Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek

1. Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek

2. Fizikai terek: az áramló közegek (kontinuumok) fizikai jellemzői a térben folytonosan oszlanak meg. E térbeli megoszlásokat gyűjtőnévvel fizikai tereknek nevezzük.

3. Jellemzők lehetnek: • skalár mennyiségek (csak nagyságuk van) pl.: nyomás, hőmérséklet, térerősség • vektor mennyiségek (nagyság, irány, értelem) pl.: sebesség, gyorsulás, erő

4. Skalár mennyiségek skalár térben, vektor mennyiségek vektor térben kezelhetők. • Speciális vektor tér az erőtér: erőtér az a térbeli tartomány, amelynek bármely pontjában meghatározott irányú, nagyságú és értelmű erő hat.

5. Áramlástanban: • Meghatározott irányú és nagyságú erő hat az erőtérben levő folyadékelemre. • folyadékok mozgása erőtérben. Következménye:

6. erővonalak Az erőteret a létrehozó jelenségről nevezzük el. A térerők burkoló görbéi az erővonalak. • gravitációs erőtér: föld tömeg vonzásából adódik (minden áramlástechnikai feladatnál fellép) • centrifugális erőtér • mágneses erőtér, stb.

7. Az erőtér irányában elmozduló tömeg munkát végez, a térerő ellenében csak munkabefektetéssel lehet elmozdulni. Az erőtér valamely pontjában az egységnyi tömegre ható erőt térerősségnek nevezzük. térerő tömegerő

8. A teljes rendszerre ható tömegerők (térfogati erők) eredője:

9. Az erőtérben nyugvó tömegegységnek munkavégző képessége van, melyet potenciálnak nevezünk. A munka általános egyenlete alapján:

10. az egységnyi tömeg munkavégző képessége (potenciál) A valóságban helyesen ill. ahol a negatív előjel arra utal, hogy a térerő mindig a csökkenő potenciál irányába mutat.

11. Az egységtömeg munkája azaz a potenciál: egyenlet alapján E=const

12. z 2 z2 1 z1 x Ha nehézségi erőteret vizsgálunk a fenti koordináta- rendszerben, tehát z g akkor E=-g Munkát kell befektetni, ha 1-ből 2-be kívánjuk emelni a testet.

13. 2 E 1 Bármely úton 1-ből a 2-be jutáshoz munka befektetés szükséges (egységnyi tömeg esetén a potenciál): 2-ből 1-be munkaszolgáltatás

14. azaz Ha igaz akkor az erőtér potenciálos vagy más néven konzervatív erőtér (Mi csak ilyennel foglalkozunk) A munka csak a kezdő ill. véghelyzettől függ. (A tömeg mechanikai energiatartalma nem változik.)

15. Ilyen erőterek: • A föld gravitációs erőtere • az egyenes vonalú gyorsuló mozgás tehetetlenségi erőtere • centrifugális erőtér • elektrosztatikus erőtér

16. 2 E 1 equipotenciális felület A tér azonos potenciálú felületeit, amelyek munkavégzés képessége azonos equipotenciálos felületeknek nevezzük.

17. Például egységtömeg esetén z magasságban a potenciál: z g s=z U=U a jelölt koordináta-rendszer esetén x z z=0 U=U0 F Ö L D

18. Általános megfogalmazás: potenciál potenciális energia

19. A potenciális energiák különbsége egyenlő azzal a munkával, amelyet a konzervatív erőknek kell végeznie ahhoz, hogy a testek 1-ből a 2-be kerüljenek. általános alak:

20. Sebességtér: (a vektortér analógiája alapján dolgozzuk fel) A teret, melyet áramló folyadék tölt ki sebességtérnek nevezzük. A tér minden egyes pontjához (tömegpontjához) tartozik egy sebességvektor (nagyság, irány és helyzet)

21. Azokat a görbéket, melyeknek érintői az adott pillanatban a sebességvektorok, áramvonalnak nevezzük. 1 2 equipotenciális felület

22. - potenciál - sebesség potenciál erőtér Sebességtér - erővonalak - áramvonalak Formai analógia: - térerő - sebesség

23. A sebességtér potenciálja: A vektortér analógiájára, ha a sebességtér 1-es pontjából a 2-esbe.

24. Majd 2-esből az 1-esbe mozgatjuk a tömegpontot és potenciális áramlásról beszélünk.

25. ha egy zárt görbe mentén vett potenciál értéke 0 (zérus) potenciálos az áramlás, jelölése: (Áramlásban a v·ds szorzatot cirkulációnak nevezzük) Potenciálos az áramlás, ha a sebesség zárt görbe mentén vett cirkulációja zérus Bővebb magyarázat nélkül: a potenciális áramlások egyben örvénymentes (rotációmentes, forgásmentes) áramlások is. Egyszerűbben:

26. Fizikai szemléltetése:Potenciálos örvénymentes

27. Nem potenciálosörvényes

28. vt r potenciálos áramlás vt rotációs áramlás r vt vt

29. vt r potenciálos áramlás vt rotációs áramlás r perdületállandóság hiperbola egyenes

30. Egy sebességtér stacionárius, ha a sebesség a tér minden pontjában időben állandó; azaz és instacionárius az áramlás, ha a sebesség a tér azonos pontjában időfüggő: Más néven:stacionárius = időálló instacionárius = nem időálló

31. Példa: időálló: szivattyúból kilépő víz v=áll. sebessége nem időálló: szabad kifolyású tartály kilépési sebessége

32. Áramlás folytonosságának törvénye:KONTINUITÁS TÉTELE • Anyagmegmaradás elve mozgó kontinuumokra: Tetszőlegesen zárt rendszer m tömege az áramlás folyamán nem szaporodhat sem, nem csökkenhet.

33. ha

34. Összenyomhatatlan (inkompresszibilis) közegek esetén azaz a sűrűség nem függvénye az időnek. Folyadékoknál 100 bar alatt mindig igaz. Gázok összenyomhatatlanoknak tekinthetünk ha sebességük lényegesen kisebb, mint a hang terjedési sebessége.

35. (Mack számmal lehet jellemezni) Ma < 1 hangsebesség alatti (szubszonikus) Ma > 1 hangsebesség feletti (szuperszonikus) Ma > 5 (hiperszonikus)

36. Vizsgáljuk meg a differenciálegyenlet második tagját: Tekintsük az elemi áramcsövet Áramcső egy K zárt görbére illeszkedő áramvonalakból álló áramfelület, melynek dA keresztmetszete olyan kicsi, hogy a sebességeloszlást egyenletesnek vehetjük. zárt rendszerben

37. vs K dA Adott felületen átáramló tömegáram: Összegezve az összes áramlási keresztmetszetet

38. vs2 A2 A1 dA vs1 dA Egy kijelölt áramcső bármely két keresztmetszetére igaz, hogy azaz általánosságban

39. Stacionárius áramlás esetén az áramcső bármely keresztmetszetén időegységében ugyanannyi tömeg halad át. INKOMPRESSZIBILIS közeg esetén Összenyomhatatlan közeg áramlása esetén az áramcső bármely keresztmetszetén időegység alatt ugyanakkora térfogatú közeg halad át.