8.1 向量与向量的线性运算

1. 8.1 向量与向量的线性运算

2. 1．平面向量的概念 ①平面向量 平面内既有大小又有方向的量叫做向量。 向量一般用……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：。向量的大小即向量的模（长度），记作||。即向量的大小，记作||。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

3. 长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行。长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行。 零向量＝｜｜＝0。 由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ②零向量 ③单位向量模为1个单位长度的向量，向量为单位向量｜｜＝1。2

4. ④平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作∥。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，这里必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。 • ⑤相等向量 • 长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为。

5. 2．向量的运算 3. 两个向量共线定理 4. 平面向量的基本定理

7. 给出下列命题： 对向量及其相关概念的理解 ① 若| |＝| |，则 = ； ② 若A，B，C，D是不共线的四点，则 是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； ③ 若 = ， = ，则 = ; ④ = 的充要条件是| |=| |且 // ； ⑤ 若 // ， // ，则 // . 其中正确的序号是.

8. 解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ② 正确．∵ ，∴ 且 ， 又 A，B，C，D是不共线的四点，∴ 四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则 ，且 ， 因此 ．

9. ③ 正确．∵ = ， ∴ ， 的长度相等且方向相 ， = ∴ ， 的长度相等且方向相同， ∴ ， 的长度相等且方向相同，故 ＝ ． 又 ④ 不正确．当 // 且方向相反时，即使| =| |，也不能得到 = ，故| |=| |且 // 不是 = 的充要条件，而是必要不充分条件． ⑤ 不正确．考虑 = 这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③．

10. 点评与感悟：本例主要复习向量的基本概念．向量的基本概念较多，因而容易遗忘．为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，正确理解向量的有关概念。另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想．点评与感悟：本例主要复习向量的基本概念．向量的基本概念较多，因而容易遗忘．为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，正确理解向量的有关概念。另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想．

11. 向量加、减法法则的运用 如图，G是△ABC的重心（三角形的三条中线的交点），求证： + + =0. 思路分析：要证 + + =0，只需证 + =－ ，即只需证 + 与 互为相反的向量. 证明：以向量 为邻边作平行四边形GBEC，则 又由G为△ABC的重心知 从而 ，∴

12. 点评与感悟：向量的加法可以用几何法进行.正确理解向量的各种运算的几何意义，能进一步加深对“向量”的认识，并能体会用向量处理问题的优越性。

13. 对共线向量、平面向量的基本定理的考查 设 、 不共线，点P在AB上，求证： =λ + μ ，且λ+μ=1，λ、μ∈R.试问：其逆命题成立吗？试证之。 思路分析：∵点P在AB上，可知 与 共线，得 =t .再用以O为起点的向量表示. 证明：∵P在AB上，∴ 与 共线. ∴ =t. ∴ － =t（ － ）. ∴ = +t －t =（1－t） +t . 设1－t=λ，t=μ，则 =λ +μ 且λ+μ=1，λ、μ∈R.

14. 点评与感悟：（1）本例的重点是考查平面向量的基本定理，及对共线向量的理解及应用.点评与感悟：（1）本例的重点是考查平面向量的基本定理，及对共线向量的理解及应用. （2） 当 时， ， 此时P为AB的中点，这是向量的中点公式。 这个命题的逆命题是：“设 不共线，若， 求证：A、B、P三点共线”.它是真命题。 所以 A、B、P三点共线。

15. 本 节 完