15. 물질이동식을 풀기위한 유한차분법을 설명하라 . 전방 , 후방 , crank-Nicholson, 법용적 유한차분법에 대한 자세한 알고리즘을 설명하라 .

1. 15. 물질이동식을 풀기위한 유한차분법을 설명하라. 전방, 후방, crank-Nicholson, 법용적 유한차분법에 대한 자세한 알고리즘을 설명하라. 환경공학과 20031479 최헌석

2. 물질이동식을 풀기위한 유한차분법을 설명하라. 전방, 후방, crank-Nicholson, 법용적 유한차분법에 대한 자세한 알고리즘을 설명하라. + 유한 차분법(FDM) 은 편미분방정식을 위한 대체 방법이다. 유한요소법(FEM)과 유한차분법(FDM)의 차이 - 유한 차분법은 미분방정식에 대해 근사화한다 ; 유한 요소법은 미분방정식의 해법에 대해 근사화한다 - 유한요소법의 가장 매력적인 특징은 복잡한 도형들(그리고 조건들)을 비교적 쉽게 다루는 능력이다. 반면에 유한차분법은 그것의 기본 형식에서 직사각형 모양들과 단순한 교차물(alterations)들을 다루는 것만으로 제한된다. 그러한 이유때문에, 유한요소법에서 도형들을 다루는 것은 이론적으로 간단하다. - 유한차분법의 가장 매력적인 특징은 사용하기 쉽다는 것이다.

3. 물질이동식을 풀기 위한 유한차분법을 설명하라. 전방, 후방, crank-Nicholson, 범용적 유한차분법에 대한 자세한 알고리즘을 설명하라. +해의 존재성과 유일성의 증명 -우리는 이 (0,1)이 x = 0와 x = 1에서 0 인 절대연속함수라고 정의할 수 있다. 그와 같은 함수는 1회만 미분가능하며 대칭구조인 양선형함수로 볼 수 있다.() 내적을 실시하면 는 Hilbert-space로 변경할 수 있다. (자명하다.) 반대로 좌항 역시 내적이며 이 경우Lp space L2(0,1)에 존재한다. Riesz representation theorem을 Hilbert 공간에 적용시키면 P1에 대한 유일해u를 얻을 수 있다. +P2의 변분법 - 만약 Green’s theorem을 사용하여 부분적분을 실시하면, 어떠한 v에 대해서라도 P2는 u라는 해를 가짐을 알 수 있을 것이다. - 공간은 절대연속함수로 더 이상 정의될 수 없게 된다.(Sobolev space 를 참조.) 그러므로 존재성과 유일성이 증명되었다.

4. 물질이동식을 풀기위한 유한차분법을 설명하라. 전방, 후방, crank-Nicholson, 법용적 유한차분법에 대한 자세한 알고리즘을 설명하라. 여기서는, 유한요소법을 2개의 샘플문제를 가지고 나타내도록 하겠다. 1차식을 살펴보면, f는 주어진 값이고 u는 x의 미지함수이다. u''는 x에 대한 u의 2차 미분식이다. 2차식은 Dirichlet problem이라고도 한다. Ω는 (x,y) 평면에 연결되어 있고 경계부가 표현되어 있다. uxx와 uyy는 각각 x와 y에 대한 2차 미분을 나타낸다. P1문제는 부정적분 을 계산하여 직접결과를 얻을 수 있으나, 경계조건문제 를 풀기위해 부정적분이 통용되는 경우는 고차원문제로 바뀌지 않는 경우에만 해당된다. 이러한 이유로 인해 P1에서의 유한요소법을 정의하고 그것을 통해 P2의 유한요소법을 정의 2개의 단계를 거쳐 설명, 경계조건문제(Boundary Value Problem:BVP)를 FEM을 사용하여 해결. 첫번째 단계에서는 기존 BVP를 변분법 형태로 바꾼다. 이 단계에서는 계산이 거의 필요없으며 변환형은 수작업도 가능하다. 두번째 단계는 미분화이다. 두번째 단계까지 거치고 나면 유한한 범위를 지니는 선형문제를 도출할 수 있고 컴퓨터 계산을 통해 대략적인 값을 알 수 있을 것이다.