Una strana espressione

1. Tuttavia ne sappiamo poco ancora. Però sappiamo che ∀= per tutti che ∃ significa per qualche; fa è il modo matematico per indicare un soggetto (a) e un predicato (f) che assumono il valore di un argomento e della funzione Una strana espressione • A p.63 del libro trovate una strana espressione • ∀x fx ⊃ fa e fa ⊃ ∃x fx • Come è evidente il mondo dei p e dei q sembra qui scomparso. Cosa è successo? • Innanzitutto leggiamo l'espressione: si legge per tutte le x fx implica che fa e fa implica che esiste x fx

2. Tutte le donne sono belle Maria è donna Maria è bella Il sillogismo è fatto da tre proposizioni. La prima si chiama premessa maggiore, la seconda premessa minore, la terza conclusione. Nella conclusione come vedete ritorna il soggetto della minore e il predicato della maggiore. Manca il soggetto della maggiore e il predicato della minore che è poi il concetto “donna” . Questo è il termine medio Però... • Per saperne qualcosa dobbiamo ritornare ad Aristotele alla logica aristotelica. Forse sapete che la logica aristotelica si fondava sul sillogismo. Che cos'è il sillogismo? Bene di fianco avete un esempio di sillogismo • 1° legge :Il termine medio deve essere preso in tutta la sua estensione ci deve essere cioè la parola “tutti” da qualche parte o nel soggetto o nel predicato del medio.

3. Nessuna donna è bella Il rapporto diagonale è un rapporto di contradditorietà le due proposizioni sono contraddittorie : cioè negando una si afferma necessariamente l'altra se dico lnon è vero che nessuna donna è bella dico che qualche donna è bella Qualche donna è non bella Il quadrato logico 4 proposizioni disposte a quadrato • Tutte le donne sono belle • Il rapporto in alto con le freccette è un rapporto di contrarietà le due proprosizioni sono contrarie • Qualche donna è bella

4. Nessuna donna è bella ∀x ∼ fx Qualche donna è non bella (brutta) ∃ x ∼ fx Il quadrato logico è di circa il 290 a.c.facciamo ora un salto di 2200 anni arriviamo a Frege 1900 che traduce in simboli matematici il quadrato di Psello x= donna f= bella • Tutte le donne sono belle • ∀x fx • Qualche donna è bella • ∃x fx

5. Non ci interessa molto il discorso di Popper che chiude la strada all'induzione (da un particolare al generale non si può passare) Ci interessa invece calcolare queste espressioni. Come possiamo fare? Se ricordiamo se noi abbiamo una proposizione soltanto p dobbiamo tracciare due righe. Se ci sono due propsizioni abbiamo 4 righe e 8 righe se abbiamo 3 proposizioni secondo la formula 2 elevato alla n in cui n sono le proposizioni Va bene fino ad un certo punto... • Infatti... come facciamo a calcolare queste espressioni? Perchè come a pag 63 • Possiamo dire che • ∀x fx ⊃ fa e fa ⊃ ∃x fx • È valida e la derivazione • ∃x fx ⊃ fa e fa ⊃ ∀x fx • È invece sbagliata?

6. Però intanto possiamo anche dire che ∃x fx Può essere tradotto Con o maria è bella o Giovanna è bella o Anna è bella .... Dunque è una disgiunzione infinita Quante righe per ∀x fx? • ∀x fx ⊃ fa • Intanto possiamo pensare che • ∀x fx che vul dire per esempio tutte le donne sono belle potrebbe essere tradotto con Maria è bella e Giavanna è bella e Anna è bella .... • Dunque è una congiunzione ma è purtroppo una congiunzione in finita... • Siamo messi male.

7. ∀x fx ⊃ fa L'unica cosa reale qui è fa Allora ∀x fx si deve rapportare a fa Quante righe? Quattro perchè abbiamo fa e un'altra proposizione ∀x fx ⊃ fa V v v F v f f v v F v f Wittgenstein ha il colpo di genio • Wittgenstein dice che tutto e qualche sono concetti formali appartengono solo al linguaggio NON alla realtà. • Allora se questo è vero • Dobbiamo usare tutto e qualche come degli elastici

8. Questa non è una tautologia sarebbe come dire Qualche donna è bella e questa è Maria (ma non è detta) Vediamo ancora... • ∃x fx ⊃ fa • V v v • v f f • v v v • f v f

9. Questa è corretta è una tautologia perchè diciamo Maria è bella e dunque c'è qualche donna bella Ancora • fa ⊃ ∃x fx • v v v • f v v • v v v • f v f

10. Questa espressione è quasi incomprensibile tuttavia dobbiamo sostituire le a con V e b con F perchè a e b è una notazione antica di Wittgenstein (x) è un espressione uguale a ∀x Quindi l'espressione diventa V-∀x – V φxF - (∃x)-F Cioe abbiamo una doppia polarità V V F F A pag.137 c'è un altro mistero • (x) φx = • a-(x) – a φxb - (∃x)-b

11. Per dar valore alla esistenziale con un ultima accortezza quando incontriamo un F dobbiamo mettere la negazione Qual'è la proposizione esistenziale corrispondente alla generale ¬ ∃x ¬ φx In altri termini... • V-∀x – V φxF - (∃x)-F • Questa proposizione è per Wittgenstein semplicemente una proposizione generale che ha un polo vero universale e un polo falso esistenziale • A cosa serve? • A calcolare con poca spesa i rapporti tra proposizioni universali ed esistenziali • Dobbiamo leggere da sinitra a destra quando diamo valore alla universale da destra a sinistra

12. ¬ Φa Generalizziamo ∀x ¬ φx Per Wittgenstein la soluzione è immediata legge da destra a sinistra e siccome cìè una negazione in ¬ ∃x è chiaro che deve mettere il F ¬ F∃x VφxF ∀x V In quesa maniera Wittgenstein risolve come un giochetto tutte la pesante dimostrazioni per assurdo vista I logici stupidi sono costretti a fare un lungo discorso Dire che non esiste una donna bella equivale a dire che tutte le donne sono non belle • ¬ ∃x φx ≡ ∀x ¬ φx • Per dimostrare questa equivalenza i logici (stupidi e secchioni) devono fare questa dimostrazione • Φa è vera quindi • ∃x φx adesso importo dall'ipotesi ¬ ∃x φx • ∃x φx ^ ¬ ∃x φx è una contraddizione • Devo rifiutare l'assunzione • Φa