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Q( h , k )

1~1 圓的方程式. 一、圓的方程式. 1. 圓的意義： 平面上與定點 ( 圓心 ) 的距離是定值 ( 半徑 ) 的. 所有點所成的圖形稱為圓。. 2. 圓的標準式： 以 Q( h  k ) 為圓心， r 為半徑的 圓方程式為. ( x  h ) 2 +( y  k ) 2 = r 2 。. y. P( x , y ). . 證明： 若 P ( x  y ) 是圓 C 上任意一點，. r. . Q( h , k ). 因此圓上的點 P ( x  y ) 都滿足方程式. x. O.

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Q( h , k )

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Presentation Transcript

  1. 1~1圓的方程式 一、圓的方程式 1. 圓的意義：平面上與定點(圓心)的距離是定值(半徑)的 所有點所成的圖形稱為圓。 2. 圓的標準式：以 Q(hk)為圓心，r 為半徑的圓方程式為 (xh)2+(yk)2=r2。 y P(x,y)  證明：若 P(xy) 是圓C上任意一點， r  Q(h,k) 因此圓上的點 P(xy) 都滿足方程式 x O (xh)2+(yk)2=r2。 反之，若點 A(x1y1) 滿足方程式 (xh)2+(yk)2=r2。 即所有滿足方程式的點 A 到 Q的距離都等於r。 因此， (xh)2+(yk)2=r2 即為圓 C 的方程式。 稱之為圓 C 的標準式。

  2. 3. 範例：(1)求圓心為點(2,3)，半徑為 4 的圓方程式。 (2)設圓C：(x3)2+(y+1)2=1，求與圓 C 有相同的圓心 且面積為圓 C 面積 2 倍的圓方程式。 (x2)2 + [y(3)]2 = 42 解：(1) 圓心(23)，半徑 4 (x2)2 + (y+3)2 =16。 (2) 圓C：(x3)2 + (y+1)2 =1 的圓心為 (31)，半徑為 1， 圓面積為 2 倍 故所求圓方程式為 (x3)2 + (y+1)2 = 2。

  3. 4. 範例：求以點 Q(2,3) 為圓心，通過點 P(5,1) 的圓方程式， 並判斷 A(60)，B(21)，C(02) 是在圓內、圓外還是圓上。 解： 得圓方程式為 (x2)2+(y+3)2=25。 點 A 在圓上。 點 B 在圓內。 點 C 在圓外。

  4. 5. 範例：設A(4,9)，B(6,3)， 解：    A(4,9) B(6,3) Q 故所求圓方程式為 (x5)2 + (y6)2 = 10。

  5. 6. 範例：說明下列方程式所代表的圖形。 (1) x2+y22x+6y+6=0 (2) x2+y22x+6y+10=0 (3) x2+y22x+6y+16=0。 解：(1) 利用配方法，得 (x22x+1)+(y2+6y+9) = 6+1+9， (x1)2+(y+3)2=4， 其圖形為圓心 (13)，半徑為 2 的圓。 (2) 利用配方法，得(x22x+1)+(y2+6y+9) = 10+1+9， (x1)2+(y+3)2=0， 可得 (xy)=(13)，其圖形為一點 (13)。 (3) 利用配方法，得 (x22x+1)+(y2+6y+9) = 16+1+9 (x1)2+(y+3)2 = 6， 此方程式沒有實數解，其圖形不存在。

  6. 7. 範例：求通過 A(1,1)，B(1,1)，C(2,1)三點的圓方程式。 解：設所求的圓方程式為 x2+y2+dx+ey+f=0 解得 d = 1，e = 0，f = 3， 故所求為 x2+y2+x3=0。

  7. 馬上練習：設一圓通過 O(00)，P(11)，Q(42) 三點， 求其圓心與半徑。 Ans：圓心為 (4,3)，半徑為 5。 解：設所求的圓方程式為 x2+y2+dx+ey+f=0 解得 d = 8，e = 6，f = 0 x2+y28x+6y=0， 即 (x4)2+(y+3)2=25。

  8. 8. 範例：設一圓通過 A(5,1)，B(3,1)，且圓心 在直線 L：x+2y3=0上，求此圓的方程式。 解：x+2y3=0 的參數式為 (x,y)=(32t,t)， 設圓心Q(32t,t) A B   L  Q

  9. 馬上練習：求圓心在直線 x2y+2=0上， 且通過 A(5,1)，B(3,1) 的圓方程式。 Ans：(x2)2+(y2)2=10。 解：x2y+2=0 的參數式為 (x,y)=(2t2,t)， 設圓心 Q(2t2,t) A  L  Q 故所求為 (x2)2+(y2)2=10。  B

  10. 9. 範例：設一圓通過A(1,4)，B(3,2)， 求此圓的方程式。 解： A  M   Q  B 故所求圓為 (x5)2+(y2)2 = 20 或 (x+1)2+y2 = 20 。

  11. 二、圓的參數式 1. 圓的參數式： y 證明：設 P(x,y)為圓 C：x2+y2=r2上的一點， P(rcos,rsin) 以原點為中心， x 軸的正向為始邊，  旋轉  到終邊 OP， x O y P(rcos,rsin) 因此圓上每一點 (xy) 都可  表成 (rcosrsin)。 x O 反之，所有可表成 (rcosrsin) 的點 皆滿足圓方程式 x2+y2=r2。 注意：圓C：(xh)2+(yk)2=r2的參數式為

  12. 2. 範例：已知實數 x，y 滿足 x2y24，分求 xy 與 xy 的最大值。 解：圓 x2y222的參數式為 注意：

  13. 參考文獻 • http://tblog.pcsh.tpc.edu.tw/ • http://tblog.pcsh.tpc.edu.tw/lifetype/post/93/1297

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