de duas restrições Correspondem à produção máxima de dois produtos 243.000 324.000 Solução:(26.207, 6.897)(L=286.764) 162.000 81.000 0 Origem: solução trivial

  50. Uma vez caracterizados os vértices, o procedimento numérico de busca deve se restringir: (a) à fronteira da Região Viável (b) uma vez na fronteira, à interseção de duas restrições

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